1、隨著計算的硬件和軟件技術的不斷提高，經典的公鑰密碼面臨越來越大的安全威脅，公鑰密碼的一個分支——基于代數(shù)曲線上計算困難性的密碼體制引起研究者更多的關注，其中橢圓曲線密碼體制已經出臺了相關標準，除此以外，我們希望能夠找到更多的，或者在某些方面更有優(yōu)勢的代數(shù)曲線來實現(xiàn)公鑰密碼體制。 本文定義并系統(tǒng)的研究了剩余類環(huán)Z<,n>上的圓錐曲線C<,n>(a,b)和廣義圓錐曲線R<,n>(a,b,c)，以及它們的公鑰密碼體制，并將其應用到可分

2、電子現(xiàn)金、電子現(xiàn)金發(fā)行等社會生活常用的各類系統(tǒng)中。 論文的主要研究成果概括如下： 1．用兩種方式對C<,n>(a，b)進行了刻劃；在C<,n>(a，b)上定義了兩種加法運算，并證明這兩種運算是相同的，記為；同時，證明了C<,n>(a,b)對所定義的運算 構成一個有限加群，記為(C<,n>(a,b)， )。 2．對群(C<,n>(a,b)，)的一些基本性質作了較深入的討論，包括離散對數(shù)問題、階的計算、基點G的尋求等

3、；指出如何通過C<,p>(a，b)和C<,q>(a，b)的性質來證明C<,n>(a,b)的性質；為各種密碼協(xié)議在C<,n>(a，b)上的模擬提供了可能性。 3．分析了經典RSA算法所面臨的威脅，如小指數(shù)攻擊，指出C<,n>(a，b)上的RSA公鑰密碼算法和經典RSA算法一樣，其安全性建立在大數(shù)分解的困難性上，但由于能夠抵抗小指數(shù)攻擊，比經典RSA算法更安全，具有應用前景。 4．給出了橢圓曲線E<,n>(a,b)上的KMO

4、V方案和QV方案在C<,n>(a，b)上的模擬，新算法的安全性建立在大數(shù)分解的困難性基礎上，但在抵抗小加密指數(shù)、小解密指數(shù)攻擊方面比經典RSA算法更安全。 5．總結了電子現(xiàn)金和電子支付系統(tǒng)的發(fā)展研究現(xiàn)狀；指出盲簽名和群簽名的發(fā)展在電子支付系統(tǒng)中的重要作用；給出了RSA型盲簽名方案和群簽名方案在C<,n>(a，b)上的模擬，分析兩個新方案在安全性和實現(xiàn)方面所得到的提高。 6．進一步研究了有限域上廣義圓錐曲線R<,p>(a,

5、b,c)的性質，給出Rp(a,b,c)有理點所滿足的方程，有理點的坐標表示和階的計算等。 7．系統(tǒng)的研究了環(huán)Z<,n>上的廣義圓錐曲線R<,n>(a,b,c)的一般性質，以兩種方式對R<,n>(a,b,c)進行了刻劃，在R<,n>(a,b,c)上定義了兩種加法運算，并證明這兩種運算是相同的，仍記為 ；指出如何通過R<,p>(a,b,c)和R<,q>(a,b,c)的性質來證明R<,n>(a,b,c)的性質，證明了R<,n>(a,b

6、,c)對于定義的運算 構成一個有限加群，記為(R<,n>(a,b,c)， )，給出了R<,n>(a,b,c)的階；為各種密碼協(xié)議在R<,n>(a,b,c)上的模擬提供了可能性。 8．給出了環(huán)Z<,n>上的廣義圓錐曲線R<,n>(a,b,c)的一種分類，討論了R<,n>(a,b,c)的離散對數(shù)問題，定義了環(huán)Z<,n>上的Ⅰ類和Ⅱ類廣義圓錐曲線，證明了Ⅰ類廣義圓錐曲線R<,n>(a,b,c)等價于環(huán)上的圓錐曲線C<,n>(a,b)，