1、多向數(shù)據(jù)成為眾多研究領(lǐng)域中越來越常見的一種復(fù)雜數(shù)據(jù)類型，這主要歸因于現(xiàn)代計算機的發(fā)展，各種測量手段的更新，以及研究對象認識的深入。多向數(shù)據(jù)通常是幾組變量集按照相互交叉的組織形式，通過對其測量而獲取的。這樣的復(fù)雜數(shù)據(jù)類型具備多重維度，結(jié)構(gòu)豐富而且復(fù)雜，難以使用矩陣對其予以描述等特點。多向數(shù)組是多向數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)描述形式。多向數(shù)組分析是分析多向數(shù)據(jù)的最為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)工具之一。除此之外，在高階統(tǒng)計理論方面，往往涉及到高階統(tǒng)計量(高階的矩、累積量、譜

2、與倒譜等)均是多向數(shù)組。正如矩陣分析在傳統(tǒng)多元分析中的地位一樣，多向數(shù)組分析也成為高階統(tǒng)計理論研究的基本數(shù)學(xué)工具和方法。因此，急需新的多向數(shù)組分析方法對這類復(fù)雜數(shù)據(jù)的內(nèi)在的潛結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系進行探索性分析。
　　 作為多向數(shù)組分析重要部分的多向數(shù)組分解有三種最主要的方法，即，用于多向數(shù)組的二向奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)、CANDECOMP-PARAFAC分解(Canonical

3、Decomposition-Parallel Factor Analysis，PARAFAC)與TUCKER分解(Tucker's Decomposition，TUCKER)。然而，這三種均有各自的缺陷。如果多向數(shù)據(jù)本質(zhì)上是多重線性的，那么，PARAFAC和TUCKER則可以提供比二向奇異值分解更為穩(wěn)健、更具可解釋性的模型。另外，PARAFAC數(shù)值計算通常并不太穩(wěn)定，而TUCKER卻不保證多向數(shù)組近似的唯一性。
　　 依據(jù)200

4、4年美國數(shù)學(xué)學(xué)會召開的多向數(shù)組分解專題會議所提出的“理想”二向SVD擴展方法的幾個重要特性，本文提出了一種新的多向數(shù)組分解模型。本文假定多向數(shù)據(jù)是由多重雙線性結(jié)構(gòu)生成的，各向?qū)Χ嘞驍?shù)據(jù)變異均有不同程度的貢獻，可以分解成兩個部分，其中一部分為各個向所能單獨解釋的部分，另外一部分則為各個向的交互所能解釋的部分，并且，每個向所能解釋的變異是線性可加的，并且與其它向相交互，這種交互只存在于同一成分中，不同成分中它們的交互則不存在。根據(jù)這些考慮，

5、提出了具備雙重雙線性的多向數(shù)組分解模型?；谶@一模型，本文進而提出了一種新的多向數(shù)組分解方法，稱為多重雙線性分解(MultipleBilinear Decomposition，MBD)，它可以看作是二向奇異值分解到多向的一種自然擴展，并且，提出了一種非基于交替最小二乘的算法，此算法可以一步分解只提取一個成分，無需一次性地提取所有成分。
　　 從理論上來說，本文所提出的新方法具有三個重要的性質(zhì)，包括載荷向量的正交性，閉式分解形式，

6、以及變異的序列化分解等。這些性質(zhì)暗示多重雙線性分解算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。并且，類似于奇異值分解，多重雙線性分解可以提供每步分解的所得到的成分的變異解釋度。對于傳統(tǒng)多向數(shù)組分解方法，如PARAFAC分解，TUCKER分解等，這三個重要性質(zhì)是不具備的，或者，只是部分具備的。在理論上，多重雙線性分解要優(yōu)于傳統(tǒng)的多向數(shù)組分解方法。從模型角度來說，多重雙線性分解是矩陣奇異值分解的一種在更高向下更為合理的推廣。
　　 基于多重雙線性模型，本文

7、所給出的非基于交替最小二乘(ALS)的MBD算法，此算法可以一步分解只提取一個成分，可以序列地逐步對多向數(shù)組進行分解。由此，可以推測本文所給出的MBD算法更容易實現(xiàn)，也更易保證其算法數(shù)值的穩(wěn)定性。
　　 為了驗證多重雙線性分解方法的效能，設(shè)計了一個以正交PARAFAC模型為標(biāo)準(zhǔn)模型的Monte Carlo模擬試驗，以載荷向量與其真值的相似度和模型擬合精度作為評價標(biāo)準(zhǔn)。在模擬試驗中，隨著誤差水平的增高，雙重雙線性分解與PARAFA

8、C分解所得的載荷向量相似度的中位數(shù)逐步下降，而其相應(yīng)的四分位數(shù)間距則先增大后減小。但是，在各種誤差水平下，就中位數(shù)而言，MBD所估計的載荷向量相似度均不小于PARAFAC；就標(biāo)準(zhǔn)差而言，MBD的結(jié)果均不大于PARAFAC結(jié)果。需要特別注意的是，如若誤差水平為0，新方法與PARAFAC等價。另外，就模型擬合精度而言，MBD模型擬合于多向數(shù)據(jù)的精度均要高于PARAFAC模型。這些結(jié)果表明，在載荷向量估計的精確度和穩(wěn)定性，以及模型的擬合程度方

9、面，多重雙線性分解均要優(yōu)于PARAFAC，即使新方法沒有直接使用多重線性的先驗信息。另外，由于新方法的分解方式為序列式的，因而，可以認為新方法是PARAFAC的一種更優(yōu)的備擇方法。
　　 本文將多向數(shù)組分解方法引入到公共衛(wèi)生研究領(lǐng)域之中。以女中學(xué)生營養(yǎng)監(jiān)測為例，針對女中學(xué)生貧血血液生化指標(biāo)進行分析，以一項青春期女中學(xué)生健康調(diào)查資料作為實例，從青春期發(fā)育特點和營養(yǎng)性貧血的角度，從成分的變異解釋度和載荷向量的解釋性兩個方面，對新方法

10、與傳統(tǒng)多向數(shù)組分解方法之一的PARAFAC分解進行系統(tǒng)比較。從成分的變異解釋度來看，無論是正常組，還是營養(yǎng)性貧血組，MBD前兩個成分的變異解釋均要高于PARAFAC前兩個成分的變異解釋度。這說明MBD對多向數(shù)據(jù)的擬合程度要高于PARAFAC。從載荷向量的解釋性上來看，相較于PARAFAC分解而言，多重雙線性分解的分析結(jié)果更加切合于現(xiàn)有青春期女性發(fā)育特點和營養(yǎng)性貧血診斷標(biāo)準(zhǔn)。這說明新方法的可解釋性要強于PARAFAC。從實用的角度來可以說