1、<p><b>　　綜合課程設計</b></p><p>　　題目：常數變易法及應用</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　§1摘要………………………………………………………….2</p><p>　　§2關鍵詞……………………………………………

2、…….........2</p><p>　　§3常數變易法簡介……………………………………….....…..2</p><p>　　§4常數變易水運的幾個應用…………………………….......…..2</p><p>　　4.1常數變易法在一階線性齊次微分方程中的應用……………….2</p><p>　　4.2常數變易

3、法在二階常 系數非齊次線性微分方程中的應用........6 </p><p>　　4.3常數變易法在三階常系數非齊次線性微分方程中的應用.…….8</p><p>　　4.4常數變易法在二階變系數非齊次線性方程中的應用……….…11</p><p>　　§5個人總結……………………………………………………14</p><p&g

4、t;　　§6參考文獻………………………………………………...….15</p><p><b>　　常數變易法及應用</b></p><p>　　1 摘要：本文主要對常數變易法作了簡單的介紹和歸納整理了常微分方程常數變易法的幾個應用，以便能夠熟悉的撐握常數變易法的解題思路和步驟且運用到解決問題中。</p><p>　　2 關鍵詞：

5、常數變易法；微分方程；齊次；系數</p><p>　　3 常數變易法簡介</p><p>　　常數變易法是微分方程中解線性微分方程 的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的變換為函數,它是拉格朗日（Lagrangr Joseph Louis,1736-1813）十一年的研究成果，微分方程中所用的公是他的結論。</p><p>　　4 常數變易水運的幾個應用<

6、/p><p>　　4.1.常數變易法在一階線性齊次微分方程中的應用</p><p>　　一階線性 （1）</p><p>　　它所對應的齊次方程為 （2）</p><p>　　是變量分離方程，它的通解為</p><p&

7、gt;<b>　?。?）</b></p><p>　　下面討論一隊線性非齊次微分方程（1）的解法。</p><p>　　方程（2）與方程（1）既有聯系又有區(qū)別設想它們的解也有一定的聯系，（3）中的恒為常數， 它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，不再是常數，將是的待定函數，為此令</p><p><b>　?。?）<

8、;/b></p><p><b>　　兩邊積分得到</b></p><p>　　將（4）代入（1），得到</p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　兩邊積分得</

9、b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　這里是任意的常數，將 代入 得到</p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　這就是方程的通解</b></p><p>　　求方程的通解，這里的為常數

10、</p><p><b>　　解 將方程改寫為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　先求對應齊次方程 </p><p><b>　　的通解，得</b></p><p>　　又令

11、 （8）</p><p><b>　　微分得到</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　將（8）、（9）代入（7）中再積分，得</p><p>　　將其代入（8）中，即得原方程的通解</p><p><b

12、>　　這里是任意的常數</b></p><p><b>　　求方程的通解</b></p><p><b>　　解 原方程改寫為</b></p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　把看作未知函數，看作自變量，這樣，對于及來說，方程（10）

13、就是一個線性非齊次方程</p><p>　　先求齊次線性方程 的通解為 </p><p><b>　　（11）</b></p><p><b>　　令，于是</b></p><p><b>　　代入（10），得到</b></p><p&

14、gt;<b>　　從而原方程的通解為</b></p><p>　　這里是任意的常數，另外也是方程和解。</p><p><b>　　初值問題</b></p><p><b>　　為了求初值問題</b></p><p>　　常數變易法可采用定積分形式，即（4）可取為</p&

15、gt;<p><b>　?。?2）</b></p><p><b>　　代入（1）化簡得</b></p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　代入（12）得到</b></p><p>　　將初值條件、代入上式于是所

16、求的初值問題為</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　定理</b></p><p>　　一階非線性方程（1）的任兩解之差必為相應的齊次線性方程（2）之解；</p><p>　　若是（2）的非零解，而是（1）的解，則的通解可表示為，其中為任意常數；</p>

17、<p>　　方程（2）任一解的常數倍或兩解之和（或差）仍是方程（2）</p><p>　　證明：① 設、是非齊次線性方程的兩個不同的解，則應滿足方程使</p><p><b>　　兩式相減有 </b></p><p>　　說明非齊次線性方程任意兩個解的差是對應的齊次線性方程的解</p><p><b>

18、;　?、谝驗?lt;/b></p><p><b>　　故結論②成立。</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　故結論③成立。</b></p><p&

19、gt;　　4.2.常數變易法在二階常 系數非齊次線性微分方程中的應用 </p><p>　　我們知道常數變易法用來求非齊次線性方程 的通解十分有效，現將常數變易法應用于二階常系數非齊次線性微分方程中。該方法是新的，具有以下優(yōu)點；</p><p>　　無需求非齊次方程的特解，從而免去記憶二階微分方程各種情況特解的形式；</p><p>　　無需求出相應齊次方程的 會部

20、解組，僅需求也一個即可；</p><p><b>　　可得其通解公式；</b></p><p>　　現考慮二階常系數非齊次線性微分方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其對應的齊次方程為</b></p><p>&

21、lt;b>　?。?）</b></p><p>　　下面對（2）的特征方程</p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　有實數根和復根加以考慮</p><p>　　若為（3）的一實根，則是(2)的一解，由常數變易法，可設（1）的解為通過求導得到</p><p>

22、<b>　?。?）</b></p><p>　　將（4）和代入（1）化簡得</p><p>　　這是關于的一階線性方程，其通解為</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　若為（3）的一復根，不妨設，且，則為(2)的一解，由常數變易法，可設（1）的解為，與①的推到情形類似，不難

23、求得方（1的通解公式為 （6）</p><p><b>　　例求的通解</b></p><p>　　解： 相應的特征方程為</p><p>　　有解，故設非齊次方程的解為</p><p><b>　　對其求導得</b></p><p

24、><b>　　代入原方程化簡得</b></p><p><b>　　其通解為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而原方程的通解為</b></p><p>　　4.3.常數變易法在三階常系數非齊次線性微分方

25、程中的應用</p><p>　　前文中對二階常系數非齊次線性微分方程的解法進行了討論，以下對一般的三階常系數非齊次線性微分方程詳細論述，此方法彌補了一般情況下特殊才能求解的缺陷，擴大的適用范圍。</p><p>　　由前面知，二階常 系數非齊次線性微分方程</p><p>　　對應的齊次微分方程 的特征方程為</p><p>　　若為實特征根

26、，通解為</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　若為一復根，通解為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　三階常系數非齊次線性方程</p><p><b>　　（3）</

27、b></p><p><b>　　則對應的齊次方程為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其對應的特征方程為</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　

28、若為其一實根，為方程的根，則方程（3）的通解為</p><p><b>　　當為實根時</b></p><p>　　當為復根時，不妨設且</p><p>　　證明 因為特征方程（5）是三階方程，所以它至少有一實根，不妨設為特征方程一實根，則是（4）的一解，這時可設（3）的解為，將其代入（3）中可得</p><p>　　因

29、為關天為特征方程一根，所以因此</p><p>　　這是關于的二階常系數非齊次線性微分方程，其特征方程為</p><p>　　若其根為為實根，則由二階方程通解公式（1）可得</p><p><b>　　那么（3）的通解為</b></p><p>　　若其根為復根時，不妨設且則由二階方程通解公式（2）可得</p>

30、;<p><b>　　那么（3）的通解為</b></p><p><b>　　例 求解方程的通解</b></p><p>　　解 對應的齊次方程的特征方程為</p><p><b>　　其根為</b></p><p><b>　　方程，即，</b

31、></p><p><b>　　其根為</b></p><p><b>　　所以取代入公式</b></p><p><b>　　則其通解為</b></p><p>　　求解過程只需依次積分即可得</p><p><b>　　令</b

32、></p><p><b>　　那么方程的通解為</b></p><p><b>　　（為任意常數）</b></p><p>　　4.4.常數變易法在二階變系數非齊次線性方程中的應用</p><p><b>　　二階變系數微分方程</b></p><p

33、>　　其中在某區(qū)間上連續(xù)，如果其對應的齊次方程的通解為</p><p>　　那么可以通過常數變易法求得非齊方程的通解</p><p>　　設非齊次方程具有形式</p><p>　　的特解，其中是兩個待定函數，對求導數得</p><p><b>　　我們補充一個條件</b></p><p>&

34、lt;b>　　這樣</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　將其代入化簡得</b></p><p><b>　　聯立方程解得</b></p><p>　　積分并取得一個原函數</p><p><

35、;b>　　則所求的特解為</b></p><p><b>　　所以方程的通解為</b></p><p><b>　　例 求方程的通解</b></p><p>　　解 原方程對應的齊次方程為</p><p><b>　　由得</b></p>&l

36、t;p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　即，得其通解為</b></p><p>　　所以對應的齊次方程的兩個線性無關的特解是和1，為了求非齊次方程的一個特解，將換成待定函數滿足下 列方程</p><p><b>　　解得</b></p><p>　

37、　于是原方程的一個特解為</p><p><b>　　從而原方程的通解</b></p><p><b>　　5 個人總結</b></p><p>　　通過這次課程設計，鞏固了我之前的學習知識，并且也擴充了我對常數變易法的理解，尤其是對常數變易法的理解更深刻、更熟悉，讓我對常數變易法有了一個重新的認識，能熟悉地運用常數變易

38、法來解決一些問題。</p><p><b>　　6 參考文獻</b></p><p>　　[1] 鄧春紅.關于二、三階線性微分方程通解求法[J].零陵報.2004,25(6):41-45.</p><p>　　[2] 劉許成.三階線性微分方和系數的常數化定理及應用[J].濰坊學報.2003，3（2）：39-40.</p><

39、;p>　　[3] 常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.（4）：22-26.</p><p>　　[4] 崔士襄.常數變易法來歷的探討[J].邯鄲農業(yè)高等?？茖W校學報，1998，（1）：40-41.</p><p>　　[5] 俞岑源.關于一階線性常微分方程常數變易法的一點注記[J].2001，（3）：13-14.</p><p>　　[6] 田飛