1、由于人們對非線性現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識有限,使得數(shù)值模擬成為一種十分重要的研究手段,但直接數(shù)值模擬非線性偏微分方程存在一個很大的困難,即龐大的計算規(guī)模、長時間積分和有限計算資源之間的矛盾,因此構(gòu)造和研究具有長時間穩(wěn)定性和高效、低耗的算法就顯得尤為重要.本文以兩類復(fù)雜流體(定常自然對流問題和定常不可壓磁流體方程)作為研究對象,重在構(gòu)造不可壓流體的兩層網(wǎng)格有限元算法.兩層網(wǎng)格方法是一種求解非線性偏微分方程的高效數(shù)值離散格式.將它應(yīng)用到有限元上,就能

2、將求解的復(fù)雜非線性問題簡化成求解兩個問題:首先在粗網(wǎng)格上,花相當(dāng)小的代價求解非線性問題;其次在細(xì)網(wǎng)格上,由粗網(wǎng)格上所求得的初解將原問題線性化,從而得到相對簡單的線性問題,并求解.因此,兩層網(wǎng)格方法能夠節(jié)省大量計算時間.迭代法是數(shù)值計算中求解復(fù)雜非線性問題不可或缺的方法.迭代法是通過反復(fù)迭代,即從一個初始估計出發(fā)尋找一系列近似解來解決問題的過程.對于小粘性系數(shù)(即高雷諾數(shù))問題,用經(jīng)典的Galerkin有限元方法求解可能會存在數(shù)值振蕩,限

3、制了該方法在計算流體力學(xué)中的應(yīng)用,穩(wěn)定化方法的引入使得此類問題變得可解.因此我們將亞格子穩(wěn)定化方法列入本文的研究范圍.此外,復(fù)雜流體中的壓力和速度往往是耦合的,這使得求解此類問題變得困難,罰方法可以很好的處理此類問題.因此罰方法也被列入本文的研究范圍.綜合以上多種方法,我們構(gòu)造一系列求解不可壓縮流體問題的高效、低耗的新算法,具體安排如下:
　　在第三章中,針對自然對流問題,基于 Oseen迭代和亞格子穩(wěn)定化方法構(gòu)造新的兩層網(wǎng)格方法

4、:耦合的兩層亞格子穩(wěn)定化 Oseen迭代方法和解耦的兩層亞格子穩(wěn)定化Oseen迭代方法.耦合的兩層亞格子穩(wěn)定化 Oseen迭代方法分兩個步驟.首先在網(wǎng)格尺寸為 H的粗網(wǎng)格上求解自然對流問題的亞格子穩(wěn)定化 Oseen迭代數(shù)值格式,得到迭代解(umH,pmH,TmH),其中 m為 Oseen迭代步數(shù);然后在網(wǎng)格尺寸為 h的細(xì)網(wǎng)格上,利用粗網(wǎng)格上的迭代解線性化自然對流問題,求解 Newton迭代校正的數(shù)值格式得解(umh, pmh, Tmh)

5、.與耦合的兩層亞格子穩(wěn)定化Oseen迭代方法相比,解耦的兩層亞格子穩(wěn)定化Oseen迭代方法的不同之處在于在細(xì)網(wǎng)格上用的是Oseen迭代方法校正的,而且數(shù)值格式的右端 Tmh被粗網(wǎng)格上的解 T mH所代替.這樣僅需要求解兩個線性的子問題,并且這兩個子問題可以進(jìn)行并行計算,從而達(dá)到節(jié)省計算時間的目的.所給的數(shù)值算例也驗(yàn)證了所構(gòu)造的新方法的有效性和收斂性.在第四章中,針對不可壓縮磁流體方程,基于 Stokes, Newton和 Oseen迭代

6、構(gòu)造全面多樣的兩層網(wǎng)格迭代方法.在強(qiáng)唯一性條件下,我們構(gòu)造三種不同的兩層迭代方法:首先在網(wǎng)格尺寸為H的粗網(wǎng)格上求迭代解((umH,BmH),pmH);然后在網(wǎng)格尺寸為h的細(xì)網(wǎng)格上求解Stokes, Newton和Oseen校正問題的解((umh,Bmh),pmh).同時本章從理論上分析了兩層迭代方法的穩(wěn)定性和收斂性.在弱唯一性條件下,本章研究了細(xì)網(wǎng)格(網(wǎng)格尺寸為h)上一層Oseen迭代方法,并分析了相應(yīng)數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性.數(shù)值試驗(yàn)中

7、的兩個算例也說明了不同的兩層網(wǎng)格迭代方法在求解磁流體問題時所展現(xiàn)的優(yōu)缺點(diǎn).
　　在第五章中,基于罰方法,考慮了不可壓磁流體方程的兩層罰方法:取罰參數(shù)為0<ε?1,首先在粗網(wǎng)格上,用標(biāo)準(zhǔn)罰方法求解非線性磁流體問題得解((uεH,BεH),pεH);其次在細(xì)網(wǎng)格上,借助粗網(wǎng)格解用罰方法融合Stokes, Newton和Oseen迭代構(gòu)造磁流體問題的數(shù)值格式,并求其數(shù)值解((uhε, Bhε), phε).理論分析和數(shù)值算例都驗(yàn)證了算法