1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p><b>　?。ā?0 　屆）</b></p><p>　　橢圓型偏微分方程的求解及其應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學 </

2、p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文敘述了橢圓型偏微分方程的歷史背景，闡述了相關概念，如什么是偏微分方程，

3、橢圓型偏微分方程以及幾種定解問題的概念。彈性力學中的平衡問題，位勢場問題，熱傳導中的溫度分布等實際應用問題都可用橢圓型方程的定解問題來描述。本文還討論了求解橢圓型偏微分方程的定解問題的幾種基本方法，如分離變量法、積分變換法、差分法，最后綜述了這三種方法的適用性和特點。</p><p>　　關鍵字：偏微分方程；橢圓型；分離變量法；積分變換法；差分法</p><p>　　Solution of

4、 Elliptic Partial Differential Equation and Its Application</p><p>　　Abstract: This thesis describes the historical background of elliptic partial differential equation and the related concepts, such as what

5、 partial differential equation and elliptic partial differential equation are and several concepts of the solution of problems. The balance of elasticity, the potential field problems and the temperature distribution of

6、heat conduction in the practical application are available to the solution of elliptic equation to describe the practical problems. This thesi</p><p>　　Key Words: partial differential equation; elliptic; the

7、 method of separation of variables; integral transformation method; difference method</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 基本概念的介紹2<

8、;/p><p>　　2.1 偏微分方程的基本概念2</p><p>　　2.1.2 定解條件和定解問題3</p><p>　　2.2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類與化簡3</p><p>　　2.3 典型方程5</p><p>　　3 橢圓型偏微分定解問題的幾種基本解法6&l

9、t;/p><p>　　3.1 分離變量法6</p><p>　　3.1.1 預備知識6</p><p>　　3.1.2 分離變量法求解定解問題的具體步驟7</p><p>　　3.1.3 具體應用（用分離變量法求解）7</p><p>　　3.2 積分變換法9</p>&

10、lt;p>　　3.2.1 傅里葉積分變換9</p><p>　　3.2.2 具體應用（用積分變換法求解）11</p><p>　　3.3 差分法13</p><p>　　3.3.1 化微分方程為差分方程13</p><p>　　3.3.2 邊值問題的差分逼近16</p><p>

11、　　3.3.3 差分解的存在、唯一性和收斂性18</p><p>　　3.3.4 橢圓型差分方程的求解——逐次超松弛法19</p><p>　　3.4 總結21</p><p>　　4 致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻22</b></p><

12、;p><b>　　1 引言</b></p><p>　　數(shù)學物理方程主要指從物理學及其他各門自然科學、技術科學中所產生的偏微分方程（有時也包括積分方程、微分積分方程等），它們反映了有關的未知變量關于時間的導數(shù)和關于空間變量的導數(shù)之間的制約關系[1]。連續(xù)介質力學、電磁學、量子力學等等方面的基本方程都屬于數(shù)學物理方程的范圍[2]。</p><p>　　早期建

13、立的數(shù)學物理方程有根據(jù)牛頓引力理論而推導出的描述引力勢的拉普拉斯方程和泊松方程[3]。對于建立的數(shù)學物理方程，需要做出各種附有具體條件而構成典型問題的解，然后根據(jù)實際測量結果來檢驗和修正相應的物理理論。通過求解數(shù)理方程，使人們對自然現(xiàn)象獲得更深刻的認識，并能預見新的現(xiàn)象[4]。</p><p>　　橢圓型方程描述了常定態(tài)物理現(xiàn)象。例如，彈性力學中的平衡問題，無粘性流體的無旋運動、亞聲速流及滲流問題，位勢場（靜電磁

14、場和引力場等）問題，熱傳導中的溫度分布，擴散中的濃度分布及導體中的電子密度分布問題等都可用橢圓型方程的定解問題來描述[5]。本文主要介紹了橢圓型偏微分方程的概念及兩種最典型、最重要的橢圓型偏微分方程——泊松方程和拉普拉斯方程。敘述了求解橢圓型偏微分方程定解問題的幾種基本解法，分離變量法、積分變換法、差分法，同時列舉了實際問題的應用。</p><p>　　2 基本概念的介紹</p><p&

15、gt;　　2.1 偏微分方程的基本概念</p><p>　　許多復雜的自然現(xiàn)象，其運動規(guī)律、過程和狀態(tài)都是通過微分方程這種數(shù)學形式來描述的。當我們研究只有一個自變量的運動過程時出現(xiàn)的微分方程稱為常微分方程。當一個微分方程除了含有幾個自變量和未知數(shù)外，還含有未知數(shù)的偏導數(shù)時，稱為偏微分方程[6][7]。在偏微分方程中，偏導數(shù)自然是不可缺少的。例如：</p><p>　?。?.1.1）

16、 </p><p><b>　　拉普拉斯方程</b></p><p><b>　　（2.1.2）</b></p><p><b>　　熱傳導方程</b></p><p><b>　?。?.1.3）</b></p><p><

17、b>　　波動方程</b></p><p><b>　?。?.1.4）</b></p><p>　　等都是偏微分方程。其中，為未知數(shù)，為常數(shù)，、為已知函數(shù)。</p><p>　　偏微分方程的一般形式為</p><p><b>　?。?.1.5）</b></p><

18、p>　　其中：為已知函數(shù)；為自變量；是關于這些自變量的未知數(shù)。應注意中必須含有未知函數(shù)的偏導數(shù)。</p><p>　　偏導數(shù)方程（2.1.5）中所含有偏導數(shù)的最高階數(shù)為該偏微分方程的階。如（2.1.1）是一階偏微分方程，方程（2.1.2）~（2.1.4）是二階偏微分方程。</p><p>　　如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其所有偏導數(shù)都是線性的，則稱之為線性偏微分方程，否則稱為非線

19、性方程。如（2.1.1）、（2.1.2）、（2.1.4）都是線性方程。</p><p>　　我們將主要研究二階線性偏微分方程，因為它們在物理、力學和其它自然科學以及工程技術中經常出現(xiàn)，常稱為數(shù)學物理方程。個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式為</p><p><b>　?。?.1.6）</b></p><p>　　不失一般性，可以假設，且，，

20、及是空間中某區(qū)域內的函數(shù)，如果方程（2.1.6）中的自由項，則稱方程為齊次方程，否則稱為非齊次方程。</p><p>　　設方程（2.1.5）的階數(shù)為，函數(shù)在區(qū)域中具有階連續(xù)偏導數(shù)，且代入方程（2.1.5）后成為恒等式，則稱為區(qū)域內方程(2.1.5)的一個解。容易驗證函數(shù)，都是方程</p><p><b>　?。?.1.7）</b></p><p&

21、gt;　　的一個解。稱方程（2.1.7）為二維拉普拉斯（Laplace）方程或二維調和方程。由復變函數(shù)理論知，任何一個解析函數(shù)的實部和虛部都是方程（2.1.7）的解[7]。</p><p>　　2.1.2 定解條件和定解問題</p><p>　　給定一個常微分方程，有通解和特解的概念。對于偏微分方程也一樣。換句話說，為了完全確定一個物理狀態(tài)，只有相應的偏微分方程是不夠的，必須給出它的

22、初始狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加的特定條件，這種特定條件稱為定解條件。描述初始時刻物理狀態(tài)的定解條件稱為初值條件或初始條件，描述邊界上物理狀態(tài)的條件稱為邊界條件或邊值條件。一個方程匹配上定解條件就構成定解問題[2]。</p><p>　　2.2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類與化簡</p><p>　　考察兩個自變量的二階線性偏微分方程</p><p>　

23、　， （2.2.1）</p><p>　　其中，，，都是，的連續(xù)可微實值函數(shù)，并且，，不同時為零。</p><p>　　在任一點的一個領域內考察自變量變換</p><p><b>　?。?.2.2）</b></p><p>　　假設它的Jacobi行列式</p&

24、gt;<p><b>　　，</b></p><p>　　由隱函數(shù)存在定理知該變換是可逆的，即存在逆變換，。直接計算，有，，……將其代入方程(2.2.1)，得</p><p>　　， （2.2.3）</p><p>　　其中，，，可以分別用，以及和的各階偏導數(shù)表示。特別地</p>&

25、lt;p>　　， （2.2.4）</p><p>　　希望選取一個變換（2.2.2），使方程（2.2.3）有比方程（2.2.1）更簡單的形式。注意到（2.2.4）式中的與有相同的形式，如果我們能夠解出方程</p><p><b>　?。?.2.5）</b></p><p>　　的兩個線性無關的解，，那么

26、取，，就能保證。這樣，（2.2.5）式就較（2.2.1）式大為化簡?，F(xiàn)在考察這種選取的可能性。</p><p>　　我們知道關于的一階偏微分方程（2.2.5）的求解問題可以化為求下述常微分方程在平面上的積分曲線問題：</p><p>　　. （2.2.6）</p><p>　　設是方程（2.2.6）的一簇積分曲線且，則就

27、是方程（2.2.5）的一個解。稱方程（2.2.6）的積分曲線為方程（2.2.1）的特征線，方程（2.2.6）有時亦稱為特征方程[2]。</p><p>　　偏微分方程可根據(jù)它的數(shù)學特征分為三大類型，即拋物型、雙曲型、橢圓型。這三類偏微分方程描述了不同本質的物理現(xiàn)象，其應用是極其廣泛的。</p><p>　　我們可以看到，兩個自變量的二階線性方程通過自變量的可逆變換能夠化成哪種標準形，要看二

28、次型</p><p>　　的代數(shù)性質如何讓來定，或者說，由于平面上的二次曲線的性質而定。由于這個曲線可以是一個橢圓、一個雙曲線或者一個拋物線，故我們相應地定義方程在一點的類型如下：</p><p>　　若方程（2.2.1）中二階偏導數(shù)項的系數(shù)在區(qū)域中某點滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則

29、稱方程在為雙曲型的；若在點滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱方程在點為拋物型；若在點滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱方程在點為橢圓型的[1]。</p><p>　　2.3 典型方程</p&g

30、t;<p>　　常見的橢圓型偏微分方程包括拉普拉斯方程、泊松方程等。函數(shù)的拉普拉斯表示為</p><p><b>　　（2.3.1）</b></p><p>　　用這個符號可表示拉普拉斯方程、泊松方程如下：</p><p>　　拉普拉斯方程 （2.3.2）</p>

31、<p>　　泊松方程 （2.3.3）</p><p>　　在通常情況下，函數(shù)u中平面矩陣形區(qū)域R的邊界值是已知的。通過有限差分法技術可求出上述方程的數(shù)值解[8]。</p><p>　　3 橢圓型偏微分定解問題的幾種基本解法</p><p>　　3.1 分離變量法</p>&l

32、t;p>　　分離變量法是求解有界區(qū)域的初值問題最常用和最基本的一種解法。分離變量法的理論基礎是Fourier級數(shù)展開（一個函數(shù)按照某個具體地完備正交函數(shù)系展開）。因此，分離變量法有時也稱為Fourier級數(shù)方法。</p><p>　　3.1.1 預備知識</p><p>　　Fourier級數(shù)展開 下面的定理是Fourier技術展開的一個基本結論。</p>&

33、lt;p>　　定理3.1.1 設是以為周期的函數(shù)，在上滿足Dirichlet條件，即在上只有有限多個第一類間斷點和有限多個極值點，則在上可以展成Fourier級數(shù)</p><p><b>　?。?.1.1）</b></p><p>　　上式的含義是：在的連續(xù)點處取等號，在的間斷點處取其左、右極限的平均，其中</p><p><

34、b>　　，，</b></p><p><b>　　，。</b></p><p>　　同時，Parseval等式成立，即</p><p>　　特別地，當是偶函數(shù)時，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b

35、></p><p><b>　　，；</b></p><p><b>　　當是奇函數(shù)時，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，<

36、;/b></p><p>　　3.1.2 分離變量法求解定解問題的具體步驟</p><p>　?。?）設方程滿足邊界條件的可分離變量的解，從而得到的固有值問題和關于的常微分方程</p><p>　?。?）解固有值問題，求出固有值和固有函數(shù)后，對于每一個，求出常微分方程的通解，得到滿足方程及邊界條件的一系列特解</p><p>　　

37、（3）設定解問題的解為</p><p>　　由初始條件確定中所包含的待定系數(shù)[1][7][8]。</p><p>　　3.1.3 具體應用（用分離變量法求解）</p><p>　　例1（長方形域的拉普拉斯方程[9]）：一矩形薄板具有穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。薄板上下兩面絕熱，沿x軸的一邊長為 a,沿y軸的一邊長為b, 與的兩邊絕熱，的一邊溫度為，的一邊溫度保持零度。

38、</p><p>　　解：由上述已知條件可得，只需求解下列定解問題：</p><p>　　， （3.1.2）</p><p>　　， （3.1.3）</p><p>

39、<b>　?。?.1.4）</b></p><p>　　設滿足式（3.1.2）、式（3.1.4）的特解形式為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　將其代入式（3.1.2），可得</p><p>　　，

40、 （3.1.5）</p><p><b>　?。?.1.6）</b></p><p><b>　　其中為常數(shù)。</b></p><p>　　因為在和處，邊界條件是齊次的，由此可得下列特征值問題：</p><p>　　，

41、 （3.1.7）</p><p>　　. （3.1.8）</p><p>　　此特征值問題，當時無非零解，當時，方程（3.1.7）的通解為</p><p><b>　?。?.1.9）</b></p><p>

42、<b>　　其中.</b></p><p>　　利用邊界條件（3.1.8），既得特征值</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所對應的特征函數(shù)</b></p><p><b>　　，</b></p><p&

43、gt;　　方程（3.1.6）的通解為</p><p><b>　　（3.1.10）</b></p><p>　　可把寫成下面的形式：</p><p><b>　?。?.1.11）</b></p><p>　　利用式（3.1.3）中第二式，可得，并將代入，得</p><p>&

44、lt;b>　?。?.1.12）</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p>　　. （3.1.13）</p><p>　　由式（3.1.3）中第一式，得到</p><p><b>　?。?.1.14）</b></

45、p><p>　　利用的完備正交性，得到系數(shù)的表達式</p><p>　　， （3.1.15）</p><p>　　，. （3.1.16）</p><p>　　于是定解問題的形式解由式（3.1.13）給出，其系數(shù)由式（3.1.15）、式（3

46、.1.16）確定。</p><p>　　作為例子，如果設和，那么可求得</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>　　. （3.1.17）</p><p>　　3.2 積分變換

47、法</p><p>　　對簡單區(qū)域上的問題，分離變量法啟示使用傅里葉級數(shù)，它的各種推廣，或各種形式的傅里葉變換。其中重要的是邊界條件的類型，包括領域是否有限、無限或半無限[10]。對于包含無限區(qū)域或半無限區(qū)域的問題，我們經常需要采用積分變換法。</p><p>　　3.2.1 傅里葉積分變換</p><p>　　定義3.2.1 如果廣義積分對所有的都收斂，就稱

48、該積分為的Fourier積分。這里，.</p><p>　　定理3.2.1（Fourier積分定理）設，分段光滑,則的Fourier 積分就是其自身，即</p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　利用，可得</b></p><p>　　. （3.2.1）<

49、/p><p>　　定義3.2.2 由積分確定的的函數(shù)稱為的Fourier 變換，有時也稱為的像函數(shù)。通常記為，或，或，或，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)等式（3.2.1），有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此式

50、稱為的Fourier逆變換，記為，或，或.有時也稱為的像原函數(shù)或原函數(shù)。</p><p>　　性質1（線性性質） Fourier變換及其逆變換都是線性變換，即對于任意的函數(shù)，與常數(shù)，成立</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質2（位移

51、性質） 對于任意的函數(shù)及常數(shù)，成立</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　性質3（相似性質） 對于任意的函數(shù)及常數(shù)，成立。</p><p>　　性質4（微分性質） 設，，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　一般地，若，

52、，…，，則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　注：利用Fourier變換的微分性質，可以把一個常微分方程轉化成代數(shù)方程，把一個偏微分方程轉化成常微分方程[2]。</p><p>　　性質5（乘多項式性質） 設，，則有</p><p><b>　　.</b></p&

53、gt;<p>　　一般地，如果，，…，，那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質6（對稱性質） 若，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質7（積分性質） .</p><p>　　3.2.2 具體

54、應用（用積分變換法求解） </p><p>　　例子2： 求下列在半平面的狄利克萊問題的解[3]：</p><p><b>　　， ，，</b></p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　，，</b&

55、gt;</p><p>　　當時， 有界.</p><p>　　解：令是關于變量的傅里葉變換，即</p><p>　　. </p><p>　　利用微分性質，我們有 （3.2.2）</p><p><

56、;b>　　注意，這時還有</b></p><p>　　. （3.2.3）</p><p>　　把拉普拉斯方程對進行傅里葉變換，得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　利用線性性質，可得.

57、 （3.2.4）</p><p>　　把式（3.2.2）和式（3.2.3）代入式（3.2.4），就得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這是一個帶參數(shù)的二階常微分方程，它的解是</p><p><b>　　.</b></p><p>

58、　　因為當時，是有界的，所以當時，也必須是有界的。于是當時，必須，而且.當時，必須有,而且.</p><p><b>　　因此對任何，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p><b>　　，<

59、/b></p><p><b>　　由此可得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以的逆變換為</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　容

60、易證明</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此在半平面上的狄利克萊問題的解是</p><p><b>　　.</b></p><p>　　3.3 差分法</p><p>　　用差分法（又稱網絡法）解偏微分方程的邊值問題，其基

61、本思想是將連續(xù)形式的區(qū)域、微分方程以及邊值條件離散化，轉化成由有限個離散點組成的網域和定義在網域上的差分方程，即用一個有限維的差分（代數(shù)）方程近似微分方程的邊值問題（本屬無線維問題），稱此過程為差分逼近[11][12]，這里需要討論的主要問題有：</p><p>　　邊值問題的差分逼近；</p><p>　　差分解得存在、唯一性和收斂性，以及誤差估計；</p><p&g

62、t;　　相應差分方程組的解法。</p><p>　　用差分方法解橢圓形方程是實用的且已有不同研究和應用成果。</p><p>　　3.3.1 化微分方程為差分方程</p><p>　　在微分學中，微商被定義為下式的極限</p><p><b>　　上式又可以寫成</b></p><p>&l

63、t;b>　　因此，當很小時，有</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　這就是說，微商用差商來代替，可以有三種形式，我們稱</p><p>　　為函數(shù)在點處的“向前差商”；稱</p><p>

64、;<b>　　為“向后差商”，稱</b></p><p>　　為“中心差商”。并將它們統(tǒng)稱為一階差商。</p><p>　　下面來考慮由差商代替微商所產生的誤差。設函數(shù)時充分光滑的，由泰勒（Taylor）公式則有</p><p><b>　　去掉最高階項，得到</b></p><p>　　由此可見，

65、選取不同的差商去代替微商，所帶來的誤差也不同。用“向前差商”與“向后差商”代替微商的誤差與同階，而用“中心差商”代替微商的誤差與同階。</p><p>　　當固定時，差商仍然是的函數(shù)，所以，對這個函數(shù)還可以求它的差商。我們稱一階差商的差商為二階差商，它可以作為二階導數(shù)（微商）的近似值。對于二階導數(shù)當然也可以有不同的差商去替代。一般我們用對稱形式的，即向前差商的向后差商（或向后差商的向前差商）來近似二階導數(shù)，即&l

66、t;/p><p><b>　　容易看出</b></p><p><b>　　即誤差與同階。</b></p><p>　　對于多元函數(shù)的偏導數(shù)，類似地也可用差商近似。例如，對二元函數(shù)在點處有</p><p>　　上式不妨稱為式（3.3.1）</p><p>　　將泛定方程中的偏導數(shù)

67、用差商去代替，就得到了差分方程。下面以拉普拉斯方程為例來建立對應的差分方程。</p><p><b>　　二維拉普拉斯方程為</b></p><p>　　用式（3.3.1）中相應的二階差商代入泛定方程，就得到</p><p><b>　?。?.3.2）</b></p><p>　　在式（3.3.2）

68、中，涉及自變量的點共有五個點。因此，它被稱為五點差分格式[7][12]。其誤差為。</p><p>　　3.3.2 邊值問題的差分逼近</p><p>　　以二維Possion方程的第一邊值問題（下式不妨設為式（3.3.3））</p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　，

69、 </b></p><p>　　為例來介紹邊值問題的差分解法。這里是平面上的一個有界區(qū)域，其邊界為分段光滑的簡單閉曲線。Possion方程可視為二階線性橢圓型偏微分方程的一個范例。</p><p>　　構造邊值問題（3.3.3）差分逼近的第一步，是用一個離散點集去近似代替區(qū)域.為此，一個簡單的作法是：取定正數(shù)和（稱為網格步長），用兩簇平行直線</p>&l

70、t;p>　　將平面分割成小矩形。兩簇直線的交點稱為網點，簡記為.用表示屬于的所有網點（也可以包括某些外但與很接近的網點）的集合，稱為網域。網點，，，稱作的鄰點。如果的4個鄰點全部屬于，此時稱為內點，否則稱為邊界點。用表示中所有內點的集合，為所有邊界點的集合，則。于是，我們將用網域近似代替原問題中的求解區(qū)域。見圖3.3，圖中“?！贝韮赛c，邊界點用“”表示。</p><p>　　圖3.3 矩形網格、內點與

71、邊界點</p><p>　　下一步是在網域上用差分方程去近似微分方程和邊值條件。引用記號</p><p><b>　　，，.</b></p><p>　　對于的任意內點，已知方程（3.3.3）的解滿足</p><p>　　. （3.3.4）</p><

72、;p>　　為建立的差分方程，我們用差商近似（3.3.4）中的微商</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由此看出，近似滿足（當，比較小時）</p><p>　　， （3.3.5）</p&g

73、t;<p>　　這就是在網域內點處用以近似方程（3.3.4）的差分方程。（3.3.5）式是在網點及其4個鄰點處函數(shù)值之間的一個關系式，稱之為“5點差分格式”，它對于微分方程（3.3.4）的截斷誤差為</p><p>　　， （3.3.6）</p><p>　　其中，.特別地，當（正方形網格）時，方程（3.3.5）可以

74、寫成</p><p>　　. （3.3.7）</p><p>　　用差分法解邊值問題（3.3.3），是要確定真解在的各個網點上的近似值。這里未知數(shù)的個數(shù)等于中網點的數(shù)目。注意，差分方程（3.3.5）只在的內點上有定義，這些方程的個數(shù)少于我們所要確定的未知數(shù)的個數(shù)，因此還需要從近似處理邊值條件（問題（3.3.3）的第2式）去得到補充的方程，即在

75、的每個邊界點上列寫出相應的差分方程。設是的邊界點。如果恰好落在上，此時由邊界條件直接可得，無須作近似處理。當不屬于時，則需根據(jù)其所處位置的情況和對近似解精度的要求，按不同的方式作近似處理[11]。</p><p>　　3.3.3 差分解的存在、唯一性和收斂性</p><p>　　考慮一般的二階線性橢圓型方程</p><p>　　，

76、 （3.3.8）</p><p>　　這里，假定，在上一次連續(xù)可微，并設，和是上的連續(xù)函數(shù)，它們滿足條件，，。</p><p>　　如同3.3.1節(jié)中的作法，構造矩形網格和用選定的網點集合代替求解區(qū)域，并于的內點上用形如</p><p><b>　　，</b></p><p>　　的中心差商近似方程（3.3.8）中關

77、于的二階與一階微商，關于的微商也作類似的差商近似。此時，可得到如下形式的五點差分方程</p><p>　　. （3.3.9）</p><p>　　在關于，和的假定下，不難看出當步長，充分小時，差分方程（3.3.9）的系數(shù)，等滿足</p><p><b>　　（3.3.10）</b></p>&l

78、t;p>　　由方程（3.3.9）所定義并且系數(shù)滿足條件（3.3.10）的稱為橢圓型差分算子。</p><p>　　下面，我們來證明橢圓型差分算子具有與橢圓型微分算子類似的極值性質，這個性質將是分析橢圓型方程邊值問題差分法的一個重要工具。</p><p>　　定理3.3.3（極值定理） 設是給定在上的任意一組值（又稱上的網格函數(shù)），并設不恒等于常數(shù)。如果對任意，那么在的內點上不可能取

79、正的極大值。同理，如果對任意，則在的內點上不可能取負的極小值。</p><p>　　定理3.3.4（比較定理） 設和是給定在上的兩個網格函數(shù)，如果它們滿足條件</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　， ，</p><p>　　則在整個網域上滿足。</p>

80、;<p>　　有了以上準備，我們開始討論差分解的存在、唯一性和收斂性質。為了確定和簡單起見，這里假定在的各個邊界網點上邊值條件都是用簡單移法近似的，即有</p><p>　　， ， （3.3.11）</p><p>　　其中是上與距離最近的點。</p><p>　　定理3.3.5 當步長，適當小時

81、，差分方程組（3.3.9）~（3.3.11）有解存在并且是唯一的（作為特例，方程組（3.3.5）~（3.3.11）具有唯一解）。</p><p>　　定理3.3.6 當，由（3.3.7）式和（3.3.11）式所定義的差分解收斂于邊值問題（3.3.3）的真解，并且誤差估計式</p><p>　　， . （3.3.12）</p><p>　　3.3

82、.4 橢圓型差分方程的求解——逐次超松弛法</p><p>　　按3.3.1節(jié)的差分逼近方法將邊值問題（3.3.3）離散化，所建立的差分方程組（橢圓型差分方程）是一個線性方程組，這種方程組的階一般說來很高，并具有稀疏和帶狀等特征。通常，為了保證差分解具有足夠的精度，要求網格取的比較細，從而網點的數(shù)目就很多（尤其在高維情形），導致需求解大規(guī)模的線性方程組。另外，這種方程組的系數(shù)矩陣中存在大量的零元素，并且非零

83、元素的分布呈帶狀，以5點差分格式（3.3.5）為例，相應的系數(shù)矩陣中每一行最多只有5個非零元素，它們分布在平行于主對角線的5條斜線上。對于求解這類線性方程組，通常的直接方法（如消元法）無論從存儲量或運算量角度考慮都是不經濟的。因而，迭代方法是求解橢圓型差分方程的主要方法。</p><p>　　然而，許多計算表明，用Jacobi迭代法或Gauss-Seidel迭代法求解橢圓型差分方程的收斂速度是很慢的，并且步長取愈

84、小收斂得愈慢，其原因在于橢圓差分方程屬于病態(tài)方程組，它的條件數(shù)隨步長的縮小迅速增大。</p><p>　　下面介紹提高迭代收斂的一個重要途徑。在Gauss-Seidel迭代公式中引入實參數(shù)，即采用迭代程序</p><p>　　，， （3.3.13）</p><p>　　其中參數(shù)稱為松弛因子。顯然，當時，此即Gauss-Seidel迭代法。在的情形，稱（3.3.

85、13）式為逐次超松弛法（簡稱SOR迭代方法）</p><p>　　定理3.3.7 SOR迭代法（3.3.13）當且僅當時是收斂的。其次，令為SOR迭代法迭代矩陣的特征值，代表的特這個值的最大模數(shù)，那么使得取最小值的值（最佳松弛因子）為</p><p>　　， （3.3.14）</p><p>　　其中為Ja

86、cobi迭代法迭代矩陣的譜半徑[11]。</p><p>　　例3：考慮方形截面桿的扭轉問題，已知扭力函數(shù)滿足Possion方程</p><p>　?。?.3.15）其中，試求定義在方形桿橫截面上的扭力函數(shù)。</p><p>　　解：取邊長的正方形網格，在內點上用5點差分方程近似方程（3.3.15）并利用邊值條件，得到</p><p><

87、;b>　?。?.3.16）</b></p><p>　　這是一個階的線性代數(shù)方程組。利用SOR迭代法求解（3.3.16）的迭代程序為</p><p><b>　?。?.3.17）</b></p><p>　　用分離變量法可求出，故這里最佳松弛因子。</p><p><b>　　3.4 總

88、結</b></p><p>　　用分離變量法求定解問題的關鍵是確定固有函數(shù)和運用疊加原理，這些工作之所以能夠進行，就是因為泛定方程和邊界條件是線性齊次的[7]。對于包含無限區(qū)域或半無限區(qū)域的問題，我們經常需要采用積分變換法。這種方法是通過函數(shù)變換，減少泛定方程中自變量的個數(shù)，把偏微分方程問題轉化為常微分方程問題，使計算大為簡化。因此，它是工程技術中最常用的一種簡捷有效地方法。用拉普拉斯變換法解邊界條件

89、為非齊次的混合問題，較分離變量法優(yōu)越，因為它省去了邊界條件齊次化這一步。不過，拉普拉斯逆變換一般難以計算。偏微分方程的各種定解問題，只有當方程比較簡單而區(qū)域又很規(guī)則時，才能運用上述兩種解法求出其精確解。工程技術中所提到的定解問題，往往不是由于方程比較復雜就是由于區(qū)域不太規(guī)范，以致無法求出其精確解，這時可以運用差分法。只要近似程度滿足實際需要，問題就得到了解決[7]-[9]。</p><p><b>　　

90、參考文獻</b></p><p>　　[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行，鄭宋穆，譚永基.數(shù)學物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.7.</p><p>　　[2] 王明新.數(shù)學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2005.8.</p><p>　　[3] 謝鴻政，楊楓林.數(shù)學物理方程[M].北京：科學出版社，2001.</p>&

91、lt;p>　　[4] O.A.奧列尼克 著，郭思旭 譯.偏微分方程講義（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.</p><p>　　[5] 徐長發(fā)，李紅.偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢：華中科技大學出版社，2000.9.</p><p>　　[6] 陸金甫，關治.偏微分方程數(shù)值解法（第二版）[M].北京：清華大學出版社，2004.</p><p>　

92、　[7] 查中偉.數(shù)學物理偏微分方程[M].成都：西南交通大學出版社，2005.2.</p><p>　　[8] 謝鴻政.Equations of Classical Mathematical Physics[M].北京：科學出版社，2006.</p><p>　　[9] 吳小慶.數(shù)學物理方程及其應用[M].北京：科學出版社，2008.</p><p>　　[10]

93、 (美)Pichard Haberman. Applied Partial Differential Equations：with Fourier Series and Boundary Value Problems(Fourth Edition)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.</p><p>　　[11] 黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計算方法[M].北京：科學出版社，2005.2.</p>

94、<p>　　[12] 郭本瑜.偏微分方程的差分方法[M].北京：科學出版社，1988.2.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　橢圓型偏微分方程的求解及其應用</p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　微積分產生以后，人們就開始把力學中

95、的一些問題，歸結為偏微分方程進行研究。早在18世紀初，人們已經將弦線振動的問題歸結為弦振動方程，并開始探討了它的解法。隨后，人們又陸續(xù)了解了流體的運動、彈性體的平衡和振動、熱傳導、電磁相互作用、原子核和電子的相互作用、化學反應過程等等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律，把它們寫成偏微分方程的形式，并且求出了典型問題的解答，從而能通過實踐，驗證這些基本規(guī)律的正確性，顯示了數(shù)學物理方程對于認識自然界基本規(guī)律的重要性。</p><p>

96、;　　有了基本規(guī)律，人們還要利用這些基本規(guī)律來研究復雜的自然現(xiàn)象和解決復雜的工程技術問題，這就需要求出數(shù)學物理方程中的許多特定問題的解答。隨著電子計算機的出現(xiàn)及計算技術的發(fā)展，即使是相當復雜的問題，也有可能計算出解得足夠精確的數(shù)值來，這對于預測自然現(xiàn)象的變化（如天氣預報）和進行各種工程設計（如機械強度的計算）都有著很重要的作用[1]。</p><p>　　許多復雜的自然現(xiàn)象，其運動規(guī)律、過程和狀態(tài)都是通過微分方程

97、這種數(shù)學形式來描述的。當我們研究只有一個自變量的運動過程時出現(xiàn)的微分方程稱為常微分方程。當一個微分方程除了含有幾個自變量和未知數(shù)外，還含有未知數(shù)的偏導數(shù)時，稱為偏微分方程[2]-[6]。在偏微分方程中，偏導數(shù)自然是不可缺少的。例如：</p><p>　?。?.1.1） </p><p><b>　　拉普拉斯方程</b></p><p>&l

98、t;b>　?。?.1.2）</b></p><p><b>　　熱傳導方程</b></p><p><b>　　（1.1.3）</b></p><p><b>　　波動方程</b></p><p><b>　?。?.1.4）</b><

99、;/p><p>　　等都是偏微分方程。其中，為未知數(shù)，為常數(shù)，、為已知函數(shù)。</p><p>　　偏微分方程的一般形式為</p><p><b>　?。?.1.5）</b></p><p>　　其中：為已知函數(shù)；為自變量；是關于這些自變量的未知數(shù)。應注意中必須含有未知函數(shù)的偏導數(shù)。</p><p>　

100、　偏導數(shù)方程（1.1.5）中所含有偏導數(shù)的最高階數(shù)為該偏微分方程的階。如（1.1.1）是一階偏微分方程，方程（1.1.2）~（1.1.4）是二階偏微分方程。</p><p>　　如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其所有偏導數(shù)都是線性的，則稱之為線性偏微分方程，否則稱為非線性方程。如（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.4）都是線性方程。</p><p>　　我們將主要研究二階線性偏微分方

101、程，因為它們在物理、力學和其它自然科學以及工程技術中經常出現(xiàn)，常稱為數(shù)學物理方程。個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式為</p><p><b>　?。?.1.6）</b></p><p>　　不失一般性，可以假設，且，，及是空間中某區(qū)域內的函數(shù)，如果方程（1.1.6）中的自由項，則稱方程為齊次方程，否則稱為非齊次方程。</p><p>　　

102、設方程（1.1.5）的階數(shù)為，函數(shù)在區(qū)域中具有階連續(xù)偏導數(shù)，且代入方程（1.1.5）后成為恒等式，則稱為區(qū)域內方程(1.1.5)的一個解。容易驗證函數(shù)，都是方程</p><p><b>　　（1.1.7）</b></p><p>　　的一個解。稱方程（1.1.7）為二維拉普拉斯（Laplace）方程或二維調和方程。由復變函數(shù)理論知，任何一個解析函數(shù)的實部和虛部都是方程

103、（1.1.7）的解。</p><p>　　考察兩個自變量的二階線性偏微分方程</p><p>　　， （1.1.8）其中，，，都是，的連續(xù)可微實值函數(shù)，并且，，不同時為零。</p><p>　　在你一點的一個領域內考察自變量變換</p><p>　　，.

104、 （1.1.9）假設它的Jacobi行列式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由隱函數(shù)存在定理知該變換是可逆的，即存在逆變換，。直接計算，有，，…將其代入方程(1.1.8)，得</p><p>　　， （1.2.0）</p><p>　　其中，，，可

105、以分別用，以及和的各階偏導數(shù)表示。特別地</p><p>　　，. （1.2.1）</p><p>　　希望選取一個變換（1.1.9），使方程（1.2.0）有比方程（1.1.8）更簡單的形式。注意到（1.2.1）式中的與有相同的形式，如果我們能夠解出方程</p><p><b>　?。?.2.2）</b></p&

106、gt;<p>　　的兩個線性無關的解，，那么取，，就能保證。這樣，（1.2.0）式就較（1.1.8）式大為化簡?，F(xiàn)在考察這種選取的可能性[7]。</p><p>　　我們知道關于的一階偏微分方程（1.2.2）的求解問題可以化為求下述常微分方程在平面上的積分曲線問題：</p><p>　　. （1.2.3）</p><p

107、>　　設是方程（1.2.3）的一族積分曲線，則就是方程（1.2.2）的一個解。稱方程（1.2.3）的積分曲線為方程（1.1.8）的特征線，方程（1.2.3）有時亦稱為特征方程。</p><p>　　偏微分方程可根據(jù)它的數(shù)學特征分為三大類型，即拋物型、雙曲型、橢圓型。這三類偏微分方程描述了不同本質的物理現(xiàn)象，其應用是極其廣泛的[8]。</p><p>　　我們可以看到，兩個自變量的二階

108、線性方程通過自變量的可逆變換能夠化成哪種標準形，要看二次型</p><p>　　的代數(shù)性質如何讓來定，或者說，由于平面上的二次曲線的性質而定。由于這個曲線可以是一個橢圓、一個雙曲線或者一個拋物線，故我們相應地定義方程在一點的類型如下：</p><p>　　若方程（1.1.8）中二階偏導數(shù)項的系數(shù)在區(qū)域中某點滿足</p><p><b>　　，</b&

109、gt;</p><p>　　則稱方程在為雙曲型的；若在點滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱方程在點為拋物型；若在點滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則稱方程在點為橢圓型的[1]。</p><

110、;p>　　給定一個常微分方程，有通解和特解的概念。對于偏微分方程也一樣。換句話說，為了完全確定一個物理狀態(tài)，只有相應的偏微分方程是不夠的，必須給出它的初始狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加的特定條件，這種特定條件稱為定解條件。描述初始時刻物理狀態(tài)的定解條件稱為初值條件或初始條件，描述邊界上物理狀態(tài)的條件稱為邊界條件或邊值條件。一個方程配上定解條件就構成定解問題[7]。</p><p>　　那么我們如何求解偏微分方程

111、的定解問題呢？</p><p>　　數(shù)學物理方程中有許多是線性方程，與其對應的已經給出很多求準確解的方法，如特征線法、分離變量法、格林函數(shù)法、積分變換法及復變函數(shù)法等[1]。</p><p>　　求解有界區(qū)域上的線性偏微分方程定解問題的基本方法——分離變量法。分離變量法的理論基礎是Fourier級數(shù)展開（一個函數(shù)按照某個具體的完備正交函數(shù)系展開）。</p><p>

112、　　對于包含無限區(qū)域或半無限區(qū)域的偏微分方程的定解問題，經常采用積分變換法。這種方法是通過函數(shù)變換，減少泛定方程中自變量的個數(shù)，把偏微分方程問題轉化為常微分方程問題，使計算大為化簡。</p><p>　　差分法是求解偏微分方程常用的數(shù)值解法。它的基本原理是：首先，將問題離散化，用差商代替微商，將微分方程和定解條件都用代數(shù)方程來代替；然后，解這些代數(shù)方程構成的方程組，得到定界問題的近似解[7]-[10]。</

113、p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　眾所周知，17世紀微積分創(chuàng)立后，常微分方程理論立刻就發(fā)展起來。即應用常微分方程于幾何與力學問題的全新的計算。結果是在天體力學中不僅能得到并解釋早先已經知曉的那些事實，而且得到了新的發(fā)現(xiàn)（例如，海王星的發(fā)現(xiàn)就是在對微分方程的分析的基礎上作出的）。開始研究偏微分方程要晚得多。對在物理學中碰到的偏微分方程的研究在18

114、世紀中葉導致了分析學的一個新分支——數(shù)學物理方程的建立。J.達浪貝爾（1717-1783）、L.歐拉（1707-1783）、D.伯努利（1700-1782）、J.拉格朗日（1736-1813）、P.拉普拉斯（1749-1827）、S.泊松（1781-1840）、J.傅里葉（1768-1830）等人的工作為這一科學分支奠定了基礎。他們在考察具體地數(shù)學物理問題中，所提出的思想與方法，竟適用于眾多類型的微分方程，成為19世紀末偏微分方程一般理

115、論發(fā)展的基礎[5]。</p><p>　　早期建立的數(shù)學物理方程有根據(jù)牛頓引力理論而推導出的描述引力勢的拉普拉斯方程和泊松方程。對于建立的數(shù)學物理方程，需要作出各種附有具體條件而構成典型問題的解，然后根據(jù)實際測量結果來檢驗和修正相應的物理理論。通過求解數(shù)理方程，使人們對自然現(xiàn)象獲得更深刻的認識，并能預見新的現(xiàn)象。</p><p>　　隨著現(xiàn)代科學和技術的進步，將會不斷涌現(xiàn)新的數(shù)學物理方程，

116、而其產生和應用的范圍已經并且更多地超出了傳統(tǒng)的物理學、力學、天文學等領域。例如，在化學、生命科學、經濟學等自然科學和社會科學各個領域，以及在資源勘探與開發(fā)、大型建筑與水利工程、金屬冶煉工程、通信工程、新能源開發(fā)、大氣物理、氣象預報、航天工程、醫(yī)療診斷與材料無損探傷、遺傳工程等廣泛的工程技術各個領域都涉及到數(shù)學物理方程的理論及其重要應[4][5]。</p><p>　　數(shù)值天氣預報、大型水壩應力分析等許多例子，說明

117、數(shù)值求解偏微分方程在各門學科和工程中的應用，解偏微分方程已經成為科學與工程計算的核心內容，包括一些大型的計算和很多已經成為常規(guī)的計算。為什么它在當代能發(fā)揮這樣大的作用呢？第一是計算機本身有了很大的發(fā)展；第二是數(shù)值求解方程的計算方法也有了很大的發(fā)展，這兩者對人們計算能力的發(fā)展都是十分重要的[9]。</p><p>　　分離變量法是求解有界區(qū)域的初值問題最常用和最基本的一種解法。用分離變量法求解定解問題的具體步驟是:

118、</p><p>　　設方程滿足邊界條件的可分離變量的解，從而得5的固有值問題和關于的常微分方程</p><p>　　解固有值問題，求出固有值和后，對于每一個，求出常微分方程。</p><p><b>　　設定解問題的解為</b></p><p>　　由初始條件確定中所包含的待定系數(shù)。</p><p&

119、gt;　　設函數(shù)在上有定義，且積分</p><p><b>　?。ㄊ菑蛥?shù)）</b></p><p>　　在的某一區(qū)域內收斂，由此積分所確定的（復變）函數(shù)</p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，記為</p><p>　

120、　也稱為函數(shù)的象函數(shù)；為的拉普拉斯逆變換，或稱為象原函數(shù)。記為。</p><p>　　用差分法（又稱網絡法）解偏微分方程的邊值問題，其基本思想是將形式的區(qū)域、微分方程以及邊值條件離散化，轉化成由有限個離散點組成的網域和定義在網域上的差分方程，即用一個有限維的差分（代數(shù)）方程近似微分方程的邊值問題（本屬無線維問題），稱此過程為差分逼近[10]，這里需要討論的主要問題有</p><p>　　邊

121、值問題的差分逼近；</p><p>　　差分解得存在、唯一性和收斂性，以及誤差估計；</p><p>　　相應差分方程組的解法。</p><p>　　用差分方法解橢圓形方程是實用的且已有不同研究和應用成果[11][12]。</p><p>　　在微分學中，微商被定義為下式的極限</p><p><b>　　上

122、式又可以寫成</b></p><p><b>　　因此，當很小時，有</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　這就是說，微商用差商來代替，可以有三種形式，我們稱</p><p&g