1、<p>　　基于MATLAB的GPS水準擬合方法及應用</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　GPS高程擬合是GPS研究領(lǐng)域的一個熱點。提高GPS的定位精度以及GPS高程轉(zhuǎn)換精度，可以得到較高精度的GPS水準高程。實踐證明根據(jù)實際情況選擇正確的轉(zhuǎn)換方法獲得的GPS水準高程的精度可以廣泛地應用到工程、變形監(jiān)測等各個方面中去，這將拓寬GP

2、S的應用領(lǐng)域，真正的實現(xiàn)GPS的三維優(yōu)越性。使備受青睞的GPS有更好的應用前景。本文系統(tǒng)的研究了GPS高程擬合原理，分析了各種擬合模型，論述了影響GPS高程的誤差源和改正方法，以及精度評定的標準。</p><p>　　論文首先介紹了高程系統(tǒng)起算邊及相互關(guān)系，其中分別介紹了大地水準面、正高與正高系統(tǒng)，似大地準面、正常高與正常高系統(tǒng)，參考橢球面、大地高與大地高系統(tǒng)，并用作圖形象的表示出正高、正常高與大地高之間的關(guān)系。

3、其次分析和探討了GPS高程擬合的方法，將其分為三類：多項式曲線擬合，多項式曲面擬合和多面函數(shù)擬合，然后分別介紹了這三種方法的基本原理和計算步驟。最后通過實例分析了這三種擬合方法的優(yōu)缺點。</p><p>　　關(guān)鍵詞：高程系統(tǒng)；GPS高程擬合；多面函數(shù)擬合；精度分析</p><p>　　GPS Leveling Fitting Method and Application</p>

4、<p>　　Based on the MATLAB </p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　GPS elevation fitting is a hot research field about GPS.Improving GPS positioning accuracy of GPS elevation conver

5、sion and precision, and can get a high accuracy of GPS level elevation.Practice has proved according to the actual situation of choosing the right method for the conversion of the accuracy of GPS level elevation can be w

6、idely applied to engineering, deformation monitoring and other aspects, this will broaden the application field of GPS, really realize the GPS 3 d superiority.Make ve</p><p>　　It firstly introduces vertical

7、system date edge and mutual relationship, which respectively introduces the geoid, ortho metric height and ortho metric height system,Like the earth must face, normal high and normal high system,reference ellipsoid, like

8、 the earth must face, normal high and normal high system reference ellipsoid, the earth and the earth high high system, and the image of the drawing showed ortho metric height normal high and the earth, the relationship

9、between the high.Secondly ana</p><p>　　Keywords: vertical system; GPS elevation fitting; The function fitting; Precision analysis 目錄</p><p><b>　　摘要I</b>

10、</p><p>　　ABSTRACTII</p><p><b>　　目錄III</b></p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p><p>　　1.1背景及意義1</p><p>　　1.1.1本課題的背景1</p><p&g

11、t;　　1.1.2本課題的意義1</p><p>　　1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀、水平2</p><p>　　1.3本課題研究的主要內(nèi)容3</p><p>　　第二章 GPS高程的基本理論5</p><p><b>　　2.1高程系統(tǒng)5</b></p><p>　　2.11.大地水準面、正高與

12、正高系統(tǒng)5</p><p>　　2.1.2.似大地準面、正常高與正常高系統(tǒng)5</p><p>　　2.1.3參考橢球面、大地高與大地高系統(tǒng)6</p><p>　　2.1.4 正高、正常高與大地高之間的關(guān)系6</p><p><b>　　2.3本章小結(jié)7</b></p><p>　　第三章

13、GPS高程擬合的方法研究8</p><p>　　3.1 GPS水準高程擬合的基本原理8</p><p>　　3.2多項式曲線擬合法8</p><p>　　3.3多項式曲面擬合法10</p><p>　　3.4多面函數(shù)擬合法11</p><p>　　3.4本章小結(jié)13</p><p>

14、　　第四章 案例分析15</p><p>　　4.1精度評定15</p><p>　　4.1.1適用范圍15</p><p>　　4.1.2選出合適的高程異常已知點15</p><p>　　4.1.3 高程異常已知點的數(shù)量15</p><p>　　4.1.4 GPS擬合精度分析15</p>&

15、lt;p>　　4.2MATLAB軟件特點及應用16</p><p>　　4.3狹長線性區(qū)域擬合實例17</p><p>　　4.4丘陵地區(qū)高程異常擬合實例20</p><p>　　4.5本章小結(jié)26</p><p>　　第五章 總結(jié)與展望27</p><p><b>　　5.1總結(jié)27<

16、;/b></p><p><b>　　5.2展望27</b></p><p><b>　　致謝29</b></p><p><b>　　參考文獻30</b></p><p><b>　　附錄32</b></p><p>

17、;　　多項式曲線擬合MATLAB程序32</p><p>　　多項式曲面擬合MATLAB程序32</p><p>　　多面函數(shù)擬合MATLAB程序33</p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p><b>　　1.1背景及意義</b></p><p>

18、;　　1.1.1本課題的背景</p><p>　　傳統(tǒng)的高程測量采用幾何水準測量的方式，但是在地形復雜、高差較大的地區(qū)進行水準測量非常困難，大面積水準測量往往要耗費巨大的人力、物力，且效率極低，在大量的手工記錄過程中難免出現(xiàn)漏記、錯記等情況。在電子測角、電子測距技術(shù)，尤其是全站儀出現(xiàn)之后，三角高程測量得到廣泛應用，一定程度上提高了工作效率，節(jié)省了人力、物力，可是三角高程測量法仍然受到通視情況、每一測站測程、天氣狀

19、況等條件的限制，并且在長距離測量時難以達到較高的測量精度。</p><p>　　GPS技術(shù)的出現(xiàn)為高程測量提供了全新的途徑。GPS是美國國防部為滿足軍事部門對海上、陸地和空中進行精密授時、高精度導航和定位的要求而建立的新一代精密衛(wèi)星定位系統(tǒng)。它具有全球性、連續(xù)性、全天候和高精度的二維導航和定位能力，以及良好的抗干擾性和保密性。GPS定位技術(shù)為測繪行業(yè)帶來一場劃時代的革命，己經(jīng)廣泛地應用于國家坐標系統(tǒng)的建立、大地板

20、塊監(jiān)測、地形測量、施工放樣、工程變形監(jiān)測和海洋地形測量等，由于其具有巨大的發(fā)展?jié)摿Γ蚨鴮PS技術(shù)的應用理論、數(shù)據(jù)處理與分析技術(shù)等方面的研究已成為當今測繪領(lǐng)域的一個重點。</p><p>　　但是GPS高程成果沒有像平面成果那樣被廣泛關(guān)注和應用，這主要是因為GPS高程測量是在WGS-84地心坐標系上進行的，它所測得的高程是測站點相對于WGS-84橢球面的大地高，而在普通測量和城市測量系統(tǒng)中，地面點的高程采用的是

21、正常高系統(tǒng)，即地面沿鉛垂線到似大地水準面的距離，因此GPS高程數(shù)據(jù)不能直接得到應用。若能求出測量點在兩種高程系統(tǒng)中的高程異常，就可以將高程異常加入到大地高，從而確定測量點的正常高，這樣就可以利用GPS技術(shù)來進行高程測量，從而在三維測量上能夠充分發(fā)揮GPS精度高、速度快、能夠全天候作業(yè)等優(yōu)勢。</p><p>　　1.1.2本課題的意義</p><p>　　GPS定位技術(shù)最近幾年里在很多領(lǐng)域

22、得到了廣泛的應用，這歸功于GPS有諸多優(yōu)點，其中GPS測量數(shù)據(jù)精度高、測量速度快、節(jié)省大量的人力和物力等優(yōu)點被人們普遍認同。傳統(tǒng)的幾何水準測量方法，是測繪領(lǐng)域中測定正常高的主要方法，這種方法雖然精度較高，但費時、費力、效率低，而且作業(yè)條件要求苛刻，野外工作強度大。而GPS測量具有全天候、快速、經(jīng)濟等諸多優(yōu)點，不僅可以節(jié)省經(jīng)費，更重要的是高效率和實時性。如果GPS水準方法在一定范圍內(nèi)代替了低等級的幾何水準測量，不僅可以獲得可觀的經(jīng)濟效益，

23、而且也為通過GPS測量確定大地水準面的研究提供了參考。然而如今雖然可以解算出GPS相對定位的基線向量，從中得出高精度的大地高，但是由于受到種種限制我們在將大地高轉(zhuǎn)換為正常高的過程中，使得得到的大地高的精度并不高。這使GPS的應用受到了限制。所以，研究GPS高程的意義在于研究GPS高程在測量過程中的精度究竟與哪些因素有關(guān)，如何提高GPS高程測量的精度，在數(shù)據(jù)處理過程中，將大地高轉(zhuǎn)換為正常高又與那些因素相關(guān)，得到的正常高能否在實際應用得到廣

24、泛的應用，怎樣才能真正的體現(xiàn)GPS測量的三維優(yōu)越性。另外。提高GPS的定位精度以及GP</p><p>　　1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀、水平</p><p>　　近十多年來，GPS以其精度高、速度快、自動化程度高、經(jīng)濟效益高等優(yōu)點廣泛用于大地測量、精密工程測量、地殼和建筑物形變監(jiān)測、石油勘探、資源調(diào)查、城市測量，并開始用于交通運輸、軍事、海洋、航道、航測遙感、通訊、氣象等領(lǐng)域。GPS的出現(xiàn)對許

25、多常規(guī)測量技術(shù)產(chǎn)生了極大沖擊，對幾何水準也不例外。在不一定必須要正常高的許多場合，GPS高程可以單獨完成工程和科學任務(wù)，如地面沉降監(jiān)測、水面運輸監(jiān)控、防災與地震監(jiān)測等。其次，通過似大地水準面(高程異常)的確定，GPS測量的大地高可以轉(zhuǎn)換成正常高，從而代替水準測量。相對傳統(tǒng)的幾何水準，GPS高程測量不僅可節(jié)省經(jīng)費，而且更重要的是高效率和實時性。GPS測量的大地高通過似大地水準面得到正常高，是高程測量方法的創(chuàng)新。由于人們在布設(shè)不同形式不同等

26、級的控制網(wǎng)、建筑施工測量及放樣以及建(構(gòu))筑物變形監(jiān)測等方面都不約而同的給予了GPS測量大量的關(guān)注。使得GPS測量在各個領(lǐng)域都顯示出了它的三維、快速、實時的優(yōu)越性能。對于GPS高程的不便性，國內(nèi)外也給予了普遍的關(guān)注。國內(nèi)外在GPS高程轉(zhuǎn)換的方法上進行了深入的研究，以使GPS高程能更廣泛的應用到測量領(lǐng)域。</p><p>　　自20世紀70年代美國國防部建立全球定位系統(tǒng)以來，全世界對GPS定位技術(shù)的研究便隨即展開，

27、其中也包括對GPS高程測量的研究。20世紀80年代初，我國一些院校和科研單位已經(jīng)開始研究GPS技術(shù)，并引入GPS接收機用于多個領(lǐng)域，同時著手建立我國自己的衛(wèi)星導航系統(tǒng)。到20世紀90年代，許多學者開始關(guān)注GPS高程轉(zhuǎn)換問題，并發(fā)表了這方面不少的論文。</p><p>　　擬合法是對GPS觀測點進行幾何水準聯(lián)測，同一點的大地高減去正常高得到該點的高程異常，再把測區(qū)的似大地水準面假定為多項式曲面或者其他數(shù)學曲面去擬合

28、已知高程異常的點，根據(jù)擬合的曲面內(nèi)插其他GPS點的高程異常值。擬合法進行GPS高程轉(zhuǎn)換的數(shù)學模型很多，如多項式曲線擬合、最小二乘平面擬合、二次多項式曲面擬合等，歸納起來可以分為線狀擬合模型、平面擬合模型和曲面線狀擬合模型三類。這些單一的擬合模型既有各自的優(yōu)勢，也各自的限制。近年來綜合模型的研究成為熱點，其基本思想就是將單一模型進行組合，或通過調(diào)整權(quán)值，或通過長短波互補，從而揚長避短，形成適用性更強、擬合精度更高的新模型。</p&g

29、t;<p>　　1.3本課題研究的主要內(nèi)容</p><p>　　(1) GPS獲得的高程是相對于WGS-84參考橢球面的大地高，而在實際工程應用中，采用以似大地水準面為基準的正常高高程系統(tǒng)。利用不同數(shù)學模型對大地高與正常高的差值也就是高程異常進行擬合，結(jié)合MATLAB編程計算簡便，轉(zhuǎn)換結(jié)果可靠。</p><p>　　(2) 對MATLAB高級語言進行重點闡述，包括MATLAB

30、基本運算、數(shù)值分析與處理、數(shù)據(jù)可視化和繪圖等技術(shù)。</p><p>　　(3) 介紹GPS水準擬合方法—函數(shù)模型法、統(tǒng)計模型法和綜合模型法，說明不同方法的應用特征。</p><p>　　(4) 針對實驗數(shù)據(jù)，挑選不少于4種擬合方法，運用MATLAB GUI界面開發(fā)，完成對GPS水準的擬合，生成擬合效果圖，比較不同擬合方法的擬合效果。</p><p>　　(5) 依據(jù)

31、程序運行結(jié)果，對MATLAB應用于GPS水準擬合該研究進行總結(jié)，并提出該研究的前景和發(fā)展方向。</p><p>　　第二章 GPS高程的基本理論</p><p><b>　　2.1高程系統(tǒng)</b></p><p>　　2.11.大地水準面、正高與正高系統(tǒng)</p><p>　　大地測量學研究的是在整體上非常接近地球自然表面

32、的水準面，由于海洋占全球面積的71%，故設(shè)想與平均海水面相重合，不受潮汐、風浪和大氣壓變化的影響，并延伸到大陸下面處處與鉛垂面相垂直的水準面成為大地水準面，它是一個沒有褶皺、無棱角的連續(xù)封閉曲面。它包圍的形體稱為大地體，可以近似地把他看作地球的形狀。大地水準面的形狀（幾何形狀）以及重力場（物理性質(zhì)）都是不規(guī)則的，不能用一個簡單的形狀和數(shù)學公式表達。在我們目前尚不能唯一確定它的情況下，各個國家和地區(qū)往往選擇一個平均海水面來代替它。我國曾規(guī)

33、定采用青島驗潮站1956年求得的平均海水面作為我國統(tǒng)一高程基準面，1988 年改用“1985國家高程基準”作為高程起算的統(tǒng)一標準。</p><p>　　大地水準面是靜止海水面向大陸延伸所形成的不規(guī)則的封閉曲面，是地球重力場中的一個等位面，只要給定一點的重力位值，就可以唯一確定過該點的等位面，它是一個物理曲面，也是與地球最為密合的特殊等位面。正高是某點沿鉛垂線方向到大地水準面的距離，通常用表示，以大地水準面為基準面

34、的高程系統(tǒng)稱為正高系統(tǒng)。</p><p>　　2.1.2.似大地準面、正常高與正常高系統(tǒng)</p><p>　　由于地球質(zhì)量尤其是外層質(zhì)量分布的不均勻性，使得大地水準面形狀非常復雜。大地水準面的嚴密測定取決于地球構(gòu)造方面的學科知識，目前尚不能精確地確定它。為此，蘇聯(lián)學著莫洛金斯基建議建議研究與大地水準面很接近的似大地水準面。這個面不需要任何關(guān)于地殼方面的假設(shè)便可嚴密確定。似大地水準面與大地水

35、準面在海洋上完全重合，而在大陸上也幾乎重合，在山區(qū)只有2~4(m )的差異。似大地水準面盡管不是水準面，但它可以嚴密地解決關(guān)于與地球自然地理形狀有關(guān)的問題。</p><p>　　任一點位的實際重力值與地球內(nèi)部質(zhì)量有關(guān)，且隨著深入地下深度的不同而不同，而地球內(nèi)部質(zhì)量的分布及密度又難以知道，因此很難獲取實際重力位值，通常用正常重力來代替實際重力，由此推求得到的高程即為正常高。似大地水準面則是地面點沿垂線向下量取正常高

36、所形成的連續(xù)曲面，是一個與大地水準面極為接近的基準面，它不是水準面，而是用于描述地球形狀的一個幾何曲面，不具有實際物理意義，是用以計算的輔助面。一般來講，它與大地水準面不完全吻合，差值為正常高與正高之差。在海洋面上，似大地水準面與大地水準面重合，在平原和山區(qū)，兩者的差距與點位的高程有關(guān)。</p><p>　　我國采用正常高高程系統(tǒng)作為國家高程系統(tǒng)，由傳統(tǒng)水準測量測取的地面點高程屬于正常高系統(tǒng)。</p>

37、<p>　　2.1.3參考橢球面、大地高與大地高系統(tǒng)</p><p>　　由于地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均勻，各點位重力(垂線)方向不規(guī)則變化，使得大地水準面實際上是一個形狀復雜的不規(guī)則曲面，難以將地面上的測量結(jié)果歸算到大地水準面上進行相關(guān)計算。</p><p>　　為了達到有效、方便的目的，需要尋找一個和大地水準面非常相近且可用簡單數(shù)學公式表達的幾何形體來代替大地水準面。在測量上選

38、用了橢球繞其短軸旋轉(zhuǎn)而成的參考旋轉(zhuǎn)橢球來近似大地水準面。大地高即定義為空間點沿法線方向到參考橢球面的距離。由參考橢球面為起算面的高程系統(tǒng)為大地高系統(tǒng)?？臻g坐標系統(tǒng)通常以觀測點緯度、經(jīng)度及觀測點到參考橢球面的距離——大地高來表示，即(B，L，)。</p><p>　　2.1.4 正高、正常高與大地高之間的關(guān)系</p><p>　　從上面高程系統(tǒng)的定義可知，不論正常高系統(tǒng)還是正高系統(tǒng)，與大地高

39、系統(tǒng)差別主要在于起算面的不統(tǒng)一，即(似)大地水準面和參考橢球面的不一致。圖1-1為各起算面關(guān)系示意圖。</p><p>　　圖1-1高高程系統(tǒng)中各起算面示意圖</p><p>　　大地高、正常高、正高存在轉(zhuǎn)換關(guān)系如下: </p><p>　　上式中ζ和N分別表示似大地水準面和大地水準面到參考橢球面的距離，又稱為似大地水準面和大地水準面高度，如上圖所示。</p&

40、gt;<p>　　由此可見, 研究GPS高程的意義有兩個方面：一是精確求定GPS點的正常高, 二是求定高精度的似大地水準面。</p><p><b>　　2.3本章小結(jié)</b></p><p>　　本章首先回顧了水準測量的基礎(chǔ)知識：水準面和三大高程系統(tǒng)，三大高程系統(tǒng)間的相互關(guān)系以及高程異常的概念。最后本章引出應用地表擬合求解GPS高程異常的方法，這是本文

41、的核心內(nèi)容。</p><p>　　第三章GPS高程擬合的方法研究</p><p>　　3.1 GPS水準高程擬合的基本原理</p><p>　　由于GPS技術(shù)的操作方便、高精度和成本低，GPS逐步取代常規(guī)水準測量高程。GPS水準高程擬合是通過一定數(shù)量的點（既有正常高數(shù)據(jù)也有GPS大地高數(shù)據(jù)的點）計算出擬合點上的高程異常，根據(jù)不同的擬合模型，求出相應的模型系數(shù)，建立相

42、應的擬合模型，并直接根據(jù)擬合點擬合出其高程異常值。大量實踐試驗表明，GPS水準可以滿足四等水準的精度要求。目前，國內(nèi)外GPS水準擬合主要是采用純幾何方法：平面擬合法、二次曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、加權(quán)平均值擬合法等。本文主要介紹曲線擬合法，曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法及三種方法的MATLAB序設(shè)計，并結(jié)合實例加以說明。</p><p>　　如果在一個測區(qū)內(nèi)有幾個點，已知其GPS大地高h和正常高H（h由GPS測得，

43、H由水準測量聯(lián)測而得），那么就可以利用高精度的GPS大地高采用地表擬合技術(shù)（幾何內(nèi)插法），局部地模擬出似大地水準面與橢球面的波動值。事實證明，該方法可以有效地用于短距離范圍。GPS水準法是先在GPS網(wǎng)中聯(lián)測一些水準高程點，它需要GPS觀測點布設(shè)均勻、密度充分，然后利用這些點的正常高高程和它們的GPS大地高求出它們的高程異常值，再根據(jù)這些點的高程異常和坐標，采用二次曲線擬合，二次曲面擬合法、多面函數(shù)擬合、平面擬合法等方法擬合出測區(qū)的似大地

44、水準面，最后內(nèi)插出其他GPS點的高程異常，從而求出各未知點的正常高。以后的章節(jié)，將詳細介紹應用不同擬合模型進行高程擬合的方法。</p><p>　　3.2多項式曲線擬合法</p><p>　　多項式擬合顧名思義其插值函數(shù)是一個m次的代數(shù)多項式，若高程控制點的高程異常為，坐標為(或或或擬合坐標或或)間的函數(shù)關(guān)系為下式:</p><p><b>　　(3-1)

45、</b></p><p>　　各高程控制點的已知高程異常與其擬合值之差為下式所示： </p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　上式我們稱之為殘差。（3-1）中是擬合點到參考點的直線距離，為設(shè)定的常數(shù)值。在一般情況下都認為就是測區(qū)內(nèi)已知點坐標的均值。即： </p><p>

46、;<b>　　(3-3)</b></p><p>　　在式(3-1)中用m次多項式擬合似大地水準面，這個m的值如何取定，一般情況下如果測區(qū)不是很長，地形相對平坦，那么我們通常取m取為3。就是說次多項式為三次多項式。若測區(qū)比較長或者是測區(qū)地形比較復雜就要依情況而定，增加多項式的次數(shù)。提高擬合精度。依上述分析m的值主要是和測區(qū)長度以及測區(qū)的復雜程度有關(guān)。一種情況為控制點為n+l個，若所取的項數(shù)也

47、為n+l項時，其方程組的矩陣可以寫成以下式子:</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　是多項式的系數(shù)，若要求解待定點的高程異常值，先要確定多項式的系數(shù)，根據(jù)上式，用高斯消元法能求定出各項系數(shù)。那么多項式可以明確的確定出來，把待定點代入到(3-1)中求解出該點的高程異常值，從而求出該點正常高。</p><p>　　一

48、種情況是控制點為個，可是所取的項數(shù)項時，這種情況就比前一種情況復雜，因為這種情況中已知數(shù)大于未知個數(shù)。這時利用最小二乘法求解系數(shù)。限定離差的和為最小值，公式如下:</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　的原則下，解得(3-1)式中的待定系數(shù)。</p><p><b>　　具體過程是：</b>&

49、lt;/p><p><b>　　求出離差的平方和：</b></p><p><b>　　(3-6)</b></p><p>　　再分別對求偏導數(shù)，并令其等于0，得到：</p><p><b>　　(3-7)</b></p><p><b>　　即&

50、lt;/b></p><p>　　即m次多項式系數(shù)應該滿足一下方程組：</p><p><b>　　(3-8)</b></p><p>　　上式方程是一個系數(shù)矩陣為正定對稱矩陣。只有一組解，也就是說上式方程解出是唯一的。把解代入到式(3-1)，就得到了解算高程異常值的方程組。之后就可以求解待定點的高程異常值。在選取多項式擬合似大地水準面時

51、，對于m的選取并不是值越大效果越好，存在關(guān)于常數(shù)值的問題。當m取值大時，常數(shù)值會發(fā)生不穩(wěn)定的現(xiàn)象。這對于擬合是不利的。所以，在選取m值時要根據(jù)實際情況，適當取值。</p><p>　　3.3多項式曲面擬合法</p><p>　　當GPS點布設(shè)成一定區(qū)域面時，此時，如果采用線性擬合，就不能夠詳盡的考慮待定點的周圍局部地貌實際情況和己知點的分布，而且，這樣的擬合僅根據(jù)測點坐標中的數(shù)據(jù)之一，坐標

52、中的x、y兩個數(shù)據(jù)沒有充分考慮，所以擬合結(jié)果可能不可靠。此時，可以用數(shù)學曲面擬合法求定待定點的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點的平面坐標和高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準面，再內(nèi)插出待求點的ζ，從而求出待求點的正常高。</p><p>　　多項式曲面擬合法是近年來使用的主要擬合方法。</p><p>　　設(shè)點的與平面坐標()，有以下關(guān)系：</p><p&

53、gt;<b>　　(3-9)</b></p><p>　　或 (3-10)</p><p>　　其中為中的趨勢值，為誤差</p><p><b>　　設(shè) (3-11)</b></p><p>　　當控制點有n個，所取的項

54、數(shù)為n項時，則可以寫成如下方程組矩陣：</p><p><b>　　(3-12)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　對于每一個已知點，均可以列出以上方程，在條件下，可求解系數(shù)陣：</p><p><b>　　(3-13)</b></p

55、><p>　　再由已知高程異常的權(quán)陣情況下，式(3-13)可改寫成：</p><p><b>　　(3-14)</b></p><p>　　系數(shù)求出后，再按(3-12)求出待定點的高程異常。</p><p>　　3.4多面函數(shù)擬合法</p><p>　　多面函數(shù)擬合法本質(zhì)是數(shù)學曲面逼近的方法。其基本思

56、想：用數(shù)學表面逼近所測區(qū)域的大地水準面，通常認為任何表面，無論這個表面是否是有規(guī)則的，都能通過一定的方法構(gòu)造出來一個有規(guī)則的數(shù)學表面逼近其表面。通過構(gòu)造數(shù)學表面，用數(shù)學表達式高精度的逼近并且代替其真實表面。也就是說每個插值點都可以和已知點建立起來相應的函數(shù)關(guān)系式，然后將這些函數(shù)關(guān)系式迭加在一起，組成一個全新的函數(shù)關(guān)系.式，那么稱這個迭加函數(shù)為多面函數(shù)，由于這是每個插值點與已知數(shù)據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系，因此多面函數(shù)具有計算最佳擬合值的特點，正因

57、如此，多面函數(shù)曲面擬合法就能夠更準確的擬合出未知點的高程擬合值。多面函數(shù)的數(shù)學表達式為:</p><p><b>　　(3-15)</b></p><p>　　多面函數(shù)式中包含了待定系數(shù),核函數(shù),其中核函數(shù)是關(guān)于的函數(shù)，核函數(shù)的中心在處。理論上講核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的，在實際應用中，通常用一下幾種函數(shù)來充當核函數(shù)。</p><p><b&

58、gt;　　錐面</b></p><p><b>　　(3-16)</b></p><p><b>　　雙曲面</b></p><p><b>　　(3-17)</b></p><p><b>　　倒曲面</b></p><p

59、><b>　　(3-18)</b></p><p><b>　　三次曲面</b></p><p><b>　　(3-19)</b></p><p>　　在上述各式中，表示內(nèi)插點坐標，表示的是已知點的坐標,那么核函數(shù)中的表示的是內(nèi)插點到已知點的水平距離，式中的參數(shù)為光滑系數(shù)。</p>

60、<p>　　其具體的解算過程為：</p><p>　　以核函數(shù)為雙曲面為例，說明多項式曲面擬合法具體求解過程，設(shè)測區(qū)內(nèi)的己知點個數(shù)為n個，求解(3-15)中的系數(shù)()，其矩陣形式為下式</p><p><b>　　所示:</b></p><p><b>　　(3-20)</b></p><p

61、><b>　　其中</b></p><p>　　由方程組可解得系數(shù)（)的唯一解：</p><p><b>　　(3-21)</b></p><p>　　求解未知點的高程異常值，根據(jù)公式（3-20）和（3-21）即可得到求解公式：</p><p><b>　　(3-22)</b&

62、gt;</p><p>　　跟據(jù)以上求解過程可知，(3-22)式中的己知點的高程異常值直接關(guān)系到未知點的高程異常值的計算結(jié)果，因此，若果想要更好的結(jié)算出未知點的高程異常值，必須認真選取己知點，并且使所選的已知點的高程異常值相差比較大，因為這些點能最好的描述地形變化特征，即高程異常值的分布特征。這些特征點的選擇一般在地勢高和地勢較低的地方。</p><p>　　選擇多面函數(shù)求解測區(qū)內(nèi)的點的高

63、程異常值的時候，需要注意的是以及</p><p>　　核函數(shù)的選取的問題，由于其取值是自主取值，為了能達到擬合最佳效果，就</p><p>　　要逐步的試驗進而改進，然后選定一個最佳取值。</p><p><b>　　3.4本章小結(jié)</b></p><p>　　多項式曲線擬合使用起來非常方便，但是它有自身的局限性，既是使

64、用這種方法的時候，所測路線不能太長，要限制控制點到測點的距離不能太遠，通常把距離控制在300米以內(nèi)。這個要求是因為使用多項式曲線方法擬合似大地水準面，如果它擬合的范圍太大，點位的高程異常變化就越復雜，削高補低的方法不能滿足我們所要求的精度。若多項式階數(shù)的增大，也會使擬合出的曲線振蕩的更厲害，從而造成擬合的誤差增大。這些造成了上述多項式曲線擬合的缺陷，但是在路線較短的情況下，這種方法有足夠的精度來擬合GPS點的正常高程。</p>

65、;<p>　　多項式曲面擬合適用于在地勢較為平坦的地區(qū)，當己知高程異常的點，密度適當，分布比較均勻時，該法計算高程異常的精度，可達厘米級。在山區(qū)，大地水準面的起伏較大，按上述方法建立的模型，其模型誤差往往比較大，誤差以及算得高程異常的精度，將難以達到代替三、四等水準測量的要求。 </p><p>　　當GPS點布設(shè)成一定區(qū)域面時，可以用數(shù)學曲面擬合法求定待定點的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點的平

66、面坐標高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準面，再內(nèi)插出待求點的高程異常，從而求出待求點的正常高。</p><p><b>　　第四章 案例分析</b></p><p><b>　　4.1精度評定</b></p><p><b>　　4.1.1適用范圍</b></p><p

67、>　　在實際的工程中，由于區(qū)域似大地水準面精化并沒有普及，因此幾何的高程擬合方法仍然有比較廣泛的應用，但這種方法一般適用于高程異常變化比較平緩的地區(qū)(如平原地區(qū))，其擬合的準確度可達到一個分米以內(nèi)。對于高程變化劇烈的地區(qū)(如山區(qū))，這種方法準確度有限，主要是因為在這些地區(qū)，高程異常的已知點很難將高程異常的特征表現(xiàn)出來。</p><p>　　4.1.2選出合適的高程異常已知點</p><p

68、>　　所謂已知點的高程異常值，一般是通過水準測量測定正常高、通過GPS 測量測定大地高獲得的。在實際工作中，通常采用在水準點上布設(shè)GPS點或GPS 點進行水準聯(lián)測的方法來實現(xiàn)，為了獲得好的擬合結(jié)果要求采用盡量多的已知點，它們應均勻分布，并且最好能夠?qū)⒄麄€GPS網(wǎng)包圍起來。由于基于所建立的模型的內(nèi)插的精度要優(yōu)于外推精度，因此要盡量避免外推，亦即區(qū)域的邊界范圍應盡量有控制點分布。</p><p>　　4.1.3

69、 高程異常已知點的數(shù)量</p><p>　　若要用零次多項式進行高程擬合，需要一個以上的已知點來確定一個參數(shù)，若要用一次多項式進行擬合，需要三個以上的已知點來確定三個參數(shù)，以此類推，盡量已知點的數(shù)量多些、分布均勻些效果最好。</p><p>　　4.1.4 GPS擬合精度分析</p><p><b>　　(1) 內(nèi)符合精度</b></p&

70、gt;<p>　　根據(jù)參與擬合的點的高程異常值和擬合后得到的高程異常值，用</p><p>　　求的殘差，按下式計算GPS水準的內(nèi)符合精度</p><p>　　式中為參與計算的己知點數(shù)。</p><p><b>　　(2) 外符合精度</b></p><p>　　跟據(jù)參與檢核點的高程異常值和計算后得到的高程

71、異常值，用</p><p>　　求的殘差按下式計算 GPS 水準的內(nèi)符合精度</p><p>　　式中為參與計算的己知點數(shù)。</p><p>　　4.2MATLAB軟件特點及應用</p><p>　　MATLAB是美國MATHWORK公司自20 世紀80 年代中期推出的數(shù)學軟件，優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其發(fā)展成為多學科、多種

72、工作平臺的功能強大的大型軟件。目前MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動控制理論、概率論及數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等大學課程的基本教學輔助工具。應用于GPS水準高程擬合MATLAB有如下優(yōu)勢:</p><p>　　(1) 適合矩陣計算的高效的數(shù)值計算算法;</p><p>　　(2) 可以自定義函數(shù);</p><p>　　(3) 具有強大的繪圖

73、能力;</p><p>　　(4) 事先定義好的，具有可以解決多個應用領(lǐng)域問題的工具箱( Toolboxes模塊) 。</p><p>　　基于上述原因，又由于測繪平差的矩陣特點，采用MATLAB處理測繪數(shù)據(jù)具有廣闊的前景。</p><p>　　正是基于這個背景，本文給出了采用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)GPS大地水準面精化時常用的幾種大地水準面擬合方法，并利用實際數(shù)據(jù)對這

74、些方法的適用性進行了驗證，得出了有用的結(jié)論與建議。</p><p>　　在MATLAB中實現(xiàn)GPS高程擬合的具體流程圖見圖4-1</p><p>　　圖6-1在MATLAB中實現(xiàn)GPS高程擬合的具體流程</p><p>　　4.3狹長線性區(qū)域擬合實例</p><p>　　某測區(qū)GPS點分布圖如下圖4-2.慮到這種布設(shè)方式的特殊性，擬采用以下方

75、案進行擬合：二次曲線擬合，三次曲線擬合，四次曲線擬合,五次曲線擬合，六次曲線擬合和多面函數(shù)擬合進行擬合。擬合數(shù)據(jù)采用以下點進行試驗：N01，N02，N03，N04，N05，N06，N07，N08，N09，N10，N11，N12，N13，N14，N15，N16共計16個點。其點位平面分布圖如下圖4-2和其高程異常走勢圖4-3：</p><p>　　圖4-2狹長線性區(qū)域試驗點分布圖</p><p&

76、gt;　　圖4.-3高程異常走勢圖</p><p>　　在上述GPS水準點中，將N01，N03，N05，N07，N09，N11，N13，N15這8個點作為你擬合點進行擬合，其余的點作為檢核點。擬合結(jié)果見表4-4和4-5：</p><p>　　表4-4線、三次曲線、四次曲線擬合表 單位(cm)</p><p><b>　　圖4-5殘差走勢圖</b>

77、;</p><p>　　從上表中可以看出，多面函數(shù)的內(nèi)符合精度和外符合精度明顯大于多項式擬合的數(shù)據(jù)。隨著擬合次數(shù)的增高，擬合殘差有減小的趨勢，內(nèi)符合精度都有所提高,但是外符合精度在五次和六次在變大。擬合精度最高的是四次曲線擬合模型，較高的是三次曲線擬合模型，二次曲線擬合模型最低。由此說明，曲線擬合過程中并非擬合次數(shù)越高越好。分析其原因有以下兩個方面：</p><p>　　(1) 隨著次數(shù)的

78、增大，曲線振蕩很厲害，此時已經(jīng)不能較好的描述高程異常的變化情況了。</p><p>　　(2) 隨著次數(shù)的增大，求解擬合系數(shù)的矩陣方程組可能出現(xiàn)了病態(tài)矩陣的情 況，這種情況下求出的擬合多項式當在求解未知點時，當未知點的坐標較小的變化也會引起高程異常較大的變化。</p><p>　　在狹長線性區(qū)域多項式曲線擬合模型優(yōu)于多面函數(shù)擬合模型。</p><p>　　4.4丘陵

79、地區(qū)高程異常擬合實例</p><p>　　這里采用二次曲面擬合和多面函數(shù)法進行擬合。參與高程擬合的點位分布圖如4-6及其高程異常走勢圖4-7所示：</p><p>　　圖4-6丘陵地區(qū)實踐點分布圖</p><p>　　圖4-7高程異常走勢圖</p><p>　　對以上26個GPS水準聯(lián)測點分別進行二次曲面擬合和多面函數(shù)擬合</p>

80、<p>　　在二次曲面擬合實例中，分別取8個基點，9個基點和10個基點作為擬合點進行擬合，其余作為檢核點進行檢核。選用的控制點分別為：二次曲面8基點有N15，N18，N21，N24，N27，N30，N33，N36。二次曲面9基點有N16，N17，N21，N22，N23，N27，N28，N29，N34。二次曲面10基點有N13，N14，N19，N20，N25，N26，N31，N32，N35，N37。擬合結(jié)果見表4-8和圖4-

81、9</p><p>　　表4-8二次曲面擬合表單位(cm)</p><p>　　圖4-9各擬合殘差曲線圖</p><p>　　通過對表4-8的擬合結(jié)果進行分析可以看出，8基點最大殘差為13.8 mm,9基點最大殘差為12.3 mm，10基點最大殘差為11.2 mm。隨著基點數(shù)的增加內(nèi)符合精度變高，外符合精度在9個基點是最低。</p><p>

82、　　四次多項式曲線擬合的內(nèi)符合精度和外符合精度已經(jīng)超過了擬合的精度要求所以此組數(shù)據(jù)不適用于四次多項式曲線擬合。</p><p>　　在多面函數(shù)擬合實例中，對于25個已知GPS水準聯(lián)測點，N13，N15，N18，N21，N25，N28，N31，N33，N34，N37作為擬合點，其余的點作為檢核點。采用的核函數(shù)是雙曲面，分別采用8個中心節(jié)點，10個中心節(jié)點和12個中心節(jié)點進行擬合。擬合結(jié)果分別見表4-10，表4-11

83、和表4-12</p><p>　　表4-10 8節(jié)點多面函數(shù)擬合表單位(cm)</p><p><b>　　8節(jié)點殘差走勢圖</b></p><p>　　表4-11 10節(jié)點多面函數(shù)擬合表單位(m)</p><p><b>　　10節(jié)點殘差走勢圖</b></p><p>　

84、　表4-12 12 節(jié)點多面函數(shù)擬合表單位(m)</p><p><b>　　12節(jié)點殘差走勢圖</b></p><p>　　(1) 在二次曲面擬合中，用9個基點進行擬合時，內(nèi)符合精度和外符合精度都是最小。所以在進行多項式曲面擬合時選擇9個基點時其擬合效果最好</p><p>　　(2) 在多面函數(shù)擬合中，可以看出隨著節(jié)點的增加，內(nèi)符合精度在

85、變小，同一節(jié)點中隨著平滑因子變大，內(nèi)符合精度和外符合精度都在減小。當平滑因子選擇適當時，GPS 水準聯(lián)測點越多、顯著點越多時，擬合精度就越高。</p><p>　　(3) 在所取的數(shù)據(jù)中，二次曲面擬合的最大殘差和最小殘差都比多面函數(shù)的較小。二次曲面的外符合精度明顯比多面函數(shù)的外符合精度低，所以，在本數(shù)據(jù)模型中二次曲面的擬合效果比較好。</p><p><b>　　4.5本章小結(jié)&

86、lt;/b></p><p>　　(1) 本章首先介紹了GPS水準擬合的精度評定，然后給出了用MATLAB計算GPS水準擬合的流程圖。</p><p>　　(2) 第三節(jié)和第四節(jié)分別作了兩個案例，一是狹長線性區(qū)域，二是丘陵區(qū)域。對狹長線性區(qū)域分別進行了多項式曲線擬合和多面函數(shù)擬合。對丘陵區(qū)域分別進行了多項式曲線擬合，多項式曲面擬合和多面函數(shù)擬合。</p><p&g

87、t;　　(3) 對各個模型的數(shù)據(jù)進行了具體的分析，得出了一些比較合理的結(jié)論。</p><p><b>　　第五章 總結(jié)與展望</b></p><p><b>　　5.1總結(jié)</b></p><p>　　本文主要從理論和實際應用兩方面研究GPS高程擬合方法，經(jīng)過對比分析之后，總結(jié)出各種擬合模型的優(yōu)劣，為在工程中取得更好的擬合

88、效果提供參考。</p><p>　　高程異常的高精度獲取是構(gòu)建區(qū)域似大地水準面，實現(xiàn)GPS高程向正常高（水準高）轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。本文在總結(jié)歸納常規(guī)的高程異常擬合方法的基礎(chǔ)上，著重討論和分析了多項式曲線擬合，多項式曲面擬合和多面函數(shù)擬合。</p><p>　　本文通過分析比較，并編制帶有可改變擬合方法中關(guān)鍵參數(shù)的計算機程序，將其作為研究的工具，通過改變這些參數(shù)進行反復、大量的試算后得出一些有益的

89、經(jīng)驗和結(jié)論：</p><p>　　(1) 對于多項式擬合，二次曲面就能得到較為滿意的結(jié)果，增大多項式曲面的次數(shù)則意味著需要擬合數(shù)據(jù)中的已知點個數(shù)就更多，反而降低了多項式擬合方法的適應性，建議采用二次曲面擬合比較好。</p><p>　　(2) 對于多面函數(shù)擬合中平滑因子是決定擬合精度高低的關(guān)鍵參數(shù)，根據(jù)實際的工程實例的不同，平滑因子值的大小不定，很難找到其中的規(guī)律，相當復雜。</p&

90、gt;<p>　　(3) MATLAB作為具有強大數(shù)據(jù)處理功能的工具軟件是可以進行GPS水準擬合，并且精度良好，穩(wěn)定性可靠。</p><p><b>　　5.2展望</b></p><p>　　在傳統(tǒng)的以數(shù)學模型為基礎(chǔ)的擬合方式中，由于數(shù)學模型的影響，必然存在模型誤差，如何對數(shù)學模型誤差的大小進行定量的分析，并對擬合結(jié)果進行模型誤差改正，將會使擬合精度得

91、到很大的提高，擴展 GPS高程擬合的應用前景。</p><p>　　(1) 在這幾種擬合方法中由于精力和時間問題，沒有細致研究擬合點的點位分布對GPS高程擬合的精度的影響。</p><p>　　(2) 在面積更大、地形條件更復雜的測區(qū)，多面函數(shù)擬合方法擬合GPS高程的效果有待進一步的應用分析。</p><p>　　(3)本文只是在已有觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作的試驗研究，即

92、進行的只是GPS高程擬合模型的選擇與應用分析，并未對影響GPS高程擬合結(jié)果的原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量控制進行探討。應從GPS大地高測量、正常高水準測量、擬合模型選擇等多方面誤差源作進一步的探討與研究，以確保GPS高程擬合的質(zhì)量。</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本文是在導師xx的精心指導和悉心關(guān)懷下完成的，在我的學業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導師

93、辛勤的汗水和心血。導師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受啟迪。從尊敬的導師身上，我不僅學到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學會了做人的道理。在此，我要向?qū)熤乱宰钪孕牡母兄x和最崇高的敬意！</p><p>　　同時，我也要感謝在日常學習和生活中給我莫大幫助的xx助教，他們嚴謹?shù)膶W態(tài)度和人生理念，深深影響著我，督促我不斷進步，并將使我終生受益。他聯(lián)系相關(guān)部門為我尋找論文所需數(shù)據(jù)，解決我論文后期最主要的問題

94、，感謝他給予我的幫助和支持！</p><p>　　感謝xx兩位同學的關(guān)懷和幫助，感謝梁偉亮與我同甘共苦、共同奮斗。</p><p>　　感謝參考文獻中的所有作者以及在網(wǎng)絡(luò)上提供資料的單位和個人！</p><p>　　衷心感謝我的父母家人以及女朋友的父母家人! 在他們的全力支持和幫助</p><p>　　下，才使我順利完成學業(yè)，在此向他們表示衷

95、心的感謝和祝福！</p><p>　　最后，衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位專家、學者！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 盧輝,劉長星.MATALB在GPS高程擬合中的應用[J].測繪科學,2009,34(2)</p><p>　　[2] 姚東,王愛民,馮峰,等.MA

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102、t;p>　　[20] 黃聲享，郭英起，易慶林.GPS 在測量工程中的應用[M].北京測繪出版社，2007</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　多項式曲線擬合MATLAB程序</p><p>　　x=[ ] %已知點X</p><p>　　z=[ ] %已

103、知點高程異常</p><p>　　B=xlsread() %待求點X和高程異常</p><p>　　x1=B(:,2) %待求點X</p><p>　　z1=B(:,1) %待求點擬合前的高程異常</p><p>　　p=polyfit(x,z,1)</p><p>　　z2=polyval(

104、p,x1)%擬合后的高程異常</p><p><b>　　v=z1-z2</b></p><p>　　多項式曲面擬合MATLAB程序</p><p>　　A=xlsread(); %已知點的x，y和高程異常</p><p>　　E=xlsread(); %待求點的X,Y和擬合前高程異常</p&

105、gt;<p><b>　　a=A(:,1);</b></p><p><b>　　x0=0;</b></p><p><b>　　for i=1:8</b></p><p>　　x0=x0+a(i,1);</p><p><b>　　end</b&

106、gt;</p><p>　　x0=x0/8 %求已知點X的平均值</p><p><b>　　b=A(:,2);</b></p><p><b>　　y0=0;</b></p><p><b>　　for i=1:8</b></p><p

107、>　　y0=y0+b(i,1);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　y0=y0/8 %求已知點Y的平均值</p><p>　　p=zeros(8,8);</p><p>　　for n=1:16</p><p>　　B(n,1)=E(n,1)

108、-x0;</p><p>　　B(n,2)=E(n,2)-y0;</p><p>　　Z(n)=E(n,3);</p><p><b>　　M(n,1)=1;</b></p><p>　　M(n,2)=B(n,1);</p><p>　　M(n,3)=B(n,2);</p><

109、p>　　M(n,4)=B(n,1)^2;</p><p>　　M(n,5)=B(n,1)*B(n,2);</p><p>　　M(n,6)=B(n,2)^2;</p><p>　　d(n)=sqrt(B(n,1)^2+B(n,2)^2);</p><p>　　P(n,n)=1/(d(n))^2;</p><p>

110、<b>　　end</b></p><p>　　X=inv(M'*P*M)*M'*P*Z' %求系數(shù)</p><p><b>　　V=M*X</b></p><p>　　v=E(:,3)-V</p><p>　　多面函數(shù)擬合MATLAB程序</p>&

111、lt;p>　　function q=q(x1,y1,x2,y2)</p><p><b>　　k=1</b></p><p>　　q=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+k^2);</p><p>　　A=xlsread() %已知數(shù)據(jù)</p><p>　　B=xlsread()

112、 %待求數(shù)據(jù)</p><p><b>　　x=B(:,1)</b></p><p><b>　　y=B(:,2)</b></p><p><b>　　z=B(:,3)</b></p><p><b>　　X=A(:,1)</b></p>

113、<p><b>　　Y=A(:,2)</b></p><p><b>　　Z=A(:,3)</b></p><p>　　for m=1:16</p><p><b>　　for n=1:8</b></p><p>　　W(m,n)=[q(x(m,1),y(m,1),X

114、(n,1),Y(n,1))]</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　for m=1:16</p><p><b>　　for n=1:8</b></p><p>　　F(m,n)=[q

115、(X(m,1),Y(m,1),X(n,1),Y(n,1))]%系數(shù)矩陣</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　H=W*inv(F'*F)*F'*Z</p><p><b>　　v=z-H</b>