1、<p>　　多元函數(shù)條件極值的解法與應用</p><p>　　【摘要】 多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學的重要組成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘數(shù)法、標準量代換法、不等式法、二次方程判別式符號法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法等方法在解多元函數(shù)條件極值問題上的運用，以及探討多元函數(shù)條件極值在證明不等式、物理學、生產(chǎn)銷售等問題上的應用.</p><p>　　【關(guān)鍵詞】 極值；條件極值；拉

2、格朗日乘數(shù)法；梯度法；應用</p><p><b>　　1.引言</b></p><p>　　多元函數(shù)條件極值是多元函數(shù)微分學的重要組成部分，它不僅在理論上有重要的應用，而且在其它學科及有關(guān)實際問題中有著廣泛的應用，于是如何判定與求解多元函數(shù)條件極值就成為許多學者研究的問題，雖然以前也有不少學者研究過，但多數(shù)還只是理論上的研究，實際利用方面的研究較少.如文[1]討論了

3、方向?qū)?shù)法在求解多元函數(shù)條件極值上應用，文[2]討論了柯西不等式在求解一些特殊的多元函數(shù)條件極值問題時的應用.本文首先對多元函數(shù)條件極值的解題方法進行了歸納與總結(jié)，通過具體實例對各種解法進行分析類比，從中可以看到不同的條件極值問題可以有不同的解題方法，其中最常用的是拉格朗日乘數(shù)法，但對有些問題若能用一些特殊解法可以更簡單.面對不同的極值問題如何采用最佳的解決方法是快速解題的關(guān)鍵.文章最后討論了如何通過條件極值解決不等式證明、物理學、生產(chǎn)

4、銷售等實際應用問題.</p><p>　　2.簡單介紹多元函數(shù)極值與條件極值的有關(guān)概念</p><p><b>　　2.1函數(shù)的極值</b></p><p>　　定義2.1.1設(shè)元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,如果對該鄰域內(nèi)任一異于的點都有(或)，則稱函數(shù)在點有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.</

5、p><p>　　2.2函數(shù)的條件極值</p><p>　　定義2.2.1函數(shù)在個約束條件 下的極值稱為條件極值.</p><p>　　3. 多元函數(shù)普通極值存在的條件</p><p>　　定理3.1（必要條件）若元函數(shù)在點存在偏導數(shù)，且在該點取得極值，則有 </p><p>　　備注：使偏導數(shù)都為的點稱為駐點，但駐點不一定

6、是極值點.</p><p>　　定理3.2（充分條件）設(shè)元函數(shù)在附近具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且為的駐點.那么當二次型</p><p>　　正定時，為極小值；當負定時，為極大值；當不定時，不是極值.</p><p><b>　　記，并記</b></p><p><b>　　，</b></p>

7、<p>　　它稱為的階矩陣.對于二次型正負定的判斷有如下定理：</p><p>　　定理3.3若 ，則二次型是正定的，此時為極小值；若 ，則二次型是負定的，此時為極大值.</p><p>　　特殊地，當時，有如下推論：</p><p>　　推論3.1若二元函數(shù)某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，且 </p><p><b&g

8、t;　　令 </b></p><p><b>　　則 ①當時，.</b></p><p><b>　?、诋敃r，沒有極值.</b></p><p>　?、郛敃r，不能確定，需另行討論.</p><p>　　4．介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法</p><p><

9、;b>　　4.1代入消元法</b></p><p>　　通過一個量用其它量代替的方法達到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.</p><p>　　例4.1.1求函數(shù)在條件下的極值.</p><p><b>　　解 由

10、解得，</b></p><p>　　將上式代入函數(shù)，得 </p><p><b>　　解方程組 </b></p><p><b>　　得駐點 </b></p><p><b>　　，， </b></p><p><b>

11、　　在點處，</b></p><p><b>　　，所以不是極值點</b></p><p>　　從而函數(shù)在相應點處無極值；</p><p><b>　　在點處，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>

12、;　　又，所以為極小值點</b></p><p>　　因而，函數(shù)在相應點處有極小值</p><p><b>　　極小值為.</b></p><p>　　4.2拉格朗日乘數(shù)法</p><p>　　拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.<

13、;/p><p>　　求目標函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導數(shù)，且Jacobi矩陣</p><p>　　的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.</p><p>　　首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　然后，解方程組</b></p><p>　　從此方程組中解出駐點的坐標 ，

14、所得駐點是函數(shù)極值的可疑點，需進一步判斷得出函數(shù)的極值.</p><p>　　定理4.2.1（充分條件） 設(shè)點及個常數(shù)</p><p><b>　　滿足方程組 ，</b></p><p><b>　　則當方陣 </b></p><p>　　為正定（負定）矩陣時，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?/p>

15、點，因此為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?</p><p>　　例4.2.1求橢球在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標面所圍成的四面體的最小體積.</p><p>　　解 此橢球在點處的切平面為</p><p>　　化簡,得 </p><p>　　此平面在三個坐標軸上的截距分別為：</p><p>　　則此切平面

16、與三坐標面所圍成的四面體的體積 </p><p>　　由題意可知，體積存在最小值，要使最小，則需最大；</p><p>　　即求目標函數(shù)在條件下的最大值，</p><p>　　其中，拉格朗日函數(shù)為</p><p>　　由 解得;</p><p>　　說明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，

17、但在實際解題過程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標準量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.</p><p>　　4.3 標準量代換法</p><p>　　求某些有多個變量的條件極值時,我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標準量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標準量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕藴柿颗c輔助量間的

18、關(guān)系了.如果給定條件是幾個變量之和的形式,一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標準量.</p><p>　　例4.3.1設(shè),求的最小值.</p><p>　　解 取 為標準量, </p><p><b>　　令 ,</b></p><p>　　則 (為任意實數(shù)),</p><p><b&g

19、t;　　從而有 </b></p><p>　　等號當且僅當, 即時成立，</p><p><b>　　所以的最小值為.</b></p><p><b>　　4.4 不等式法</b></p><p>　　4.4.1利用均值不等式</p><p>　　均值不等式是常

20、用的不等式，其形式為，</p><p>　　這里，且等號成立的充分條件是.</p><p>　　例4.4.1.1 已知，，求的極小值.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　當且僅當時，等號成立.</p><p>　　4.4.2利用柯西不等式</p><

21、;p>　　柯西不等式：對于任意實數(shù)和，總有 </p><p>　　,當且僅當實數(shù)與對應成比例時，等號成立.運用柯西不等式，主要是把目標函數(shù)適當變形，進</p><p>　　而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.</p><p>　　例4.4.2.1已知，求的最值.</p><p>　　解 首先將 變

22、形為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　再設(shè) ，</b></p><p>　　于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有</p><p><b>　　即： </b></p><p>　　當且僅當 時，等號成立；&l

23、t;/p><p>　　即當 時，；</p><p><b>　　當 時，，</b></p><p><b>　　所以，，.</b></p><p>　　4.5 二次方程判別式符號法</p><p>　　例4.5.1若,試求的極值.</p><p

24、><b>　　解 因為 ,</b></p><p><b>　　代入 得</b></p><p>　　即 (1)</p><p>　　這個關(guān)于的二次方程要有實數(shù)解, 必須</p><p><b>　　即 </b><

25、/p><p>　　解關(guān)于的二次不等式,得:</p><p>　　顯然,求函數(shù)的極值, 相當于求</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　(3)</b></p><p&

26、gt;<b>　　的極值.</b></p><p>　　由(2)得 (4)</p><p>　　這個關(guān)于的二次方程要有實數(shù)解,必須</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即 <

27、;/b></p><p>　　解此關(guān)于的二次不等式,得 .</p><p><b>　　所以 ,.</b></p><p><b>　　把 代入(4),得</b></p><p>　　再把,代入(1),得,</p><p>　　最后把,,代入,得.</p>

28、<p>　　所以,當,,時,函數(shù)達到極大值3.</p><p>　　同理可得,當,,時,函數(shù)達到極小值-3.</p><p>　　也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值-3.</p><p><b>　　4.6 梯度法</b></p><p>　　用梯度法求目標函數(shù)在條件函數(shù)時</p>

29、<p>　　組限制下的極值，方程組</p><p>　　的解,就是所求極值問題的可能極值點.</p><p>　　其中表示目標函數(shù)的梯度向量，</p><p>　　表示條件函數(shù)的梯度向量</p><p>　　例4.6.1 從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形.</p><p>　　解:設(shè)兩條

30、直角邊為,本題的實質(zhì)是求在條件</p><p><b>　　下的極值問題.</b></p><p>　　根據(jù)梯度法,列出方程組 </p><p><b>　　進一步求解得 </b></p><p><b>　　容易解出</b></p><p>　　

31、根據(jù)題意是唯一的極大值點,也是最大值點.</p><p>　　所以，當兩條直角邊都為時,直角三角形的周長最大.</p><p><b>　　4.7 數(shù)形結(jié)合法</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標的條件極值.</p><p>　　例4.7

32、.1 設(shè)，求的最值. </p><p><b>　　解法一 數(shù)形結(jié)合法</b></p><p><b>　　解 設(shè)</b></p><p>　　則， </p><p><b>　　即</b></p><p>　　表示坐標原點到

33、橢圓上的點的距離的平方的2倍</p><p>　　顯然最大值為長軸的長38，最小值為</p><p><b>　　解法二 消元法</b></p><p><b>　　解 設(shè) ，，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p>　　故當

34、，即時，達到最小值.</p><p>　　當，即時，達到最大值.</p><p>　　解法三 均值不等式法</p><p>　　解 （1）若注意到 </p><p><b>　　當且僅當時等號成立</b></p><p><b>　　因此：，</b></p>&

35、lt;p><b>　　當且僅當時等號成立</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　故 ，此時</b></p><p>　?。?）若，設(shè)，則問題變?yōu)榍蟮淖钪?lt;/p><p><b>　　由于，</b></

36、p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　即最大值為38</b></p><p>　?。?）若，做變換，則問題轉(zhuǎn)化為（1）</p><p>　?。?）若，則問題轉(zhuǎn)化為（2）</p>

37、<p>　　解法四 拉格朗日乘數(shù)法</p><p><b>　　解 設(shè) </b></p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　若 ，則，</b></p>&

38、lt;p><b>　　此時 ；</b></p><p><b>　　若 ，則，或</b></p><p><b>　　此時</b></p><p>　　從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過程都比較繁瑣，但通過數(shù)形結(jié)合法和消元法法都可以簡捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問題時，我們可

39、以先分析題目的特點再選擇最合適的解題方法，從而提高解題效率.</p><p>　　5. 多元函數(shù)條件極值在理論和實際中的應用舉例</p><p>　　多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷售、證券投資分析、多元統(tǒng)計分析學里判別分析和主成分分析等問題上都有廣泛的應用.由于本人其余學科知識和時間上的限制，不能很好地展開條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計分析上的應用問題，具體內(nèi)容可以參考文獻[

40、8]和文獻[9]，下面只討論條件極值在不等式證明、物理學、生產(chǎn)銷售上的應用.</p><p><b>　　5.1 不等式證明</b></p><p>　　例5.1.1證明不等式：.</p><p><b>　　證 令，則只需證明</b></p><p>　　函數(shù)在區(qū)域上存在最小值，</p>

41、;<p><b>　　對于，令，</b></p><p><b>　　得，且當時，</b></p><p><b>　　當時，.</b></p><p>　　由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法，為最小值點，</p><p>　　即在曲線上取得最小值，</p&g

42、t;<p><b>　　最小值.</b></p><p><b>　　故在上，即.</b></p><p>　　5.2 物理學中光的折射定律證明</p><p>　　例5.2.1設(shè)定點和位于以平面分開的不同光介質(zhì)中，從點射出的光線折射后到達 點，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，，求需時最短的傳播方式.<

43、;/p><p>　　解 設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，（如圖），</p><p>　　，光線從點射到點所需時間為，</p><p>　　光線從點射到點所需時間為</p><p><b>　　且，即</b></p><p>　　問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在條件 </p><p><

44、b>　　下的最小值.</b></p><p><b>　　作拉格朗日函數(shù)</b></p><p><b>　　令 </b></p><p>　　由此解得，即光線的入射角與折射角應滿足：</p><p>　?。ü獾恼凵涠桑r光線傳播時間最短.</p><p

45、><b>　　5.3 生產(chǎn)銷售</b></p><p>　　在生產(chǎn)和銷售商品的過程中，銷售價格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤增加，但同時也使消費者的購買欲望下降，造成銷售量下降，導致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價格才能獲得最大利潤.</p><p>　　5.

46、3.1 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案</p><p>　　例5.3.1.1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料A和B，它們的單價分別為10元、15元，用單位原料A和單位原料B可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A和B？</p><p>　　【分析】由題意可知，成本函數(shù).</p><p>　　該問題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問題，</

47、p><p>　　利用拉格朗日常數(shù)法計算.</p><p><b>　　解 令</b></p><p><b>　　解方程組 </b></p><p>　　這是實際應用問題，所以當原料A和B的用量分別為4單位，2單位時，成本最低.</p><p>　　5.3.2利用條件極值

48、得出利潤最大化方案</p><p>　　例5.3.2.1為銷售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳，當宣傳費分別為時，銷售量是，若銷售產(chǎn)品所得利潤是銷量的減去廣告費，現(xiàn)要使用廣告費25萬元，應如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤最大，最大利潤是多少？</p><p>　　解 依題意，利潤函數(shù)為</p><p><b>　　且 </b></p><

49、p><b>　　設(shè) </b></p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　得 </b></p><p>　　依題設(shè)，存在最大利潤，又駐點唯一，因此兩廣告分別投入15萬元和10萬元利潤最大.</p><p>　　例5.3.2.2 一家電視

50、機廠在對某種型號電視機的銷售價格決策時面對如下數(shù)據(jù)：</p><p>　?。?）根據(jù)市場調(diào)查，當?shù)貙υ摲N電視機的年需求量為100萬臺；</p><p>　　（2）去年該廠共售出10萬臺，每臺售價為4000元；</p><p>　?。?）僅生產(chǎn)1臺電視機的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn)1萬臺時成本降低為每臺3000元.</p><p>

51、　　問：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的最優(yōu)銷售價格是多少？</p><p><b>　　數(shù)學模型建立如下：</b></p><p>　　設(shè)這種電視機的總銷售量為，每臺生產(chǎn)成本為，銷售價格為，</p><p>　　那么廠家的利潤為 </p><p>　　根據(jù)市場預測，銷售量與銷售價格之間有下面的關(guān)系：</p>

52、;<p>　　這里為市場的最大需求量，是價格系數(shù)（這個公式也反映出，售價越高，銷售量越少）.同時，生產(chǎn)部門對每臺電視機的成本有如下測算：</p><p>　　這里是只生產(chǎn)1臺電視機時的成本，是規(guī)模系數(shù)（這也反映出，產(chǎn)量越大即銷售量越大，成本越低）.于是，問題化為求利潤函數(shù) </p><p>　　在約束條件 下的極值問題.</p><p>　　作

53、Lagrange函數(shù) </p><p><b>　　就得到最優(yōu)化條件</b></p><p>　　由方程組中第二和第四式得到</p><p><b>　　，即</b></p><p>　　將第四式代入第五式得到 </p><p><b>　　再由第一式知 .&

54、lt;/b></p><p>　　將所得的這三個式子代入方程組中第三式，得到</p><p>　　由此解得最優(yōu)價格為 </p><p>　　只要確定了規(guī)模系數(shù)與價格系數(shù)，問題就迎刃而解了.</p><p>　　現(xiàn)在利用這個模型解決本段開始提出的問題.此時，.</p><p>　　由于去年該廠共售出10萬臺，每

55、臺售價為4000元，因此得到</p><p><b>　??；</b></p><p>　　又由于生產(chǎn)1萬臺時成本就降低為每臺3000元，因此得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　將這些數(shù)據(jù)代入的表達式，就得到今年的最優(yōu)價格應為</p><p>&l

56、t;b>　　（元/臺）.</b></p><p><b>　　6. 結(jié)束語</b></p><p>　　本文通過對多元函數(shù)條件極值的各種解法及應用的介紹，我們知道對于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，除了拉格朗日乘數(shù)法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學的方法，掌握好初等數(shù)學的方法求解多元函數(shù)條件極值有時候會更簡單，但其使用的過程中具有一定的技巧

57、性，也有一定的局限性,需要根據(jù)具體情況具體分析.拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.只有訓練掌握各種解法，才能在解極值問題時選擇最佳方法快速解題.當然，僅僅一個學期的論文設(shè)計，不足之處在所難免，如沒有對本文討論范圍以外的條件極值的解法與應用問題進行展開，在論文完稿之際，我特別要感謝陳麗華老師的細心指導，在我今后的學習、工作和生活方面，都要把老師的這種嚴格、一絲不茍

58、的精神貫徹始終，從而不辜負陳老師對我的悉數(shù)關(guān)懷和耐心指導！</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 唐軍強.用方向倒數(shù)法求解多元函數(shù)極值[J].科技創(chuàng)新導報，2008，（15）：246-247</p><p>　　[2] 汪元倫.兩類多元函數(shù)條件極值的簡捷求法[J].綿陽師范學院學報，2008，27（2）：1

59、4-15.</p><p>　　[3] 陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析.下冊/—2版[M].北京：高等教育出版社，2004.10</p><p>　　[4] 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法-北京：高等教育出版社，1993.5</p><p>　　[5] 王延源.條件極值的六種初等解法[J], 臨沂師專學報, 1999(12):21-24.</p>

60、<p>　　[6] 肖翔，許伯生.運用梯度法求條件極值[J]，上海工程技術(shù)大學教育研究，2006(1): 35-37</p><p>　　[7] 陳傳理，張同君．競賽數(shù)學教程(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，2004：147</p><p>　　[8] 法博齊．投資管理學[M].北京：經(jīng)濟科學出版社，1999</p><p>　　[9] 林德光.《多

61、元統(tǒng)計教程》[M].華南熱帶作枋學院印，1988</p><p>　　[10] 陳文燈.考研數(shù)學基礎(chǔ)核心講義/經(jīng)濟類[M].北京：北京理工大學出版社，2010.1 </p><p>　　The solution and application of multivariate</p><p>　　function conditional extreme</p&g

62、t;<p>　　【Abstract】The multivariate function conditional extreme value is an important part of the differential calculus. This article maninly analicys substitution method，Lagrange multiplier method, Substitution o

63、f standard quantum method,Inequality method, Quadratic equation discriminent method,Gradient method and Mathematical combination method in solving the multivariate function conditional extreme value. And discuss the appl