1、<p><b>　　重積分的計算方法</b></p><p>　　摘要：本文介紹了幾種重積分的計算方法，著重從累次積分的計算、變量代換等方法闡述二重積分的計算，同時介紹了一類特殊的二重積分的計算方法，并由二重積分的計算方法推廣到三重積分的計算。</p><p>　　關(guān)鍵詞：二重積分，三重積分，變量代換，對稱法</p><p>　　引言

2、：重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)（三元函數(shù)）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個人在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)多重積分這一塊時，感到多重積分的計算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應(yīng)用。通過在圖書館查閱資料、以及老師的指點(diǎn)，重積分的計算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好的應(yīng)用重積分，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗(yàn)，在這里系統(tǒng)介紹幾種常用的重積分計算方法，以及一些小技巧。著重

3、介紹累次積分的計算與變量代換。</p><p><b>　　二重積分的計算</b></p><p><b>　　常用方法</b></p><p><b>　　化累次積分計算法</b></p><p>　　對于常用方法我們先看一個例子（北京師范大學(xué)，2002年）</p>

4、;<p>　　計算二重積分，其中為區(qū)域</p><p>　　解：如圖1所示可分為</p><p><b>　　在內(nèi)，在內(nèi) </b></p><p>　　對于重積分的計算主要采用累次積分法，即把一個二重積分表達(dá)為一個二次積分，通過兩次定積分的計算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：</p><

5、;p>　　第一步：畫出積分區(qū)域的草圖；</p><p>　　第二步：按區(qū)域和被積函數(shù)的情況選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；</p><p>　　第三步：計算累次積分。</p><p>　　需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，累次積分要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計算的繁簡，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對一種次序可以“積出來”，而對另一種次序

6、卻“積不出來”。所以，適當(dāng)選擇積分次序是個很重要的工作。</p><p>　　選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡化計算過程；第一次積分的上、下限表達(dá)式要簡單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。</p><p>　　計算，是由 圍成的區(qū)域</p><p>　　解：先畫出區(qū)域的圖形，如圖2</p><p>　　先對后對積分，則

7、由知</p><p>　　如果先對后對積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時重積分“積不出來”。</p><p>　　更換積分次序的理論依據(jù)是什么呢？</p><p>　　對于給定一個二重積分，若分別把它化為積分次序不同的二次積分而得下列等式： ①</p><p><b>　　②</b></p>&

8、lt;p><b>　　則顯然有③</b></p><p>　　如果首先給出③式中的一個二次積分（例如左端），而此時又無法計算結(jié)果或比較麻煩，則我們可以寫出③式中的另一個二次積分（例如右端），這時重積分重要問題則轉(zhuǎn)化為更換積分次序問題。</p><p>　　例3．試更換的積分次序</p><p>　　解：把先對積分更換為先對積分</p

9、><p>　　由原累次積分的上、下限可得</p><p><b>　　，即</b></p><p>　　由的聯(lián)立雙邊不等式可畫出域的圖形，如圖3</p><p>　　再由圖形寫出先對的積分域的聯(lián)立雙邊不等式，為此，作平行于軸的箭頭穿區(qū)域，知先對后對積分必須將分為和，其中</p><p><b&g

10、t;　　，如圖4</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　對上面的例題可得更換積分次序的一般步驟為：</p><p>　?、?由原累次積分的上、下限列出表示積分域的聯(lián)立雙邊不等式，例如</p><p>　　ⅱ.根據(jù)上列聯(lián)立雙邊不等式畫出區(qū)域的圖形</p><p&

11、gt;　　ⅲ.按新的累次積分次序，列出與之相應(yīng)的區(qū)域的聯(lián)立雙邊不等式</p><p>　　ⅳ.按3中的不等式組寫出新的累次積分的表達(dá)式。</p><p>　　關(guān)于這方面的應(yīng)用我們再看一個例子。</p><p>　　例4．（華中理工大學(xué),2000年）設(shè)在上連續(xù)，證明</p><p>　　證：改變積分順序得：</p><p&g

12、t;<b>　　變量替換法</b></p><p>　　在計算定積分時，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當(dāng)?shù)乩脫Q元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。</p><p>　　在計算重積分時，求積的困難來自兩個方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在于積分區(qū)域的多樣性。而且，有時候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。為此，針對不同的區(qū)域要討

13、論重積分的各種不同算法。</p><p>　　例4．（湖北大學(xué)2002年，中南礦治學(xué)院）求，其中</p><p><b>　　解：令，即</b></p><p><b>　　則變成了</b></p><p>　　可以說變量替換法步驟如下：</p><p>　　若可微分的連續(xù)函

14、數(shù)把上的有限區(qū)域單值唯一地映射平面上的域及雅哥比式則下之公式正確</p><p>　　設(shè)廣義極坐標(biāo)變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則特別，當(dāng)時，公式變?yōu)椋骸獦O坐標(biāo)變換公式</p><p>　　計算二重積分時，要從被積函數(shù)和積分域兩個方面來考慮如何適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系，如能采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形

15、可以選用極坐標(biāo)系。關(guān)于這方面的應(yīng)用我們看下面的例子：</p><p>　　例5．將連續(xù)函數(shù)在兩圓和 之間的環(huán)形區(qū)域上之二重積分化為二次積分。</p><p>　　解：先畫出域的圖形，如圖5</p><p>　　若用直角坐標(biāo)，則需將分為四個區(qū)域：</p><p>　　如圖5所示，所以，在上的積分</p><p><

16、b>　　若用極坐標(biāo)，有</b></p><p>　　顯然，極坐標(biāo)系下運(yùn)算比較方便。</p><p><b>　　對稱法</b></p><p>　　對稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性簡化積分。</p><p>　　在做題時，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性，有時一看就知道積分為零，有時可使積分化簡。否則

17、的話，就會把時間花在無謂的計算上，有時不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無得”。</p><p>　　利用區(qū)域和被積函數(shù)對稱性簡化積分的方法可以總結(jié)為：</p><p>　　設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸上方部分為，下方為，當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則。當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則</p><p>　　設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸右邊的部分為,左邊的部分為，當(dāng)把中的看作

18、常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則；當(dāng)把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則</p><p>　　我們只對第一個結(jié)論的前一部分做個簡單的證明：</p><p>　　例6．計算重積分，其中為兩種形式：是由所構(gòu)成；是關(guān)于軸對稱的平面凸域，其邊界為和，如圖6</p><p>　　解：其中利用了當(dāng)時，，又</p><p><b>　　再看一個例子<

19、/b></p><p>　　例7．（武漢大學(xué)，1992年）計算下列積分（1），其中為常數(shù)，；（2），其中為直線與曲線圍成的有界區(qū)域。</p><p>　　解：（1）（2）由對稱性及被積函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù)</p><p><b>　　特例</b></p><p>　　當(dāng)積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含 的函數(shù)

20、和只含的函數(shù)相乘時二重積分可作兩個定積分相乘，即</p><p>　　根據(jù)這一性質(zhì)，其中這是一個比較特殊的例子，也是重積分與單積分的互換。</p><p>　　例8．（武漢大學(xué)，1995年）設(shè)在上連續(xù)，證明：，其中為以為頂點(diǎn)的三角區(qū)域。</p><p><b>　　證：如圖示</b></p><p><b>　

21、　令，即，則</b></p><p><b>　　變成</b></p><p>　　注意到二重積分的值與積分變量的記號無關(guān)，</p><p><b>　　三重積分</b></p><p>　　三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計算也是化為累次積分，適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換可使三

22、重積分容易計算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應(yīng)用對稱法計算，即一般地，若區(qū)域關(guān)于z平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對稱情況的三重積分。</p><p>　　計算三重積分的一般步驟為：</p><p><b>　　畫出空間域的草圖；</b></p><p>　　根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

23、和累次積分的次序，并將域用相應(yīng)的雙邊不等式組表示；</p><p>　　完成累次積分的計算。</p><p>　　這里，畫好圖形是計算的關(guān)鍵，因?yàn)榉e分變量變化的范圍就是從圖形上看出來的，于是也就順利地寫出了積分限。其中柱坐標(biāo)系中的定限化為平面直角坐標(biāo)系的定限，球坐標(biāo)中定限化為平面極坐標(biāo)系的定限。</p><p>　　可以說，三重積分的計算方法可由二重積分推廣過來，不

24、再累述。</p><p>　　我們有一般的，在不同坐標(biāo)中域的表達(dá)式和相應(yīng)的積分表達(dá)式引用下表示：</p><p>　　選擇在哪種坐標(biāo)系下計算三重積分，要以被積函數(shù)和積分域的情況這兩個方面全面考慮，若僅從積分域的角度考慮，三種坐標(biāo)系下的情況分別為：</p><p><b>　　結(jié)語</b></p><p>　　綜上所述，重

25、積分的計算的方法是有規(guī)律可循的?？傮w上，重積分的主要計算思路是先化重積分為累次積分，難點(diǎn)是積分區(qū)域的分塊、積分上下限的確定、積分次序的互換以及利用變量代換是重積分簡化。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]錢吉林等主編.《數(shù)學(xué)分析解題精粹》[M]，第2版，武漢：崇文書局，2003年8月：P486-P498，P508</p&g

26、t;<p>　　[2]丁家泰.《微積分解題方法（續(xù)）》[M]，北京：北京師范大學(xué)出版社，1985年12月第一版：P382</p><p>　　[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》[M]，高等教育出版社，2001年6月第3版</p><p>　　[4]郝涌、盧士堂主編.《考研數(shù)學(xué)精解》[M]，華中理工大學(xué)出版社，1999年3月第1版</p><p>

27、　　HEAVY TOTAL MARK COMPUTING TECHNOLOGY</p><p>　　Abstract：This text introduce several serious computing technology of total mark, explain dual calculation of integration from tired times of calculation, vari

28、able person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total