1、<p>　　Dynamic analysis of bridge–vehicle system with uncertainties based on the finite element model 譯文</p><p><b>　　中文譯文：</b></p><p>　　不確定性橋梁車輛系統(tǒng)動態(tài)分析的模型 </p><p>&

2、lt;b>　　摘要</b></p><p>　　本文提出了關于車橋不確定的相互作用動態(tài)分析方法。把一座橋模擬成一簡支梁歐拉伯努利簡支梁，移動荷載作用在其頂部。該荷載隨著時間的變化產(chǎn)生不同的變異系數(shù)，這被認為是高斯隨機過程。車橋系統(tǒng)的數(shù)學模型,建立在系統(tǒng)的有限元模型上,其中KarhunenLoeve擴展代表高斯隨機過程，用Newmark-方法來解決系統(tǒng)方程。文中提出的方法與蒙特卡洛法相比,，在力的

3、作用下均值和結構反應的結果是非常準確的。和蒙特卡羅方法的比較，文中提出的方法在計算效率也有優(yōu)異的性能。</p><p>　　S.Q. Wu, S.S. Law</p><p>　　Civil and Structural Engineering Department, Hong Kong Polytechnic University, Hunghom, Kowloon, Hong Kong

4、, China</p><p>　　文章歷史：2009年3月24日初稿完成2010年1月9日修訂完成 2010年5月20日發(fā)表</p><p>　　關鍵詞：動態(tài)；車橋系統(tǒng)；不確定性；移動荷載；高斯；有限元法；KarhunenLoéve擴展</p><p><b>　　1.介紹</b></p><p>　　近年來

5、橋梁狀態(tài)的評估在研究人員中是很受歡迎的。當一個車輛通過橋面板時,一個放大的需要加以考慮的力將會出現(xiàn)。</p><p>　　受到移動車載負荷的橋梁動力響應結構已經(jīng)被研究了十年之久。Fryba提出解析等截面的簡支梁和連續(xù)梁。Green 和 Cebon給出了歐拉伯努利梁的動態(tài)響應</p><p>　　在頻域下使用迭代過程，來解決“quarter-car”車輛模型。類似工作被楊和林做過，兩個人曾經(jīng)

6、研究過行駛中的車輛的動態(tài)互動和支護橋梁采用模態(tài)疊加技術的解決方案。Zheng et al也.研究了受移動荷載作用的變截面連續(xù)梁。梁橋模型是由Zhu and Law擴展在拉格朗日方程和模態(tài)疊加基礎上通過一系列的移動荷載作用于正交各向異性板和簡支矩形板的兩個平行邊而建成的。Marchesiello et al. 也提出了一種解析的方法, 在七個自由度車輛系統(tǒng)運作下以橋梁車輛系統(tǒng)之間的互動關系將載荷作用的連續(xù)橋面轉化為各向同性。</p&

7、gt;<p>　　與上述工作中模態(tài)疊加的應用技術相比，用有限元分析方法來處理更復雜的橋梁車輛動態(tài)模型。Henchi et al.提出了一種高效算法來分析一座橋梁表面的動態(tài)模型，此時大量的車輛以規(guī)定的速度在橋面上行駛，作用于橋面車載軸載被描繪成使用形函數(shù)有限元模擬的節(jié)點力。耦合方程解決了在不用迭代法的情況下的橋梁車輛系統(tǒng)運動。類似的方法Lee ，Yhim 和Kim et al.曾經(jīng)提出過。通過實驗和現(xiàn)場分別測試數(shù)據(jù)，也有其他

8、種類的有限元模型方法,如“移動單元法”和“移動質量單元法”,來解決移動荷載作用在框架和鋼結構上的難題。</p><p>　　雖然在車橋相互作用的問題中大多數(shù)的方法將路面不平度作為了不確定性的來源,但是傳統(tǒng)的解決方法很準確。在ISO標準中根據(jù)其譜線密度的定義，路面不平度被認為是不規(guī)則的型材的樣品。如果激振作用在不確定性橋面時，根據(jù)不同的粗糙度,不同的樣品就可以獲得不同的響應統(tǒng)計計算,并且可以完整描述橋梁車輛的動態(tài)響

9、應系統(tǒng)。當從表面上看時，車橋系統(tǒng)經(jīng)常展現(xiàn)一個固有的隨機性。由于其中不確定性結構性能以及加載過程，傳統(tǒng)的確定性分析一般只能解決近似的情況。此時，應該用隨機分析來代替車橋系統(tǒng)的互動問題。</p><p>　　近年來將橋面粗糙度的動態(tài)響應建模為高斯隨機過程的研究工作已經(jīng)開展進行了。由于車輛和橋梁的表面粗糙度參數(shù)認為是確定性，所以一些研究人員只考慮了隨機性。這些工作主要可以分為頻域法和時域方法。其他還包括移動車輛在整體質

10、量、剛度、阻尼和移動速度上的隨機性來評估結構的響應。另一個橋梁結構的隨機性很少用在研究車軸的交互問題上。隨機有限元方法通常用來分析模型結構的不確定性。一個單一的移動荷載作用在梁上，F(xiàn)ryba et al. 通過攝動剛度和被模擬成高斯隨機變量期望值的阻尼來評價梁的動態(tài)響應。</p><p>　　當不確定性數(shù)值增加時，攝動法會失去它的準確性，此時Karhunen_Loéve expansion將被采用來代表

11、高斯隨機過程。 在高斯車載荷載的作用下，這座橋的反應可能會有非高斯特性，但是可以近似看成具有高斯隨機的特性。這種方法跟Ghanem 和Spanos所提出的在一個多項式的基礎上通過隨機有限元方法來預測非高斯隨機響應特性是相似的。它是一種更普遍的能處理變量范圍更廣的方法.。然而,在大量的KarhunenLoeve組件的數(shù)量代表系統(tǒng)參數(shù)和勵磁時，在解決多項式擴大的問題上，它卻受指數(shù)增長的維度困擾。</p><p>　　

12、在車橋相互作用問題,隨機激勵力是一個復雜的需要大量的高頻的K-L組件來表示的隨機過程,因此多項式混亂數(shù)量會變的非常大。在實踐中, 由于道路表面粗糙度，激振力的隨機性可能會成為非常大的, 當?shù)缆窢顩r惡劣時根據(jù)ISO標準，該力的變異系數(shù)會超過0.8,而橋梁的系統(tǒng)參數(shù)隨機性是相對較小的。</p><p>　　在隨機有限元模型的基礎上,本文提出了動態(tài)響應來計算橋梁結構，此結構是一個車軸固有的隨機性系統(tǒng)?；诖四Ｐ偷乃惴?/p>

13、以處理復雜的不確定的激發(fā)力。這座橋是模擬成一個歐拉伯努利簡支梁。該簡支梁頂部作用著一個移動荷載。該荷載隨著時間的變化產(chǎn)生不同的變異系數(shù)，這被認為是高斯隨機過程。使用KarhunenLoeve擴展和響應的統(tǒng)計數(shù)字通過Newmark-β方法求解得到該系統(tǒng)的運動方程。數(shù)值仿真結果表明,該方法與Monte Carlo模擬吻合。</p><p>　　第二節(jié)主要介紹車橋系統(tǒng)的確定性和激發(fā)力。第三節(jié)介紹的KarhunenLoe

14、ve膨脹的基本理論及應用。第四節(jié)介紹隨機有限元模型車橋系統(tǒng)包括隨機系統(tǒng)參數(shù)進行隨機移動。第五節(jié)中給出了在實際應用中數(shù)值模擬的影響和各種因素對精度的影響。最后一節(jié)得出結論。</p><p><b>　　2 系統(tǒng)的運行方程</b></p><p>　　這座橋可以轉化成多個負載移動作用的歐拉伯努利簡支梁。這個方程</p><p><b>　

15、　運動可以寫成</b></p><p>　　ρ是質量密度，A是截面面積，c和EI分別橫梁上的阻尼和抗彎剛度; w(x,t)是位移和時間的函數(shù)；vi是移動荷載Fi.t/的速度；是拉克三角函數(shù)；是移動荷載作用的數(shù)量。</p><p>　　厄密共軛立方插值形函數(shù)和這個假定的方程,對瑞利阻尼運動可以用橋用矩陣的形式表示</p><p>　　Mb, Cb和Kb分別

16、是質量、阻尼和橋梁結構的剛度矩陣； ，分別代表矢量結構結點位移，速度和加速度。HbF是等效節(jié)點負載向量的車橋系統(tǒng)的相互作用力。當=2的時候可以寫成這種形式</p><p>　　當NN是在考慮邊界條件橋梁結構自由度的數(shù)目時，可以寫成</p><p>　　中在時間t之內力j的作用次數(shù)i， ，l是梁的長度。</p><p>　　在移動荷載的作用下的橋的節(jié)點響應的模型能通過

17、公式（2）直接解決。橋的位移x和時間t的關系可以表示為：</p><p>　　在和形函數(shù)中，是向量1*n除了x作用梁的位置。</p><p><b>　　3.1. 原理</b></p><p>　　Karhunen_Loéve expansion的隨機變量是基于它的誤差協(xié)方差函數(shù)。此函數(shù)可以用下面光譜分析：</p>&l

18、t;p>　　其中和分別是特征值和特征向量協(xié)方差, 他們可以證明</p><p>　　下面積分方程24的解：</p><p>　　由于非對稱性協(xié)方差,相互正交的特征，他們是正交協(xié)方差函數(shù)的代表。特征向量可以歸化為以下</p><p>　　其中是克羅內克函數(shù)。隨機函數(shù)可以寫成：</p><p>　　其中是個獨立的隨機變量。θ代表的是自由度。

19、可以表示為</p><p>　　其中代表的是期望值。</p><p>　　3.2 向量的隨機過程</p><p><b>　　隨機過程可以寫成：</b></p><p>　　其中和可以分別表示為</p><p>　　其中代表的是期望值。</p><p>　　隨機變量過程可以

20、離散的等同于時間間隔，時間的次數(shù)n=T/Δt+1，其中T是總時間。Karhunen_Loéve中的離散矢量的隨機過程可以證行為一維過程VV:</p><p>　　協(xié)方差矩陣可以定義為：</p><p>　　也可以寫成矩陣形式:</p><p>　　其中*n 相應的K_L expansion可以定義以下特征問題：</p><p>　　

21、VV的K_L表示可以為：</p><p>　　其中是均值向量，是Karhunen_Loéve向量，可以表示為</p><p>　　其中表示的是當尺寸是1*n時，代表的是第j個K_L組件在中的第i項。根據(jù)方程（15）—（19）它們可以從Karhunen_Loéve向量中提出來。所以可以變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　均值向量</

22、b></p><p>　　4 高斯勵磁系統(tǒng)和系統(tǒng)參數(shù)</p><p>　　4.1 隨機有限元算法</p><p>　　質量密度，楊氏模量，阻尼被假定為高斯隨機過程。均值，標準偏差和它們的隨機組件可以表示為。隨機結構的運動方程和隨機激勵可以被寫成：</p><p>　　其中A是截面面積，I是梁的慣性轉矩，θ代表是自由度。公式（22）還可以

23、寫成：</p><p>　　其中分別代表相對于結點的位移向量，速度向量和結構加速度向量。M，C，K分別是橋梁結構的質量，阻尼和剛度。</p><p>　　分別是系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣。他們可以寫成：</p><p>　　其中是組件的數(shù)量在the K_L expansion的楊氏模量中。剛度矩陣的元素構成為：</p><p><b&g

24、t;　　系統(tǒng)剛度矩陣K等于</b></p><p>　　其中可以等于，讓，又可以得到：</p><p>　　類似的系統(tǒng)的質量矩陣可以表示為：</p><p>　　根據(jù)方程（25），瑞利阻尼矩陣是系統(tǒng)的質量和剛度矩陣的線性組合。阻尼矩陣可以表示為：</p><p>　　其中分別是K_L expansion中質量密度和阻尼的組件數(shù)目；

25、。</p><p>　　根據(jù)方程（21），隨機激振力向量可以被K_L expansion表示。</p><p>　　其中是K_L expansion中移動荷載的數(shù)目。是K_L組件的數(shù)量。因為在方程（17）協(xié)方差的矩陣不已知的，所以根據(jù)方程（21）K_L expansion不能看成節(jié)點位移矢量。然而可是，它假定了隨機性系統(tǒng)參數(shù)并不是很龐大和路面結構響應近似具有高斯分布的性質。因此采取的形式為

26、：</p><p>　　其中是相應的組件數(shù)量，受K-L的激振力和系統(tǒng)參數(shù)的數(shù)量所決定的。像。同樣,節(jié)點的速度矢量和節(jié)點加速度</p><p><b>　　向量形式為：</b></p><p>　　其中分別代表對時間t的一次和二次導數(shù)。將方程（29）-方程（35）帶入到方程（23）并將帶入到公式的兩邊，在根據(jù)方程（11）的正交性質，我們可以得到：

27、</p><p>　　改為矩陣形式，方程（36）改為</p><p>　　其中和可以計算解析。</p><p><b>　　4.2. 響應統(tǒng)計</b></p><p>　　通過使用Newmark-β方法獲得的結果來解決橋的結點響應計算。方差的結點位移可以寫為：</p><p>　　根據(jù)方程（5）橋

28、的坐標x與時間t的關系：</p><p>　　因此均值和方差的位移在位置x和時刻t的關系為：</p><p>　　在方程（40）中，將的一次和二次導數(shù)代替，可以得到速度，加速度的均值和方差。通過方程（40）計算得到的結果后，在位移x和時間t影響下即可得到橋面的概率密度函數(shù)。</p><p><b>　　5. 數(shù)值模擬</b></p>

29、<p>　　車橋系統(tǒng)的模型見下圖。</p><p>　　下列是模擬橋梁性能的模型：橋面的長度L=40m；橫截面面積A=4.8平方米；斷面的慣性矩I=2.5498；阻尼比=0.02；彈性模量E=和質量密度=；他們有空間相關性以圖表的形式顯示。</p><p>　　其中是系統(tǒng)參數(shù)E，，a的標準偏差；兩個隨機彈性模量E和質量密度的假設</p><p>　　同

30、樣的空間相關系數(shù)；這一選擇是武斷的，同樣分析適用的情況，在隨機性在彈性模量E和質量密度是完全不同的。</p><p>　　提出了隨時間變化的荷載假設為高斯隨機過程的平均值。</p><p>　　和在所有時間相同的變異系數(shù)的實例相比。這兩個負荷是在一個特定的速度移動四米。這座橋模型分為八個相等單元，每個單元5米。所有單元的采樣頻率為200HZ。系統(tǒng)本身移動荷載的作用速度是40m/秒。在移動荷

31、載作用下的梁模型統(tǒng)計數(shù)據(jù)與Monte Carlo相比較。這之間的誤差定義為：</p><p>　　5.1. Monte Carlo模擬驗證</p><p>　　在一萬個激勵力的實例采用Monte Carlo模擬進行響應統(tǒng)計計算。目前所提出的方法，根據(jù)方程（17）激勵力的協(xié)變性能3.2章節(jié)中取得實例。K-L單元力可以從下述的特征值分析。相對lParge特征值根據(jù)標準保留</p>

32、<p>　　該系統(tǒng)的協(xié)方差定義根據(jù)方程（41），得到與變異系數(shù)的關系如下圖。</p><p>　　采用特征值分析協(xié)方差系統(tǒng)參數(shù)，在橋梁的模型中代表每一個隨機波動的領域都采用了K-L單元。通過方程（37），使用Newmark-β方法，可以得到。通過方程（40），橋梁的模型響應和統(tǒng)計位移可以計算出來。</p><p>　　研究確定性的激勵力（）和隨機性的力（）作用在梁上的結果。研究

33、指出前者的向量力為非零。下圖為梁位移的均值和方差的計算與MCS的比較。</p><p>　　結果表明兩種方法的結果基本一致。然而通過用一臺奔騰cpu，主頻3.0，內存為2G電腦得出文中提出的方法比理論計算方法更快。</p><p>　　5.2. 車輛速度的影響</p><p>　　本小節(jié)研究的是對不同層次的系統(tǒng)所提出的方法的確定性。通過Monte-Carlo模擬和1

34、0萬個例子來證明它的正確性。又研究了確定的激勵力和隨機的激勵力。變異系數(shù)為1%,2%，5%，10%的彈性模量E和密度在跨中統(tǒng)計和計算位移方法被采用。不同車速 與跨中位移的對應關系：</p><p>　　跨中位移與百分比的關系：</p><p>　　跨中位移與力的關系：</p><p>　　這些結果與MCS所得到的結果一致。隨著系統(tǒng)參數(shù)隨機性計算均值和相對差有點差別。

35、當系統(tǒng)參數(shù)變化很小時，相對差看成方差計算是很準確的。當隨機性的系統(tǒng)參數(shù)變大時，高斯假設是不正確的。在這種情況下,非高斯假設和多項式的結果應使用代表混亂的結果。</p><p>　　5.4 激勵效應隨機性的影響</p><p>　　當時，系統(tǒng)參數(shù)的變異系數(shù)是不變的。在本小節(jié)中，在激勵效應的作用下，不同方法的精確性。在車橋系統(tǒng)互動問題上隨機性的激發(fā)力往往會很大，這是因為路表面粗糙惡劣的路況，所

36、以該力系數(shù)的變化設置為5%，10%，20%，50%，80%。在表三中根據(jù)方程（44），使跨中位移的MonteCarlo模擬方法與建議的隨機力的方法相比較，對這兩種方法的均值和方差進行計算，結果表明大的不確定激勵力在 K-L擴張中是準確的。</p><p>　　在平均增加值中的一個小幅的激發(fā)力，其相對差異的隨機性增加，而相對誤差的方差略有下降。后著表明誤差的算法主要受系統(tǒng)參數(shù)COV的影響。當激勵力的隨機性很大時，從

37、COV的系統(tǒng)模型效果將變得不那么重要，并從該方法的結果將更加準確。</p><p><b>　　5.5 討論</b></p><p>　　該方法的好處是通過該方法使橋梁反應方便快捷地生成其他任何應用技術，例如識別反應力與結構安全評估的可靠性分析。概率密度函數(shù)的反應也可以當隨機成分的響應進行計算。</p><p>　　該方法已被證明比Monte

38、Carlo模擬法更為有效。K-L單元的數(shù)量展現(xiàn)了隨機過程是一個非常有效率的計算方法，它是內核選擇的協(xié)方差。有最小期限的內核協(xié)方差經(jīng)常被高自由度的系統(tǒng)選擇。當單元數(shù)量或者實例的數(shù)量導致長時間的特征分析時，在方程（17）中協(xié)方差矩陣往往會變得非常大。因此數(shù)據(jù)的高采集率不能作為上述論點的結果。可以通過Fredholm方程來解決特征值計算效率的問題。本文多提出的方法只做一種參考。</p><p><b>　　6

39、 結論</b></p><p>　　一種新的方法關于解決車橋系統(tǒng)動態(tài)分析問題的不確定性和激勵被提出。當一個移動的荷載作用在橋面板被假定為高斯隨機過程時，KarhunenLoéve擴展已經(jīng)被用來代表在隨機建模中的高斯隨機過程。在假設系統(tǒng)隨機性參數(shù)小的情況下，高斯模擬的結果可以被使用。通過Newmark-β方法解決了橋梁車輛系統(tǒng)所建立的數(shù)學模型。該結果檢驗Monte Carlo Simulati

40、on是令人非常滿意的。結果表明該計算方法有非常高的效率，對實際移動荷載的速度不敏感但對大激發(fā)力很敏感。雖然本文的方法是對簡支梁做的實驗，但這種方法可以處理更為復雜的有多個自由度的橋梁車輛系統(tǒng)。對于那些系統(tǒng)參數(shù)不確定性大的以及高階多項式混亂的車橋系統(tǒng)也可采用，但已超出本文的范圍。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Fryba L.

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