1、<p>　　本科學生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　題目（中文）： 凸函數的性質及其應用</p><p>　?。ㄓ⑽模篘ature and Application of Convex Function</p><p>　　凸函數的性質及其應用</p><p><b>　　摘 要</b></p>

2、;<p>　　凸函數是一類重要的函數，在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用，本文給出了凸函數的三種等價定義，并討論了凸函數的有關性質，以及它在不等式方面的相關應用。</p><p>　　[關鍵詞] 凸函數 等價定義 性質 應用 最優(yōu)化</p><p>　　Nature and Application of Convex Function </p><p&

3、gt;<b>　　Abstract</b></p><p>　　Convex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex functio

4、n and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality </p><p>　　[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Opti

5、mization</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　緒論 …………………………………………………（1） </p><p>　　凸函數的概念與等價定義 ………………………… （1） </p&g

6、t;<p>　　凸函數的概念 ………………………………… （1） </p><p>　　凸函數的等價定義……………………………… （2） </p><p>　　凸函數的簡單性質 ……………………………………（3） <

7、/p><p>　　凸函數的判定定理 ……………………………………（5） </p><p>　　關于凸函數的幾個重要不等式…………………………（7） </p><p>　　Jensen不等式………………………………………（7）

8、 </p><p>　　Hadamard不等式……………………………………（10） </p><p>　　5 凸函數的應用 …………………………………………（11） </p><p>　　5.1 凸函數在證明不等式中的應用……………………（11）

9、 </p><p>　　5.2.一般凸函數和凸集…………………………………（13） </p><p>　　5.3 廣義凸函數求極小的問題…………………………（14） </p><p>　　5.4廣義凸函數求極大的問題…………………………（16）

10、 </p><p>　　結束語 ………………………………………………………（19） </p><p>　　致謝 …………………………………………………………（19） </p><p>

11、　　參考文獻……………………………………………………（20） </p><p><b>　　緒論 </b></p><p>　　凸函數是一類非常重要的函數，廣泛應用于數學規(guī)劃，控制論等領域,函數凸性是數學分析中的一個重要概念,它在判定函數的極值、研究函數的圖象以及證明不等式諸方面都有廣泛的應用.凸

12、分析作為數學的一個比較年輕的分支，是在50年代以后隨著數學規(guī)劃，最優(yōu)控制理論、數理經濟學等應用數學學科的興起而發(fā)展起來的。運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。運籌學的創(chuàng)始人定義運籌學是：“管理系統(tǒng)的人為了獲得關于系統(tǒng)運行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學方法?！彼褂迷S多數學工具（包括概率統(tǒng)計、數理分析、線性代數等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調度等問題，以期發(fā)揮最大效益。隨著科學技術和生產的發(fā)展，運籌學

13、已滲入很多領域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。</p><p>　　本世紀初建立了凸函數理論以來,凸函數這一重要概念已在許多數學分支中得到了廣泛應用?，F(xiàn)行高等數學教材中,也都對函數的凸性作了介紹,由于各版本根據自己的需要,對凸函數這一概念作了不同形式的定義,本文就以凸函數幾種定義的等價性給以證明,并給出簡單的應用，應用凸函數的概念與性質來證明幾個重要且常用的不等式和凸函數在證明一般不等式中的應用；研究凸函數在最優(yōu)化中

14、的應用，研究比凸函數更一般的各類凸函數，給出它們的定義及以及其之間的關系；以及廣義凸函數求極小的問題（即廣義凸規(guī)劃）和廣義凸函數求最大的問題。</p><p>　　1 凸函數的概念與等價定義</p><p><b>　　凸函數的概念</b></p><p>　　人們常用凸與凹來反映曲線的彎曲方向。這種從幾何直觀給出的關于曲線凸（凹）的概念反映

15、在數學上就是表達該曲線的凸（凹）性概念。</p><p>　　定義1 設是定義在區(qū)間上的函數，若對上的任意兩點,,常有</p><p><b>　　則稱為上的凸函數。</b></p><p>　　定義2 若在定義上成立不等式（≠）</p><p><b>　　<</b></p>

16、;<p>　　則稱是上嚴格的凸函數。</p><p>　　例1 .1.1 指數函數(>0,≠1)是（-∞，+∞）上的嚴格凸函數。</p><p>　　不難驗證，恒正的函數(>0,≠1)滿足關系式</p><p>　　由指數函數的單調性可知，當 時，必有 ，再由不相等正數的幾何平均值小于它們的算術平均值，則有</p><

17、;p><b>　　<</b></p><p><b>　　綜上所述可得：</b></p><p><b>　　<</b></p><p>　　因此，(>0,≠1)是（-∞，∞）上的嚴格凸函數。</p><p>　　1.2 凸函數的等價定義 </p

18、><p>　　定義 1 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數當且僅當對任意 ,∈,任意∈(0,1)有</p><p>　　若不等號反向，則稱 為上的凹函數。</p><p>　　若“≤”改為“<”，則稱 為上的嚴格凸函數。</p><p>　　定義2 設在區(qū)間上有定義,在上成為凸函數當且僅當對任意,∈,有</p><p

19、>　　定義3 設在區(qū)間上有定義，在上成為凸函數當僅當對任意,…,∈,有</p><p>　　推論：若在區(qū)間上成為凸函數，則對任意<<,有</p><p>　　注：若在上連續(xù)，則上述定義1,2,3等價。 </p><p>　　2 凸函數的簡單性質</p><p>　　在本節(jié)中，來敘述關于凸函數的一些常用的簡單的性質

20、。</p><p>　　定理2.1 設在區(qū)間I上為凸函數，對任意，則:</p><p>　　時，在區(qū)間上為凸函數</p><p>　　時，在區(qū)間上為凹函數</p><p>　　定理2.2 設，是間I上的凸函數，則其和也是I上的凸函數。</p><p>　　由定理2.1和定理2.2可知下面的推論</p>&

21、lt;p>　　推論：設，是間I上的凸函數，則線性組合的函數為I上的凸函數</p><p><b>　　為I上的凹函數</b></p><p>　　定理2.3 若設，是間I上的凸函數，則為I上的凸函數</p><p>　　定理2.4 設是單調遞增的凸函數，u = f (x)是凸函數，則復合函數也是凸函數</p><p&g

22、t;　　定理2.5 設為區(qū)間I上的凹函數，，則為區(qū)間I上的凸函數，反之不真。</p><p>　　證明：要證為區(qū)間I上的凸函數，即證任意有</p><p>　　因為，為凹函數。故有</p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　只需證明：</b></p>&l

23、t;p><b>　　由于，故</b></p><p><b>　　成立，結論得證。</b></p><p>　　另：設為R上的凸函數，但仍為凸函數。</p><p>　　定理2.6 若在區(qū)間I上為凸函數，對任意，則為I的內點。則單側導數皆存在，且。</p><p>　　推論：若為I上的凸函數，

24、則在I上的內點連續(xù)。</p><p>　　定理2.7 為區(qū)間上的凸函數，對任意對任意有</p><p>　　證明：（必要性） 已知為區(qū)間上的凸函數，則由定理2.5可知對任，存在，</p><p><b>　　且單調于。</b></p><p><b>　　故對當時有</b></p>&

25、lt;p><b>　　同理，當時，當時有</b></p><p><b>　　因為 </b></p><p><b>　　故對，對，總有</b></p><p>　　（充分性）對，由題設，對，存在使得</p><p><b>　　在上式中分別令得</b&g

26、t;</p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　3 凸函數的判定定理</p><p>　　利用凸函數的定義判別函數是否為凸函數，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于應用的判別法。</p><p>　　定理3.1 若函數是區(qū)間上的遞增可積函數，則變動上限積分所定義的函數</p>&l

27、t;p><b>　　是上的一個凸函數。</b></p><p><b>　　證明：設，則</b></p><p><b>　　由于是遞增的，故</b></p><p><b>　　從而得</b></p><p>　　這樣，由定義1可知，是凸函數。&l

28、t;/p><p>　　定理3.2若在間上存在，則在上成為凸函數的充分必要條件是：</p><p><b>　　在上</b></p><p>　　證明：（1）必要性，已知為凸函數，令，并設</p><p><b>　　因而，這樣就有</b></p><p><b>　　即

29、</b></p><p>　　用反證法，假定，由可知，存在，使得</p><p><b>　　另外，從</b></p><p><b>　　知</b></p><p>　　是的減函數。但這函數當時等于。</p><p><b>　　因此，</b&g

30、t;</p><p><b>　　這與結論矛盾，因而</b></p><p>　　充分性，兩次應用中值定理有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　及，</b></p><p><b>　　從而</b>

31、</p><p><b>　　再由得</b></p><p><b>　　在上式中，令及得</b></p><p><b>　　兩式相加得</b></p><p>　　故是凸函數。 </p><p><b&g

32、t;　　證畢</b></p><p>　　例3.1 函數在內是凸函數，因為。</p><p>　　定理3.3 若在區(qū)間上存在，，則在區(qū)間是嚴格凸函數。</p><p>　　4 關于凸函數的幾個重要不等式</p><p><b>　　4.1 不等式</b></p><p>　　定理4.

33、1.1（凸函數的基本不等式）設是間上的凸函數，則對中任意個數成立不等式</p><p><b>　　當僅當時等號。</b></p><p>　　定理4.1.2（總和不等式）若是上的連續(xù)凸函數，是一組不為零的非負數，則成立不等式：</p><p>　　當僅當都相等時等式成立。</p><p>　　證明：（1）特別地，設都是

34、非負有理數，</p><p>　　為自然數；為非負數，這樣</p><p>　　分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函數的基本不等式的樣子，此時</p><p><b>　　因而得證。</b></p><p>　　一般地，設都是非負實數，記</p><p>　　則可具有公分母的有理數列，使）<

35、/p><p><b>　　這樣由（1）有</b></p><p>　　考慮到具有連續(xù)性，因而對上面不等式的兩邊極限，立得</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　定理4.1.3（積分不等式）若是上的連續(xù)凸函數，而與是上的連續(xù)函數，，則成立</p><p>&

36、lt;b>　　證明：令</b></p><p><b>　　由總和不等式有</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　當令時，即得</b></p><p><b>　　證畢</b></p>

37、<p>　　例4.1.1 若為上的正連續(xù)函數，則</p><p>　　證明：考慮到函數是凹函數，為上的正連續(xù)函數，當設，根據積分不等式立得</p><p><b>　　整理可得</b></p><p>　　例4.1.2 若，則</p><p>　　證明：設，因故是凸函數。由總和不等式有</p>

38、<p><b>　　兩邊同乘以立得</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p><b>　　4.2不等式</b></p><p>　　定理4.2.1（不等式）設是上的連續(xù)凸函數，則</p><p>　　證明：由于是上的連續(xù)凸函數，由凸函數的基本

39、定理可知</p><p><b>　　兩邊積分可得</b></p><p><b>　　因而</b></p><p>　　..................................（A）</p><p><b>　　又</b></p><p>

40、<b>　　若令，得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　又是上的連續(xù)凸函數，即</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　........

41、................................................（B）</p><p><b>　　由A，B兩式可得</b></p><p><b>　　證畢</b></p><p><b>　　5 凸函數的應用</b></p><p>　　5

42、.1 凸函數在證明不等式中的應用</p><p>　　在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數的性質來證明可以非常簡潔、巧妙。證明不等式是凸函數的一個重要應用領域，但關鍵是構造能夠解決問題的凸函數。</p><p>　　例5.1.1 證明不等式</p><p>　　證明：設，因，所以是嚴格凸函數。</p><p&g

43、t;<b>　　由凸函數的定義可知</b></p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p>　　這就是要證的不等式。</p><p><b>　　例5.1.2若則</b></p><p><b>　　證明：設，因</b></p>&

44、lt;p>　　故是上的凹函數，因而</p><p>　　，這便是要證的不等式。</p><p><b>　　證明不等式：</b></p><p><b>　　均為正數，</b></p><p>　　證明：令，則，為凹函數，從而由的單調增加性：</p><p><b

45、>　　即 </b></p><p>　　例5.1.4對任何正數，當時有</p><p>　　證明：注意不等式系數之和，及系數均為正數，可考慮用凸凹性來證明。</p><p><b>　　設，則為凹函數，故</b></p><p><b>　　，或</b></p>&l

46、t;p><b>　　由的單調增加性知：</b></p><p><b>　　即，</b></p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　例5.1.5設證明：</p><p><b>　　證明：設，對</b></p>&l

47、t;p>　　故為上嚴格凸函數，因而</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　5.2 一般凸函數和凸集</p><p>　　定義5.2.1集合，若，以及任意的數，均有</p><p>　　則稱為凸集。特別地，若為凸集，也為閉集，則稱為閉凸集。</p><p>　　定理1

48、集合為凸集的充分必要條件是，及任意數有</p><p>　　設函數定義在凸集上，其中，</p><p>　　定義5.2.2若存在常數，使得，有</p><p><b>　　則稱為一致凸函數。</b></p><p>　　定義5.2.3若，及，有</p><p><b>　　則稱為嚴格凸函

49、數。</b></p><p>　　定義5.2.4設為可微的凸函數，若，滿足</p><p>　　則稱為偽凸函數，其中</p><p>　　定義5.2.5若，，有</p><p>　　則稱為嚴格擬凸函數。</p><p>　　若把上式中的“”改為“”，則稱為擬凸函數</p><p>　

50、　定義5.2.6若，及，有</p><p><b>　　則稱為強擬凸函數。</b></p><p>　　5.3 廣義凸函數求極小的問題</p><p><b>　　考慮</b></p><p>　　其中為閉凸集，而為廣義凸函數，則稱上述問題為廣義凸規(guī)劃問題。</p><p>

51、;　　定理5.3.1設為凸集，為嚴格擬凸函數，則規(guī)劃問題</p><p>　　的任意局部最優(yōu)解都為整體最優(yōu)解。</p><p>　　證明：設為的局部最優(yōu)解，即存在，使得為下面問題的最優(yōu)解：</p><p><b>　　若存在有</b></p><p>　　由于為嚴格擬凸函數，故，有</p><p>

52、;<b>　　當，足夠接近時，有</b></p><p>　　此與為局部最優(yōu)解相矛盾. </p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　定理5.3.2設為凸集，為強擬凸函數，若如下規(guī)劃問題存在最優(yōu)解：</p><p><b>　　則的

53、最優(yōu)解必唯一。</b></p><p>　　證明：若和都為的最優(yōu)解，由于為強擬凸函數，故都有</p><p>　　此與和都為的最優(yōu)解矛盾，證畢。</p><p>　　定理5.3.3設為凸集，為擬凸函數，則問題</p><p>　　的最優(yōu)解集合為凸集。</p><p>　　證明：若與為的最優(yōu)解，有</p

54、><p><b>　　故上式必等號，即</b></p><p><b>　　由為凸集，故</b></p><p>　　因此也為的最優(yōu)解 。</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　5.4 廣義凸函數求極大的問題</p>

55、<p><b>　　考慮</b></p><p>　　中為閉凸集，而為廣義凸函數。</p><p>　　定理5.4.1設為閉凸集，為連續(xù)的嚴格擬凸函數，則規(guī)劃問題</p><p>　　的最優(yōu)解一定在的邊界上達到，除非在上為常數。</p><p>　　證明：設在上不為常數，存在最優(yōu)解，即存在</p>

56、<p><b>　　使得</b></p><p>　　現(xiàn)任意則存在，及使得</p><p>　　若由為嚴格擬凸函數，故</p><p><b>　　矛盾。</b></p><p>　　若由為連續(xù)的嚴格擬凸函數，故有</p><p>　　由為的最優(yōu)解，故必有<

57、/p><p>　　因此在上為常數，此與假設矛盾。</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　定理5.4.2設為連續(xù)的嚴格擬凸函數，并約束集合</p><p>　　若規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則的最優(yōu)解可以在的頂點達到。</p><p>　　證明：令為的最優(yōu)解，設</p>

58、<p>　　為線性相關的，于是，存在</p><p><b>　　使得</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　考慮</b></p><p>&l

59、t;b>　　其中設存在有，令</b></p><p><b>　　存在有，令；令</b></p><p>　　可知它們的非零向量比至少少1個；有</p><p>　　若，由為連續(xù)的嚴格擬凸函數有</p><p>　　此與為的最優(yōu)解矛盾，故必有</p><p>　　由為連續(xù)的嚴格擬

60、凸函數有</p><p><b>　　而為的最優(yōu)解，故有</b></p><p><b>　　若都有令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　類似于（1）可證</b></p><p>　　重復上

61、述過程，最多可通過步找到最優(yōu)解或或。而對應的非零分量是線性無關的，可知為凸多面體的極點。 </p><p><b>　　證畢</b></p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　本文對凸函數這一概念作了不同形式的定義,以凸函數幾種定義的等價性給以證明,并給出凸函數的幾個簡單性質，探討了幾種凸

62、函數的判定方法，并給出有關凸函數的簡單應用：應用凸函數的概念與性質來證明幾個重要且常用的不等式及凸函數在證明一般不等式中的應用,特別是在不等式的證明中，運用它解題顯得巧妙、簡練.利用凸函數的定義、性質及判定定理證明不等式，關鍵是尋找合適的凸函數，若不能直接找出，則可以對不等式進行適當的變形，從而達到證明不等式的目的；此外，本文還研究了比凸函數更為一般的各類凸函數，給出它們的定義及其之間的關系和廣義凸函數在最優(yōu)化中的應用：廣義凸函數求極小

63、的</p><p>　?。磸V義凸規(guī)劃，記為convex-min）和廣義凸函數求最大的問題(convex-max)的性質。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文從命題到完成都得到了指導老師cc老師和幫助我完成本文的同學們的大力幫助.在此，感謝xx老師的悉心指導和同學們的幫助.</p><p&g

64、t;<b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 裴禮文.數學分析中的典型問題和方法[M].北京：高等教育出版社1993.5.</p><p>　　[2] 華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社2001.6.</p><p>　　[3] Rockafellar R T. Convex Analysis[

65、M].Pinceton University Press,1970.</p><p>　　[4] Yang K,Murty K G..New iterative methods for linear inequalities[J].Joumal of Optimization Theory and Applications,1992,72(1);163~185.</p><p>　　[5]

66、 時貞軍，岳麗. 凸函數的若干新性質及應用[J].應用數學，y2004，17（增）：01~04.</p><p>　　[6] 吉林大學數學系，數學分析（中冊），人民教育出版社，1978.</p><p>　　[7] 史樹中，凸分析.上海：上?？萍汲霭嫔纾?990.</p><p>　　[8] Ponstein J..Seven kinds of convexity.

67、 SIAM Review,1967(9),115~119.</p><p>　　[9] 袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法.北京：科學出版社，1999.</p><p>　　[10] Rokafellar R.T.. Convex Analysis. Princeton,University of Princeton Press, New Jersey,1970.</p>&l

68、t;p>　　[11] 魏權齡，王日爽，余兵.數學規(guī)劃引論.北京：北京航空航天大學出版社，1991.</p><p>　　[12] Seiford L.M..Data envelopment analysis: the evolution of state of the art(1978~1995).Journal of Production Analysis,1996(7),99~137.</p>