1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、一題多解的意義及作用……………………………………………………1</p><p>　　二、例題講解……………………………………………………………………3</p><p>　　1、比較大小問題……………………………………………………………3</p><p&g

2、t;　　2、求值問題…………………………………………………………………4</p><p>　　3、一元二次方程根與系數(shù)問題……………………………………………5</p><p>　　4、銳角三角函數(shù)問題………………………………………………………6</p><p>　　5、幾何問題…………………………………………………………………7</p><p&g

3、t;　　三、小結(jié)…………………………………………………………………………9</p><p>　　參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………11</p><p><b>　　論文摘要 </b></p><p>　　一題多解的意義針對(duì)教學(xué)目的、重難點(diǎn)等進(jìn)行對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解題方法。一題

4、多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價(jià)值也可以對(duì)學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進(jìn)解決問題的靈活性，增加他們的知識(shí)和智慧，以及知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用。及時(shí)反思能從諸多的解題方法中找到最簡(jiǎn)單的方法解題。教師從學(xué)生的認(rèn)識(shí)角度出發(fā)盡可能的尋找已知條件，學(xué)習(xí)過后要反思，解完后要及時(shí)反思。通過一題多解的反思可以尋找問題間的聯(lián)系，可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性。在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度入手思考解決問題，并從中探索最簡(jiǎn)便的方法，還要讓

5、他們知道怎么樣去想怎么樣解決，在解題方法中通過比較，得到最簡(jiǎn)單的方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)一題多解的積極性，利用學(xué)生的好奇心，鼓勵(lì)學(xué)生尋找多種方法從而選擇最簡(jiǎn)單的方法解決數(shù)學(xué)題。在一題多解的過程中要以學(xué)生為主，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。反思過后從解后的諸多方法中通過反思得到最簡(jiǎn)方法和解題的規(guī)律、解題的思路并對(duì)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)得到一般規(guī)律是學(xué)生成長(zhǎng)的必不可少的培養(yǎng)。而這不是一天兩天的事需要老師學(xué)生長(zhǎng)期共同的努力，通過這種能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生盡可能的全面發(fā)展以培養(yǎng)出合

6、格的社會(huì)</p><p>　　關(guān)鍵詞： 多解 反思 提高能力 </p><p><b>　　一題多解反思</b></p><p>　　06春數(shù)本 崔家進(jìn)</p><p>　　一題多解數(shù)學(xué)題的解后反思是很重要的。一題多解的意義針對(duì)教學(xué)目的、重難點(diǎn)等進(jìn)行對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解

7、題方法。一題多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價(jià)值也可以對(duì)學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進(jìn)解決問題的靈活性，增加他們的知識(shí)和智慧，以及知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用。從解后的諸多方法中通過反思得到最簡(jiǎn)方法和解題的規(guī)律、解題的思路并對(duì)結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)得到一般規(guī)律是學(xué)生成長(zhǎng)的必不可少的培養(yǎng)。如何進(jìn)行一題多解的反思呢？比較大小的數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常會(huì)遇到一題多解的數(shù)學(xué)題。，主要用到了特殊值法、作差法、求商法，如果我們?cè)僮鞑罘右砸龑?，?/p>

8、應(yīng)用題中也有應(yīng)用，通過上面一題多解的例子，講解引審可以提高學(xué)生的一題多解的能力，整體法比較簡(jiǎn)單，在教學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)和加從以引導(dǎo)從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的一題多解的能力的提升他們的解題能力并通過解后反思引導(dǎo)學(xué)生得到一般規(guī)律。</p><p>　　一、一題多解的意義及作用。</p><p>　　通過幾年初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，在解一些數(shù)學(xué)題時(shí)往往一道數(shù)學(xué)題用幾種不同的方法都能解決。有的簡(jiǎn)單有的稍微要復(fù)雜一些，而在

9、解題時(shí)復(fù)雜的方法浪費(fèi)時(shí)間、簡(jiǎn)單的方法節(jié)省時(shí)間。在這些方法中肯定有一種最簡(jiǎn)單的方法。如果通過平時(shí)總結(jié)能找到那么在考試時(shí)解這種一題多解的題目就能大量節(jié)省時(shí)間，無形之中就多了考試時(shí)間從而留有時(shí)間檢查為我們考高分提供了保障。所以我們?cè)谄綍r(shí)解一題多解的題目時(shí)就要及時(shí)反思并能從諸多的解題方法中找到最簡(jiǎn)單的方法解題。</p><p>　　我所認(rèn)識(shí)到的一題多解就是從不同角度不同思路分析問題,從題目中盡可能的挖掘隱含條件用不同的方

10、法、不同的運(yùn)算過程去分析解答問題最終達(dá)到異曲同工的目的。因此一題多解需要老師和學(xué)生做大量準(zhǔn)備工作認(rèn)真分析問題盡可能的挖掘題目中的隱含條件。而對(duì)初中學(xué)生的年齡而言,由于學(xué)生較小他們的思維能力、想像能力、分析問題能力還不是很強(qiáng)，思維具有狹窄性，一般只知道其一不知道其二，如果題目稍有變化就不知道怎樣分析解決數(shù)學(xué)問題。這就需要教師在平時(shí)的教要針對(duì)教學(xué)目的、重難點(diǎn)等進(jìn)行對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)，并且要讓學(xué)生通過不斷的解題，從中尋找到最佳的解題方法。通過一題多

11、解的訓(xùn)練可以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考問題并積極的解決問題．增加學(xué)過程中對(duì)學(xué)生加以幫助。而一題多解就可以對(duì)學(xué)生的思維和解題思路、解題方法進(jìn)行提高。一題多解可以增加數(shù)學(xué)題的使用價(jià)值也可以對(duì)學(xué)生的解決問題的能力、解決問題的思路的提高，還可以開闊他們的思路，促進(jìn)解決問題的靈活性，增加他們的知識(shí)和智慧，以及知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用。而作為一名教師在訓(xùn)練學(xué)生一題多解時(shí)，解決問題方法的多樣性和技能。而且還能提高思維靈活性，促進(jìn)智慧，還能影響學(xué)生解決其他學(xué)科問題的方

12、法，更靈活的掌握知識(shí)間的聯(lián)系，</p><p>　　孔子云：“學(xué)而不思則罔”意思相信大家都知道，就是說學(xué)習(xí)新知識(shí)過后不及時(shí)的思考就回收獲不大。這就提醒我們學(xué)習(xí)過后要反思。解數(shù)學(xué)題時(shí)由于審題不清等原因會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，比如說：在簡(jiǎn)單概率的計(jì)算中有這樣一個(gè)例題“在一個(gè)不透明的箱子中放入兩個(gè)紅球一個(gè)白球（除顏色外其它都相同）從中先摸出一個(gè)球（摸出后在放回）然后在摸出一個(gè)球，問兩次都摸到紅球的概率是多少？”在這個(gè)題目中如果不注

13、意摸出后在放回題目就解錯(cuò)了。通過這個(gè)例子我們可以看出解一道數(shù)學(xué)題不一定一次就能正確，這就要求我們解完后要及時(shí)反思。而有的同學(xué)把解題當(dāng)作一種任務(wù)，解完就結(jié)束了，像這類學(xué)生就更要反思了。數(shù)學(xué)知識(shí)具有連貫性，一個(gè)題目解完了在對(duì)的情況下你還不能保證是最簡(jiǎn)的方法，這就要求我們要進(jìn)行一題多解的反思。每一種方法可能要用到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果能及時(shí)反思既能復(fù)習(xí)知識(shí)有能加強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用，而且還能從諸多方法中的到最簡(jiǎn)的方法，從而提高自身的解數(shù)學(xué)題的能力。如果

14、在把上面的到方法加以推測(cè)反思也許還能得到解一般題目的方法。我們和樂而不為呢？數(shù)學(xué)題與數(shù)學(xué)題之間有時(shí)不是沒有聯(lián)系的，通過一題多解的反思可以尋找問題簡(jiǎn)的聯(lián)系，可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性。而且數(shù)學(xué)題有成千上萬</p><p>　　在比較大小的數(shù)學(xué)題中，經(jīng)常會(huì)遇到一題多解的數(shù)學(xué)題，如：</p><p><b>　　二、例題講解。</b></p><p>&l

15、t;b>　　1、比較大小問題。</b></p><p>　　例1 當(dāng)0<<1時(shí),、、的大小順序</p><p>　　方法1 可用特殊值法：</p><p><b>　　解 ∵0<<1</b></p><p>　　∴取特殊值=，則=、=、=2 ，∴>></

16、p><p><b>　　方法2 作差法：</b></p><p>　　∵兩數(shù)相減可以取正數(shù)、負(fù)數(shù)、0，那么用、表示兩數(shù)，能得到三種情況：</p><p><b>　　當(dāng)－>0時(shí)，></b></p><p><b>　　當(dāng)－=0時(shí)，=</b></p>&l

17、t;p><b>　　當(dāng)－<0時(shí)，<</b></p><p>　　∴此題的解法為－=（－1）</p><p><b>　　∵0<<1</b></p><p><b>　　∴－1<－1<0</b></p><p>　　∴（－1）<0

18、 即<</p><p>　　同理 －=<0 綜上所述∴>></p><p>　　通過上面的方法，我們可以得到兩個(gè)數(shù)大小的比較方法作差法，比較與的大小，也可以采用上述兩種方法，這時(shí)候我們可以啟發(fā)學(xué)生還有沒有其它方法呢？然后我們?cè)俳o出求商法，÷=>1，所以>。</p><p>　　像上面比較大小的一題多解，主要用到了特

19、殊值法、作差法、求商法。我們還可以對(duì)作差法加以引申，這在應(yīng)用題中也有應(yīng)用，如</p><p>　　例2：?jiǎn)挝挥?jì)劃組織員工去旅游，估計(jì)人數(shù)在6~15。甲、乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報(bào)價(jià)都是200元/人。該單位聯(lián)系時(shí)，甲旅行社表示可以給予每位游客八折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客費(fèi)用，其余游客九折優(yōu)惠。問人數(shù)在什么范圍內(nèi)，應(yīng)選甲旅行社，在什么范圍內(nèi)，應(yīng)選乙旅行社？</p><p>　　解

20、：設(shè)此次旅游為人，費(fèi)用為元。</p><p><b>　　由題意可得，</b></p><p>　　選擇甲旅行社，費(fèi)用為1=160</p><p>　　選擇乙旅行社，費(fèi)用為2=180－180</p><p>　　1－2=160－180＋180</p><p><b>　　=180－20&

21、lt;/b></p><p>　　當(dāng)=9時(shí)，選兩個(gè)旅行社都一樣；當(dāng)6≤＜9時(shí)，選擇乙旅行社較合適；當(dāng)9＜≤15時(shí)，選擇甲旅行社較合適。</p><p>　　通過上面一題多解的例子，講解引申可以提高學(xué)生的一題多解的能力。</p><p><b>　　2、求值問題。</b></p><p>　　例3：已知?jiǎng)t＋的值。&l

22、t;/p><p>　　解：方程兩邊同除以得到，再把這個(gè)等式左右兩邊同時(shí)平方得到</p><p>　?。? =9所以＋=7。這里我們用到整體法求式子的值，那么我</p><p>　　們還有沒有其它方法來解決這道題呢？</p><p>　　原方程是一個(gè)一元二次方程，我們可以解這個(gè)方程，把方程的根求出來，然后再帶入式子中，也可以求出來原式等于7。&l

23、t;/p><p>　　通過上面兩種方法，我們可以用整體法解比較簡(jiǎn)單，練習(xí)求，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍蒙厦鎯煞N方法解決。</p><p>　　例4 已知 ；</p><p><b>　　求的值。</b></p><p>　　解 方法一：由已知條件比大1，比大2，所以=－1，=＋1，</p><p>&

24、lt;b>　　原式==3</b></p><p><b>　　方法二：</b></p><p><b>　　原式=</b></p><p>　　通過上面整體法，求這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單。下面我們?cè)儆谜w法求的例子。</p><p><b>　　①</b></p

25、><p>　　例5 已知方程組 ② 的解、的和是負(fù)數(shù)則的取值</p><p><b>　　范圍。</b></p><p>　　解：方法一：整體法①＋②得</p><p>　　所以又因?yàn)?、的和是?fù)數(shù)，所以＜0，解得＞。</p><p>　　方法二：解得=，=，所以又因?yàn)?、的和是?fù)數(shù)，所以＜0，解

26、得＞。</p><p>　　練習(xí)1 若函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，8），求。</p><p>　　解：方法一：∵兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，8）</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　∴ 由①＋②得</p><p><b>　?、?l

27、t;/b></p><p>　　練習(xí)2 若， ，，求的值。</p><p>　　解：方法一：把的值都解出來（略）然后再求的值。</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　方法二： ② ①+②+③得 ∴</p><p><b>　?、?lt;/b>

28、;</p><p>　　通過上面的例題和練習(xí)我們可以得到解這些數(shù)學(xué)題的方法其中一種方法較復(fù)雜而另一種方法較簡(jiǎn)單。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)和加從以引導(dǎo)從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的一題多解的能力的提升他們的解題能力并通過解后反思引導(dǎo)學(xué)生得到一般規(guī)律下面我們?cè)倏磶讉€(gè)例題。</p><p>　　3、一元二次方程根與系數(shù)問題</p><p>　　例6 已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為2，則它的另

29、一根及的值為多少？</p><p>　　解：方法一：∵方程的根為2</p><p><b>　　∴得=1</b></p><p>　　當(dāng)=1時(shí)，原方程可化為</p><p><b>　　解得 </b></p><p>　　∴另一根為－3，的值為1</p>&

30、lt;p>　　方法二：設(shè)另一根為，得</p><p>　　解得 ∴的值為1，另一根為－3</p><p>　　在方法2中我們用到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題這樣就使問題簡(jiǎn)單了，下面我們?cè)诳匆粋€(gè)例題。</p><p>　　例7 、是方程的根，求的值。</p><p>　　解：方法一：∵、是方程的解 ∴我

31、們可以把方程的解解出來再帶入式子中求值（過程略）。</p><p>　　方法二：由根與系數(shù)的關(guān)系可得 </p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　∴原式的值為14</b></p&

32、gt;<p>　　上面我列舉了代數(shù)部分的幾個(gè)一題多解的例子，下面我們?cè)倏磶讉€(gè)幾何方面的例子。</p><p>　　4、銳角三角函數(shù)問題。</p><p>　　例8 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,求cosA、tanA的值。</p><p>　　解：方法一：用定義求</p><p>　　∵sinA=

33、∠C=90°∴設(shè)BC=，則AB=</p><p>　　根據(jù)勾股定理 AB2=BC2＋AC2 可得AC=</p><p>　　∴cosA= tanA=</p><p>　　方法二：用函數(shù)間的關(guān)系</p><p>　　∵sin2A＋cos2B=1 sinA= ∴cosA </p><p&

34、gt;　　又∵∠A為銳角 ∴cosA=</p><p><b>　　tanA==</b></p><p><b>　　5、幾何問題。</b></p><p>　　例9 如圖，∠A=60° ∠B=∠ADC=90° AB=6 CD=3，求BC，AD的長(zhǎng)。</p><p&

35、gt;　　解：方法一：延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E</p><p>　　∵∠A=60° ∠B=90°</p><p>　　∴tan∠A= 即tan60°= </p><p><b>　　∴BE=6</b></p><p>　　cos∠A= 即cos60°= </p

36、><p><b>　　∴AE=12</b></p><p>　　又∵∠A=60° ∠B=90° ∴∠E=30° ∠DCE=60° </p><p>　　在直角三角形CDE中，CE=2×3=6 DE=tan60°·3=3</p><p>

37、　　∵AD=AE－DE=12－3 BC=BE－CE=6－6</p><p>　　方法二：延長(zhǎng)AB、DC相交于點(diǎn)F（過程略）</p><p><b>　　方法三：如圖</b></p><p>　　過B作BE⊥AD垂足為E，過C作CF⊥BE，垂足為F</p><p>　　∵AB=6 ∠A=60°∴AE=

38、3 BE=</p><p>　　又∵∠ADC=90° ∠E=90° ∠F=90°</p><p>　　四邊形EFCD為矩形 ∴ED=FC DC=EF=3</p><p>　　又∵BE= ∴BF=－3</p><p>　　∵∠ABC=90° ∠A=60° ∴∠

39、FBC=60°</p><p>　　∴BC=（－3）×2=6－6 CF=ED=9－</p><p>　　又∵AE=3 ∴AD=12－</p><p>　　而由上題所變化可以得到兩個(gè)新題目。</p><p>　　變化1 ∠A=60° ∠B=∠ADC=90° AB=6 CD

40、=3 如圖，求四邊形ABCD的面積。</p><p>　　解：由例10求得BC=6－6 AD=12－</p><p><b>　　∴=</b></p><p>　　變化2 ∠A=60°，∠B=∠ADC=90°，AB=6，CD=3，求BC=AD的值。 解略。</p><p>　　由這個(gè)例題我們可

41、以看出通過一個(gè)一題多解的題目我們可以引申出多個(gè)變化的題目，所以我們不但要會(huì)解一題多解還要對(duì)它進(jìn)行及時(shí)的反思以便找出同規(guī)律題目的解法。</p><p>　　例10 ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF。</p><p><b>　　證明： 方法一</b></p><p><b>　　∵ABCD</b&g

42、t;</p><p>　　∴AD=BC ∠A=∠C AB=DC</p><p>　　又∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)</p><p><b>　　∴AE=CF</b></p><p>　　在△ABE與△DCF中，</p><p><b>　　AB=DC</b><

43、/p><p><b>　　∠A=∠C</b></p><p><b>　　AE=CF</b></p><p>　　∴△ABE≌△DCF</p><p><b>　　∴BE=CF</b></p><p>　　方法二，也可以通過證明四邊形BEOF為平行四邊形，用

44、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形。</p><p><b>　　∵ABCD</b></p><p>　　∴AD∥BC且AD=BC</p><p>　　又∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)</p><p>　　∴ED∥BF且ED=BF</p><p>　　∴四邊形BEDF為平行四邊形</p&

45、gt;<p><b>　　即BE=DF</b></p><p><b>　　三、小結(jié)</b></p><p>　　以上是我們數(shù)學(xué)問題中的一些常見一題多解的類型：有比較大小問題、求值問題等都用到了一題多解，在這些問題中解題方法都不唯一，那么我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)不僅僅要讓學(xué)生會(huì)解還要會(huì)一題多解，并及時(shí)反思從中找到最簡(jiǎn)方法。問題解完后要引導(dǎo)學(xué)生反

46、思，能不能把這些結(jié)論加以引申得到一般規(guī)律，并把規(guī)律用到其他問題中呢？老師的引導(dǎo)、學(xué)生的反思讓學(xué)生掌握一題多解的解題思想。而這不是一天兩天的事需要老師學(xué)生長(zhǎng)期共同的努力，通過這種能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生盡可能的全面發(fā)展以培養(yǎng)出合格的社會(huì)主義建設(shè)者。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　1．陜西師范師范出版社，2004，羅增儒，數(shù)學(xué)解題學(xué)引論，西