1、<p><b>　　金融數學課程設計</b></p><p>　　題 目: 股價二叉樹模型的生成 </p><p>　　學 院： 理學院 </p><p>　　班 級： 數學04-1班 </p><p>　　學 生 姓 名：

2、 </p><p>　　學 生 學 號： </p><p>　　指 導 教 師： </p><p>　　2007年 7月 1日</p><p><b>　　課程設計任務書</b></p><p><b>

3、　　摘要</b></p><p>　　二項期權定價模型假設股價波動只有向上和向下兩個方向，且假設在整個考察期內，股價每次向上(或向下)波動的概率和幅度不變。</p><p>　　隨著要考慮的價格變動數目的增加，二項式期權定價模型的分布函數就越來越趨向于正態(tài)分布，二項式期權定價模型和布萊克-休爾斯期權定價模型相一致。二項式期權定價模型的優(yōu)點，是簡化了期權定價的計算并增加了直觀性&

4、lt;/p><p>　　應用Excel表格計算，不僅方便大量數據的計算，而且直觀、簡單、易懂，對于金融市場起著較重要的作用。</p><p>　　根據一組泰亞股份數據計算出上漲因子u和下跌因子的d，利用Excel表單生成股價，計算出二叉樹各節(jié)點的值，畫出最終股價二叉樹圖 </p><p>　　關鍵詞 二叉樹模型 二叉樹圖 表單</p>&l

5、t;p><b>　　目錄</b></p><p>　　摘要錯誤！未定義書簽。錯誤！未定義書簽。</p><p><b>　　題目2</b></p><p>　　一 基本理論錯誤！未定義書簽。</p><p><b>　　二 問題描述5</b></p>

6、<p><b>　　三 問題分析6</b></p><p><b>　　四 求解計算6</b></p><p><b>　　五 結論9</b></p><p><b>　　參考文獻10</b></p><p><b>　　生成

7、股價二叉樹</b></p><p><b>　　一 基本理論</b></p><p>　　期權定價模型假設股價波動只有向上和向下兩個方向，且假設在整個考察期內，股價每次向上(或向下)波動的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據股價的歷史波動率模擬出正股在整個存續(xù)期內所有可能的發(fā)展路徑，并對每一路徑上的每一節(jié)點計算權證行權收益和用貼現(xiàn)法計算出的

8、權證價格。對于美式權證，由于可以提前行權，每一節(jié)點上權證的理論價格應為權證行權收益和貼現(xiàn)計算出的權證價格兩者較大者。</p><p>　　二項式期權定價模型建立在一個基本假設基礎上，即在給定的時間間隔內，證券的價格運動有兩個可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設非常簡單，但由于可以把一個給定的時間段細分為更小的時間單位，因而二項式期權定價模型適用于處理更為復雜的期權。</p><p>　　

9、假定到期且只有兩種可能，在T分為狠多小的時間間隔Δt，而在每一個Δt，股票價格變化由S到Su或Sd。如果價格上揚概率為p，那么下跌的概率為1-p。</p><p>　　一般來說，二項期權定價模型的基本假設是在每一時期股價的變動方向只有兩個，即上升或下降。BOPM的定價依據是在期權在第一次買進時，能建立起一個零風險套頭交易，或者說可以使用一個證券組合來模擬期權的價值，該證券組合在沒有套利機會時應等于買權的價格；反之

10、，如果存在套利機會，投資者則可以買兩種產品種價格便宜者，賣出價格較高者，從而獲得無風險收益，當然這種套利機會只會在極短的時間里存在。這一 證券組合的主要功能是給出了買權的定價方法。與期貨不同的是，期貨的套頭交易一旦建立就不用改變，而期權的套頭交易則需不斷調整，直至期權到期。</p><p>　　二叉樹模型的期權定價方法，采用無套利（no arbitrage）假設，由前向后（backward）逐步計算期權價值，&l

11、t;/p><p>　　二叉樹期權定價模型 </p><p>　　期權定價模型基于對沖證券組合的思想。投資者可建立期權與其標的股票的組合來保證確定報酬。在均衡時，此確定報酬必須得到無風險利率。期權的這一定價思想與無套利定價的思想是一致的。所謂無套利定價就是說任何零投入的投資只能得到零回報，任何非零投入的投資，只能得到與該項投資的風險所對應的平均回報，而不能獲得超額回報（超過與風險相當的報酬的利潤

12、）。從Black-Scholes期權定價模型的推導中，不難看出期權定價本質上就是無套利定價。</p><p>　　1979年，科克斯（Cox）、羅斯（Ross)和盧賓斯坦（Rubinsetein）的論文《期權定價：一種簡化方法》提出了二項式模型（Binomial Model），該模型建立了期權定價數值法的基礎，解決了美式期權定價的問題。</p><p>　　二項式模型的假設主要有：<

13、/p><p><b>　　不支付股票紅利。</b></p><p>　　交易成本與稅收為零。 </p><p>　　投資者可以以無風險利率拆入或拆出資金。 </p><p>　　市場無風險利率為常數。 </p><p>　　股票的波動率為常數。</p><p>　　假設在任何一

14、個給定時間，金融資產的價格以事先規(guī)定的比例上升或下降。如果資產價格在時間ｔ的價格為Ｓ，它可能在時間t+△t上升至或下降至。假定對應資產價格上升至，期權價格也上升至U，如果對應資產價格下降至，期權價格也降至D。當金融資產只可能達到這兩種價格時，這一順序稱為二項程序。</p><p><b>　　漂移率u和d</b></p><p>　　上漲因子

15、 </p><p>　　下跌因子 </p><p>　　波動率 </p><p>　　由Black-Scholes方程告訴我們：可以假定市場為風險中性。即股票預期收益率μ等于無風險利率r，故</p><p>　　又因股票價格變化符合布朗運動，從而<

16、;/p><p>　　其中，u，是常量，B服從布朗運動</p><p><b>　　利用，</b></p><p>　　又因為股價的上漲和下跌滿足 </p><p>　　在相等的充分小的Δt時段內，無論開始時股票價格如何。u，d和p都是常數。（即只與Δt，σ，r有關，而與S無關）。</p><

17、p>　　股票期權還可分為限制性股票期權、合格的股票期權、不合格的股票期權和激勵性股票期權四種類型。限制性股票期權一般是公司以獎勵的形式直接向經營者贈送股份，而經營者并不需要向公司支付什么，其限制條件在于當行權者在獎勵規(guī)定的時限到期前離開公司，公司將會收回這些獎勵股份。合格的股票期權一般享有稅收方面的優(yōu)惠，當行權者以低于市場價的價格購買公司股票時，他不需要對差價部份所享有的利益交稅;當行權者出售股票時，他所獲取的“超額利潤”(購買價

18、與市場價之差加上因股票升值所獲利之和)只需按長期資本收益交稅，而在歐美這種稅率最高不超過20%。不合格的股票期權與合格的股票期權的區(qū)別在于，它要對購買價與市場價之差的部分在當期按當時稅率繳納所得稅。激勵性股票期權是為了向經營者提供激勵，其形式不僅有著多樣性，而且支付和行權方式也因企業(yè)不同而不同。但它一般具有稅收優(yōu)惠的特點，從而與合格的股票期權有某些相似性。</p><p>　　股票期權的操作方式是：交易的買方與賣

19、方經商議之后，以支付一筆約定的保證金為代價，取得在一定期限內按協(xié)議價格（公平市場價值，即簽約當天的股票價格）購買或出售一定數量股票的權利，超過期限，買賣雙方的合同義務自動解除。</p><p>　　股票期權行市中的變量包括：買進或賣出股票的協(xié)定價格、期限長短、期權費高低。</p><p>　　協(xié)定價格與現(xiàn)貨價差密切相關：正差越大，期權費越低；負差越大，期權費越高。期限與期權費的高低也相關，

20、期限越長，期權費越高。</p><p>　　上漲因子u和下跌因子d相等時的股票價格的二叉樹壓縮圖</p><p>　　二叉樹定價模型的基本出發(fā)點：</p><p>　　假設資產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產價格的連續(xù)運動可能遵循的路徑。</p><p>　　二叉樹定價模型與風險中性定價法的內在一致性：&l

21、t;/p><p>　　二叉樹模型與風險中性定價原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無風險收益率，資產價格向上運動和向下運動的實際概率并沒有進入二叉樹模型，模型中隱含導出的概率Ｐ是風險中性世界中的概率，從而為期權定價。</p><p><b>　　二 問題描述</b></p><p>　　以下是泰亞股份2007年6月11日到6月21日的收盤價格&

22、lt;/p><p>　　根據這些數據求上漲因子u和下跌因子d，在選取某一日的收盤價作為初始值，計算股價二叉樹。</p><p><b>　　三 問題分析</b></p><p><b>　　表1</b></p><p>　　(6月15日的價格)</p><p>　　根據股票數據得

23、到的描述性統(tǒng)計量建立Excel表格得到股票二叉樹模型在期權中的定價表：</p><p><b>　　四 求解計算　</b></p><p>　　求出節(jié)點價格的實際過程是很繁瑣的，在減少這些步驟方面，我們使用表單來計算。</p><p><b>　　表2 空白表單</b></p><p>　　第一步，

24、在H1單元格中輸入值11.24，（用鼠標選中單元格，輸入11.24，然后按回車鍵）在敲回車鍵以后，數值才會出現(xiàn)在單元格H1中。</p><p>　　在H1下面做一個二叉樹分支。二叉樹接下來的兩個節(jié)點是G2和I2，為生成G2值，選中G2，并輸入</p><p><b>　　=.987*H1</b></p><p>　　在按回車鍵以后，在單元格G2

25、中就會出現(xiàn)一個數值11.09388.表單會將公式保留在單元格G2中</p><p>　　將表單保存為“股價樹”。我們生成的公式包含了數值d=0.987.假定d值總是輸在單元格A6中，在A6中輸入.987 ，并在單元格B6中將其標記為d值，可以提醒我們參數d是放在那里的。我們可以對最初的股價用同樣的辦法進行輸入，在A1中輸入11.24，并在單元格B1中標記為股價</p><p>　　為了利益

26、A 欄的值，將單元格H1改成簡單公式，=A1. 同時將單元格I2改成=A1*A6. 如果式中的部分數值不變，我們改變股價或d值得任何一個，G欄和H欄都會相應的改變。就會形成表3</p><p>　　表3 有6個輸入值的表單</p><p>　　這樣我們在復制粘貼該表單元格的時候不改變A6的位置，下一步選中單元格G2并點復制鍵復制公式。在選中新的單元格B3，將公式粘貼上去，回車后在F3中出

27、現(xiàn)10.9574253. 繼續(xù)將這個初始公式貼在單元格E4，D5和C6中去，位置都處在前一個單元格的左行和下列，這樣股價二叉樹的一支就填好了，并且該分支可以隨d值和股價初值的改變而改變。</p><p>　　表4 單支股價二叉樹</p><p>　　我們可以可以通過u值，完成對其余節(jié)點的輸入，假定u值在A5單元格，并在B5中標記為“u值”</p><p>　　在A5

28、單元格中輸入值u值，1.017. 接下來，選中二叉樹初始點右下方的節(jié)點I2，輸入公式=H1*A5， 按回車鍵得到下表單。</p><p>　　表5 u分支開始后的表單</p><p>　　選中I2生成的公式并點復制鍵。依次在有輸入值的單元格的右下方粘貼該公式。如果從H3，I4，這樣粘貼下去，就可以得到序列11.28276,11.72781。繼續(xù)此法將整個二叉樹填完整。填完后的二叉樹如下表

29、。</p><p>　　表6 最后得到的二叉樹表單</p><p><b>　　11.82</b></p><p><b>　　11.62</b></p><p>　　11.43 11.47</p><

30、;p><b>　　11.28</b></p><p>　　11.24 11.14 </p><p>　　11.09 </p><p><b>　　10.82</b>

31、</p><p>　　10.67 </p><p><b>　　最終的股價二叉樹圖</b></p><p><b>　　五 結論</b></p><p>　　通過二叉樹，可以通過所給數據算出描述性統(tǒng)計量，從而根據公式求出u,d,再應用表單計算股價二叉樹，二叉樹模型是衍生品定價用途比較廣泛的

32、一種模型，金融數學中經常遇到用二叉樹模型。</p><p>　　二項期權定價模型假設股價波動只有向上和向下兩個方向，且假設在整個考察期內，股價每次向上(或向下)波動的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據股價的歷史波動率模擬出正股在整個存續(xù)期內所有可能的發(fā)展路徑，并對每一路徑上的每一節(jié)點計算權證行權收益和用貼現(xiàn)法計算出的權證價格。</p><p>　　應用Excel表格計算，

33、不僅方便大量數據的計算，而且直觀、簡單、易懂，對于金融市場起著較重要的作用。通過表單進而畫出表單股票二叉樹圖以及表單期權二叉樹圖。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　《金融數學》 機械工業(yè)出版社 蔡名超 譯</p><p>　　《Excel在金融模型分析中的應用》