1、<p><b>　　中文1400字</b></p><p>　　冪級數(shù)的展開及其應(yīng)用</p><p><b>　　梁慧</b></p><p>　　(杭州師范大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)053，浙江杭州310000)</p><p>　　【摘要】通過學(xué)習(xí)冪級數(shù)的一些基本知識，得出常用初等函

2、數(shù)冪級數(shù)的展開式．并且探討函數(shù)冪級數(shù)在初等函數(shù)的應(yīng)用。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】冪級數(shù)；馬克勞林公式；泰勒公式；初等函數(shù)</p><p>　　冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的—個非常重要的內(nèi)容，而且冪級數(shù)的應(yīng)用也非常廣泛，可以借助冪級數(shù)的展開形式，很容易的解決一些較為復(fù)雜的問題，本文旨在研究冪級數(shù)的展開形式及其在初等函數(shù)的應(yīng)用。</p><p>　　一、 馬克勞林(Mac

3、laurin)公式</p><p>　　冪級數(shù)實際上可以視為多項式的延伸，因此在考慮函數(shù)能否展開成冪級數(shù)時，可以從函數(shù)與多項式的關(guān)系入手來解決這個問題．為此，這里不加證明地給出如下的公式．</p><p>　　泰勒(Taylor)公式 如果函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)，有直到階的導(dǎo)數(shù)，則在這個鄰域內(nèi)有如下公式：</p><p><b>　　,(9?5?1)<

4、/b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　稱為拉格朗日型余項．稱(9?5?1)式為泰勒公式．</p><p><b>　　如果令，就得到</b></p><p>　　，

5、 (9?5?2)</p><p><b>　　此時，</b></p><p><b>　　, ()．</b></p><p>　　稱(9?5?2)式為馬克勞林公式．</p><p>　　公式說明，任一函數(shù)只要有直到階導(dǎo)數(shù)，就可等于某個次多項式與一個余項的和．</p><p

6、><b>　　我們稱下列冪級數(shù)</b></p><p><b>　　(9?5?3)</b></p><p>　　為馬克勞林級數(shù)．那么，它是否以為和函數(shù)呢?若令馬克勞林級數(shù)(9?5?3)的前項和為，即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　那么，級數(shù)(

7、9?5?3)收斂于函數(shù)的條件為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　注意到馬克勞林公式(9?5?2)與馬克勞林級數(shù)(9?5?3)的關(guān)系，可知</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　于是，當</b></p>&l

8、t;p><b>　　時，有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　反之亦然．即若</b></p><p><b>　　則必有</b></p><p><b>　　．</b></p>

9、;<p>　　這表明，馬克勞林級數(shù)(9?5?3)以為和函數(shù)馬克勞林公式(9?5?2)中的余項 (當時)．</p><p>　　這樣，我們就得到了函數(shù)的冪級數(shù)展開式：</p><p><b>　　(9?5?4)</b></p><p>　　它就是函數(shù)的冪級數(shù)表達式，也就是說，函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的．事實上，假設(shè)函數(shù)可以表示為冪級

10、數(shù)</p><p>　　， (9?5?5)</p><p>　　那么，根據(jù)冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)，再令(冪級數(shù)顯然在點收斂)，就容易得到</p><p><b>　　．</b></p><p>　　將它們代入(9?5?5)式，所得與的馬克勞林展開式(9?5?4)完全相同．<

11、/p><p>　　綜上所述，如果函數(shù)在包含零的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)間內(nèi)的馬克勞林公式中的余項以零為極限(當時)，那么，函數(shù)就可展開成形如(9?5?4)式的冪級數(shù)．</p><p><b>　　冪級數(shù)</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　稱為泰勒

12、級數(shù)．</b></p><p>　　二、 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式</p><p>　　利用馬克勞林公式將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法．</p><p>　　例1 試將函數(shù)展開成的冪級數(shù)．</p><p><b>　　解 因為</b></p><p><b>　　

13、, </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是我們得到冪級數(shù)</b></p><p>　　， (9?5?6)</p><p

14、>　　顯然，(9?5?6)式的收斂區(qū)間為，至于(9?5?6)式是否以為和函數(shù)，即它是否收斂于，還要考察余項．</p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　()，　且，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b&

15、gt;　　．</b></p><p>　　注意到對任一確定的值，是一個確定的常數(shù)，而級數(shù)(9?5?6)是絕對收斂的，因此其一般項當時，，所以當時，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由此可知</b></p><p><b>　?。?lt;/b

16、></p><p>　　這表明級數(shù)(9?5?6)確實收斂于，因此有</p><p><b>　　()．</b></p><p>　　這種運用馬克勞林公式將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，雖然程序明確，但是運算往往過于繁瑣，因此人們普遍采用下面的比較簡便的冪級數(shù)展開法．</p><p>　　在此之前，我們已經(jīng)得到了函數(shù)，及的

17、冪級數(shù)展開式，運用這幾個已知的展開式，通過冪級數(shù)的運算，可以求得許多函數(shù)的冪級數(shù)展開式．這種求函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法稱為間接展開法．</p><p>　　例2 試求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式．</p><p><b>　　解 因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>&

18、lt;b>　　而</b></p><p><b>　　,（），</b></p><p>　　所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的法則，可得</p><p><b>　　,（）．</b></p><p>　　三、 函數(shù)冪級數(shù)展開的應(yīng)用舉例</p><p>　　冪級數(shù)展開

19、式的應(yīng)用很廣泛，例如可利用它來對某些數(shù)值或定積分值等進行近似計算．</p><p>　　例3 利用的展開式估計的值．</p><p><b>　　解 由于，</b></p><p><b>　　又因</b></p><p><b>　　， ()，</b></p>

20、<p><b>　　所以有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　可用右端級數(shù)的前n項之和作為π的近似值．但由于級數(shù)收斂的速度非常慢，要取足夠多的項才能得到π的較精確的估計值．</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p&