1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。ā?01 　屆）</b></p><p>　　換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p&g

2、t;<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文主要介紹了換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，根據(jù)換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用將其分類為積

3、分換元法；帶根式、帶無(wú)理式換元法；定積分換元法；二重積分、多重積分換元法；因式分解換元法；三角換元法；其他換元法。對(duì)各種換元法的類型分別進(jìn)行例題展示和總結(jié)，并強(qiáng)調(diào)了換元法使用時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題。</p><p>　　關(guān)鍵詞：換元法；等量代換；積分換元法</p><p>　　The Application of Method of Substitution in Mathematics Prob

4、lem-Solving </p><p>　　Abstract: In this paper, we mainly introduce the application of substitution method in mathematics solving. According to its application in mathematics problem-solving, substitution met

5、hod is classed as factoring decomposition method of substitution; trigonometric substitution; and other method of substitution. Then we give many examples to show and summarize all sorts of the type method of substitutio

6、n respectively, And we should pay much attention to some problem in substitution method.</p><p>　　Keywords: method of substitution; Equivalent substitution, integration by substitution 目錄</p><p>

7、;<b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 選題的背景1</p><p>　　1.2 選題的意義1</p><p>　　2 換元法的具體類型和分類3</p><p>　　2.1 積分換元法3</p><p>　　2.1.1 定積分換元法3</p>

8、;<p>　　2.1.2 不定積分換元法4</p><p>　　2.1.3 二重積分換元法及其推導(dǎo)方法5</p><p>　　2.2 三角函數(shù)換元7</p><p>　　2.3 帶無(wú)理式換元[7]8</p><p>　　2.4 帶根式換元法[8]9</p><p>　　2.5 因式分

9、解換元法[9]10</p><p>　　2.6 不等式、等式的證明[10，11]10</p><p>　　2.7 解方程中的換元法[12，13]12</p><p>　　2.8 其他解題中換元法的應(yīng)用13</p><p>　　3 數(shù)學(xué)解題中換元法的應(yīng)用總結(jié)和展望15</p><p><b>

10、　　致 謝16</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)17</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 選題的背景</p><p>　　從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)杠桿，也是解題常用的手段。數(shù)學(xué)史上這樣的例子很多，無(wú)論

11、是對(duì)一些具體問(wèn)題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法中，都無(wú)不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實(shí)也是這一思想的具體體現(xiàn)。所謂換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原式中的某些變量，使得原式中僅含有這些新變量，然后對(duì)新變量求出結(jié)果，通過(guò)回帶原式求出原變量的結(jié)果。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解。但當(dāng)我們進(jìn)行適當(dāng)

12、的變量代換，把問(wèn)題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。所以說(shuō)如果我們較好的掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個(gè)個(gè)問(wèn)題，提高我們的思維。</p><p>　　當(dāng)然，為了使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)換應(yīng)該是有效的。什么是有效的轉(zhuǎn)化?總的來(lái)說(shuō)，有利于問(wèn)題解決的轉(zhuǎn)化就是有效轉(zhuǎn)化。在具體問(wèn)題中，針對(duì)轉(zhuǎn)化的有效性，人們做了很多的探討。

13、以換元法為例，就有很多文章探討了換元法應(yīng)用中的技巧，如：袁肇邦的關(guān)于《定積分換元法定理》，葉宗菊的《三角換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例舉》以及葉忠國(guó)的《用換元法解無(wú)理方程》，王鳳英的《“換元法”在因式分解中的運(yùn)用》等都討論了換元法的一些技巧。這些問(wèn)題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣。分析各種換元形式的共同規(guī)律，可以大致歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無(wú)理遞推式的換元法以及換元法在其他方面

14、的應(yīng)用等。</p><p>　　1.2 選題的意義</p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無(wú)理遞推式等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，換元法是數(shù)學(xué)問(wèn)題求解特別是復(fù)雜繁瑣數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中常用的一種重要工具。</p><p>　　在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的過(guò)程中時(shí)，我們可能遇到式子比較繁瑣，或者次數(shù)較高等不易直接求解的問(wèn)題，比如：當(dāng)遇到代數(shù)式中式子較繁

15、瑣或解法比較復(fù)雜時(shí)，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡(jiǎn)潔的解法，把繁難的計(jì)算和推理簡(jiǎn)化。從而達(dá)到化難為易、化深為淺、化繁為簡(jiǎn)的目的。這就是簡(jiǎn)化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　當(dāng)遇到題中含有幾個(gè)變量或次數(shù)較高問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過(guò)程中，當(dāng)遇到已知條

16、件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有時(shí)甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時(shí)完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時(shí)就應(yīng)該考慮引進(jìn)中間元素，起到橋梁作用，把問(wèn)題解決。</p><p>　　一些沒(méi)有現(xiàn)成模式可用的數(shù)學(xué)命題，換元往往就是尋找解題思路的過(guò)程，恰當(dāng)?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。因而換元法是尋找解題突破口，叩開(kāi)解題之門(mén)的鑰匙。事實(shí)上，我們?cè)诮忸}時(shí)會(huì)遇到許多問(wèn)題隱

17、含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元，則可把隱含的問(wèn)題顯示出來(lái)，從而尋找到突破口。</p><p>　　我們?cè)谑褂脫Q元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要是新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大、</p><p>　　2 換元法的具體類型和分類</p><p>　　2.1 積分換元法</p>

18、<p>　　2.1.1 定積分換元法</p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p><p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則

19、 .</b></p><p>　　例2.1 用代換,求積分.</p><p>　　解函數(shù)在定義域連續(xù)，故有</p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上，可積，則 .</p><p>　　推論1 若在上可積，則 .</p><p><b>　　推論2 .</b></p

20、><p>　　例2.2 計(jì)算 .</p><p>　　解 利用推論1，，可得到 .</p><p>　　定理3[2] 設(shè)在上可積，則對(duì)任意的和有.</p><p>　　推論3 在上可積，則 .</p><p>　　例2.3 計(jì)算 .</p><p>　　解 利用定理3，知 .</p&

21、gt;<p><b>　　例2.4 計(jì)算.</b></p><p><b>　　解 由公式，得.</b></p><p>　　例 2.5 計(jì)算 .</p><p><b>　　解 利用公式，得 </b></p><p><b>　　.</b>

22、</p><p>　　2.1.2 不定積分換元法</p><p>　　不定積分中的許多問(wèn)題都可以利用換元法解決，通過(guò)換元，可使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。</p><p>　　例2.6 求 .</p><p>　　解 令，則有 ，故可得 </p><p><b>　　.</b><

23、;/p><p>　　定理3[3] (第一換元法)設(shè)的原函數(shù)為,可導(dǎo)，則有換元公式： .</p><p><b>　　例2.7 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理4[4] （第二類換元積分法）設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p

24、><p><b>　　例 2.8 求</b></p><p><b>　　解 令，則于 .</b></p><p>　　2.1.3 二重積分換元法及其推導(dǎo)方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎(chǔ), 推導(dǎo)二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1

25、) 在直角坐標(biāo)系中化二重積分為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個(gè)新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個(gè)舊變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個(gè)新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個(gè)新變量的二次積分變回到二重積分。</p

26、><p>　　定理5[5] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對(duì)一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對(duì)與存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有，則 .</p><p>　　例2.9 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。</p><p>　　解 作代換：即：，則由拋物線和直線圍成。所以, .</p><p>　　例2.10 計(jì)算二重積分，其中區(qū)

27、域是：</p><p>　　解 作極坐標(biāo)代換： ，則該變換把變化為，而由直線及直線圍成。所以，故 </p><p>　　例 2.11 計(jì)算，其中 </p><p><b>　　解 因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　令，則</b></p><p><b&g

28、t;　　再求出</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　對(duì)三類積分換元法按題型歸類，以講解解題思路與舉例題相結(jié)合的思維方式敘述，歸納總結(jié)具有共性題目的解題規(guī)律和解題方法，對(duì)換元積分法在不定積分與定積分中的應(yīng)用加以對(duì)比。</p><p>　　2.2 三角函數(shù)換元</p><p>　

29、　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進(jìn)一個(gè)或多個(gè)三角函數(shù)來(lái)代替題中表達(dá)式中的某些字母或代數(shù)式，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學(xué)中常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來(lái)替代表達(dá)式中的某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元法通過(guò)引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使超越式化為有理式、高

30、次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的目的。[6]</p><p>　　例2.12 求的最大值 。</p><p><b>　　解 設(shè)，</b></p><p><b>　　則，其中</b></p><p>　　故觀察可知，當(dāng)即時(shí)，.</p>&l

31、t;p>　　例2.13 求的值域。</p><p>　　解 由，得，所以.令，則故當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，；而當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，.</p><p>　　例 2.14 求函數(shù)的最值。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　令，則</b></p><p>

32、;　　有函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　2.3 帶無(wú)理式換元[7]</p><p>　　對(duì)于無(wú)理遞推式數(shù)列這類問(wèn)題，其焦點(diǎn)都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項(xiàng). 處理這類問(wèn)題的一種重要方法就是換元法. 通過(guò)換元可以化無(wú)理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對(duì)數(shù)換元、多次換元來(lái)解決這類問(wèn)題。</p><p>　　例2.1

33、5 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。</p><p>　　解 因?yàn)?，所?對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)得。設(shè)則。即。恒等變形得 即.由,得.從而，.故.又因?yàn)?所以,，從而.</p><p>　　例2.16 設(shè)，求。</p><p>　　解 ：將原遞推式兩邊平方得，</p><p><b>　　設(shè)，則。所以</b></p>

34、<p>　　令.則.故.從而，.兩邊取常對(duì)數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進(jìn)而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因?yàn)樗?</p><p>　　例 2.17 求解。</p><p><b>　　解 設(shè)</b></p><p><b>　　所以，解得。</b></p><p&

35、gt;<b>　　由，即，解得</b></p><p>　　而時(shí)，，故是原方程的解。</p><p>　　2.4 帶根式換元法[8]</p><p>　　運(yùn)用換元法解決有關(guān)帶根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇好基本元，注意基本元與化簡(jiǎn)式中的根式和數(shù)之間關(guān)系，在通過(guò)利用因式分解、乘法公式及方程思想等途徑進(jìn)行變形，使根式中較隱秘的特征規(guī)律凸顯出來(lái)。

36、</p><p>　　例2.18 化簡(jiǎn)：。</p><p><b>　　解 令 </b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.19 化簡(jiǎn) 。</p><p>&

37、lt;b>　　解 設(shè)則</b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　2.5 因式分解換元法[9]</p><p>　　任何一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，總是由若干個(gè)相互關(guān)聯(lián)的簡(jiǎn)單成份構(gòu)成的。換元法便以轉(zhuǎn)化的思想為基礎(chǔ)，通過(guò)更換變量，達(dá)到把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的一種常用方法。</p>

38、<p>　　例2.20 把分解因式。</p><p><b>　　解 設(shè)則</b></p><p><b>　　原式.</b></p><p>　　例2.21 分解因式。</p><p><b>　　解 令則 .</b></p><p>

39、;　　例2.22分解因式。</p><p>　　解 令，進(jìn)行代換得到，</p><p><b>　　原式.</b></p><p>　　恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行換元，設(shè)出輔助未知數(shù)，常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜淖饔?。因式分解中的換元法。</p><p>　　2.6 不等式、等式的證明[10，11]</p><p>

40、　　換元法是證明積分等式的最常用方法。其基本思路是:利用定積分與積分變量無(wú)關(guān)的性質(zhì),利用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達(dá)式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量

41、替換將含參變量的積分進(jìn)行變形處理。</p><p>　　例2.23 設(shè)連續(xù)，證明。</p><p><b>　　證 令，則有.</b></p><p>　　換元法在證明不等式時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行合理的代換，可以使式子關(guān)系更清楚，還可以改變待證式的結(jié)構(gòu)特征，為綜合運(yùn)用其它方法和有關(guān)知識(shí)創(chuàng)造條件。因此，常能起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用。</

42、p><p>　　例2.24 已知且求證：分式的值不可能在和之間。</p><p>　　證 設(shè)，去分母，整理得關(guān)于的二次方程即得。當(dāng)時(shí)，有或；當(dāng)時(shí)，有或。即的值不可能在和之間。</p><p>　　例2.25 設(shè)為正數(shù)，且，試證：.</p><p>　　證 作倒數(shù)代換，則且。設(shè)原式的左邊為，。則有 .</p><p>

43、　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，故得證。</p><p>　　不等式的證明有三難，證明入口難、條件使用難、變形方向難。如果用換元法，引進(jìn)恰當(dāng)?shù)男略?，可以將題目中的分散條件聯(lián)系起來(lái)，或者把隱含的條件顯示出來(lái)，或變形為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決。</p><p>　　2.7 解方程中的換元法[12，13]</p><p>　　對(duì)于一般的方程常用常規(guī)方法進(jìn)行求解，而對(duì)于一些特殊的

44、代數(shù)方程用常規(guī)方法往往難以奏效，若能針對(duì)方程的特點(diǎn)，巧妙地運(yùn)用換元法，往往能達(dá)到事半功倍的效果。</p><p>　　例2.26 設(shè)是對(duì)除以外的一切實(shí)數(shù)有定義的實(shí)值函數(shù)，且，求。</p><p>　　解 令代入原函數(shù)方程，得 ，令代入原函數(shù)方程，得，分別把以上兩式中的、換成，得，消去和，得到：。</p><p>　　例2.27 解函數(shù)方程。</p>

45、<p>　　解 已知函數(shù)方程中出現(xiàn)兩個(gè)獨(dú)立變量，不妨設(shè)其中一個(gè)變量為常量。</p><p><b>　　令，則原方程化為</b></p><p><b>　　再令代入上式，得</b></p><p><b>　　再令代入上式，得</b></p><p><b&

46、gt;　　聯(lián)立三個(gè)方程得，</b></p><p>　　令，可得到，為常數(shù)。</p><p>　　例2.28 求方程的通解。</p><p>　　解 令，則原方程的參數(shù)形式為</p><p><b>　?。?）由此得</b></p><p><b>　　或</b>

47、;</p><p>　　由，得代入（1）式，得原方程的一個(gè)特解。再由，解得，代入（1）的第三式，得原方程的通解</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.8 其他解題中換元法的應(yīng)用</p><p>　　當(dāng)題目中的未知數(shù)具有對(duì)稱關(guān)系時(shí)應(yīng)用基本對(duì)稱式進(jìn)行代換，可使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。[14]</p&g

48、t;<p>　　例2.29 設(shè)，則的值是多少？</p><p>　　解 取倒數(shù)，。設(shè)，則，，所以。</p><p>　　解數(shù)學(xué)題時(shí)，遇到形如的條件，可設(shè)，從而有效地解決許多類型的題，這就是均值換元法。[15]</p><p><b>　　例2.30 若求。</b></p><p>　　解 設(shè)，，即，解得于

49、是有</p><p>　　對(duì)于某些函數(shù)利用換元法探討其單調(diào)性，簡(jiǎn)潔合理，可以快速判斷出結(jié)果。</p><p>　　例2.31 已知函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)的增減區(qū)間。</p><p>　　解 根據(jù)函數(shù)式結(jié)構(gòu)，可設(shè)，則。</p><p>　　當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；</p><p>　　當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。</p>

50、<p>　　利用整體思想解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，常常使繁瑣的問(wèn)題得到靈活的解決，同時(shí)提高學(xué)生解題的靈活性和變通性。[16]</p><p>　　例2.32 求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)。</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　（2）的實(shí)部和虛部都是整數(shù)</p><p>　　解 設(shè)，得到①，由

51、（1）知，所以方程①的判別式，由求根公式得，由（2）可知，的實(shí)部是整數(shù)，只能是中取值。再結(jié)合的虛部也是整數(shù)，故只能取和。所以滿足（1）、（2）的全體復(fù)數(shù)是。</p><p>　　換元法在數(shù)學(xué)計(jì)算中的有著舉足輕重的作用，解題時(shí)，當(dāng)遇到解法較繁瑣時(shí)，如果能通過(guò)式子的特征挖掘并發(fā)揮換元的因素，則往往能產(chǎn)生更為簡(jiǎn)便的解法。</p><p>　　換元法不僅在本文以上分類中有涉及，而是深入到了數(shù)學(xué)乃至

52、科學(xué)中的各個(gè)學(xué)科中，靈活的應(yīng)用換元法不但可以簡(jiǎn)化過(guò)程，更能夠使解題思路清晰易懂。</p><p>　　3 數(shù)學(xué)解題中換元法的應(yīng)用總結(jié)和展望</p><p>　　不論在自然科學(xué)領(lǐng)域,還是社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域,都存在著大量問(wèn)題需要人們解決.解決問(wèn)題的方法很多.通過(guò)合理假設(shè),抓住問(wèn)題的主要矛盾,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)化,從而可利用數(shù)學(xué)方法解決.數(shù)學(xué)問(wèn)題自身也不例外,換元法是數(shù)學(xué)解題中常用的方法之一，其基

53、本思想是通過(guò)變量代換,化繁為簡(jiǎn),化難為易,實(shí)現(xiàn)從未知向已知的轉(zhuǎn)化,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 所謂換元是指引入一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原式中的某些量,使得原式中僅含有這些新變量,然后對(duì)新變量求出結(jié)果,通過(guò)回代求出原變量的結(jié)果. 換元法通過(guò)引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的目的。換元思想不論在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及數(shù)學(xué)其它領(lǐng)域都有著廣泛

54、的應(yīng)用。</p><p>　　但是換元法的應(yīng)用是比較靈活的，不是一眼就可以看出可不可以使用換元以及如何使用換元，對(duì)于一些較難的題目,我們還應(yīng)當(dāng)通過(guò)認(rèn)真觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問(wèn)題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜測(cè)等手段進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元 ,并綜合運(yùn)用各方面的知識(shí)給予解決。</p><p>　　在這篇論文中我們首先詳細(xì)給出了換元法的基本思想，換元法發(fā)展的背景和研究的重要意義，然后通過(guò)大量的數(shù)

55、學(xué)問(wèn)題的求解重點(diǎn)刻畫(huà)了換元法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各方面的一些應(yīng)用，具體包括在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中常用的無(wú)理式換元，帶根式換元，因式分解換元，三角函數(shù)換元，中學(xué)的方程求解以及不等式或者等式的證明中的換元，高等數(shù)學(xué)解題中常用的積分換元等如：定積分和重積分求解中的積分第一換元法，第二換元法以及積分等式的證明等，以及常微分方程求解中的換元等。</p><p>　　換元法這一解題方法不僅是在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的解題中是一種有效的方法，我

56、們還可以應(yīng)用它到線性代數(shù)的求解中、常微分方程的簡(jiǎn)化、多重積分的換元方法等等?？傊畬W(xué)會(huì)運(yùn)用換元法和靈活運(yùn)用換元法不但可以快速方便的求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 袁肇邦.關(guān)于《定積分換元法定

57、理》[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào).1992,(3):35-37.</p><p>　　[2] 李開(kāi)丁.定積分的二種換元法及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究.1999,12(4):15-18.</p><p>　　[3] 崔瑋.淺談高等數(shù)學(xué)中不定積分的求法[J].科技信息.2010,11,(11):518.</p><p>　　[4] 文偉.對(duì)不定積分換元法的再認(rèn)識(shí)[J].齊齊

58、哈爾師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2007,(4):126-128.</p><p>　　[5] 向長(zhǎng)福.“二重積分換元法”的教學(xué)研究[J].科技信息.2010,11,(11):536-937.</p><p>　　[6] 葉宗菊.三角換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例舉[J].科學(xué)咨詢(教育科研).2009,04,(8):64.</p><p>　　[7] 葉忠國(guó).用換元法解無(wú)理

59、方程[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2010,07,(4):29-30.</p><p>　　[8] 周福海.用換元法化簡(jiǎn)二次根式[J].解題方法.2007:13-15.</p><p>　　[9] 王鳳英.“換元法”在因式分解中的運(yùn)用[J].理科教學(xué)研究.2001,(4).54.</p><p>　　[10] 李源等.證明定積分等式的幾種方法[J].大學(xué)教學(xué).201

60、0,06,(3):23-25.</p><p>　　[11] 邱洪文.換元法證明不等式[J].數(shù)學(xué)通訊.2005,(18):12-13.</p><p>　　[12] 劉頓.換元法解分式方程[J].重點(diǎn)難點(diǎn)透視.2010,(7):9.</p><p>　　[13] 丁鈞.巧用換元法解函數(shù)方程[J].實(shí)用技巧.2010,4,(2):80.</p><

61、;p>　　[14] 余其貴.均值換元法在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào).2007,(7):22-24.</p><p>　　[15] 于志洪.對(duì)稱換元法在分式求值中的妙用[J].山西教育.2004,08,(15):25.</p><p>　　[16] 趙麗莎.利用整體思想解決復(fù)數(shù)問(wèn)題[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊.2007,(02):96.</p><p>　　[17]

62、 Richard Courant Fritz John.Introduction to Calculus and Analysis I [M].北京：世界圖書(shū)出版公司.1991.</p><p>　　[18] Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis II [M].北京：世界圖書(shū)出版公司.2003.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述&

63、lt;/b></p><p>　　換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實(shí)質(zhì)性的邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解。但當(dāng)我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問(wèn)題的條件和結(jié)論作

64、形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個(gè)個(gè)問(wèn)題，提高我們的思維。</p><p>　　數(shù)學(xué)中這樣的例子有很多，無(wú)論是對(duì)一些具體問(wèn)題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法中，都無(wú)不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實(shí)也就是這一思想的具體體現(xiàn)。</p><p>　　解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)

65、式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這種方法叫做換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。尤其是在積分中應(yīng)用很是廣泛。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元

66、，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。</p><p>　　為了使復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決，利用換元法應(yīng)進(jìn)行有效替換。在具體問(wèn)題中，針對(duì)替換的有效性，人們做了很多的探討。有很多文章探討了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的換元技巧，例如積分中的換元技巧、三角換元、無(wú)理遞推式換元技巧等等。每一類問(wèn)題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣

67、。分析各種換元形式的共同規(guī)律，可以撿起歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無(wú)理遞推式的換元法和換元法在其他方面的應(yīng)用。</p><p>　　當(dāng)遇到題中含有幾個(gè)變量或次數(shù)較高問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過(guò)程中，當(dāng)遇到已知條件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有

68、時(shí)甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時(shí)完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時(shí)就應(yīng)該考慮引進(jìn)中介元素，起到橋梁作用，把問(wèn)題解決。</p><p>　　一些無(wú)現(xiàn)成模式可用的數(shù)學(xué)命題，換元往往就是尋找解題思路的過(guò)程，恰當(dāng)?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。許多問(wèn)題隱含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元，則可把隱含的問(wèn)題顯示出來(lái)。因而換元法是尋找解題突破口，叩開(kāi)解題之門(mén)的鑰匙。</p>

69、;<p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于引進(jìn)輔助未知元素解題的方法我們稱為換元法。又稱變量代換法或輔助元素法。解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接解決原問(wèn)題有困難，或原問(wèn)題不易下手，或由原問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí)，往往需要引入一個(gè)或若干個(gè)“新元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使以“新元”為基礎(chǔ)的問(wèn)題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復(fù)為原來(lái)的元，即可得原問(wèn)

70、題的結(jié)果。</p><p>　　換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題目的。</p><p>　　在解數(shù)學(xué)題時(shí), 把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化, 關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換, 目的是

71、變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,把分散的條件聯(lián)系起來(lái),隱含的條件顯露出來(lái),或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái),從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、陌生問(wèn)題熟悉化.通過(guò)引進(jìn)新的變量(輔助元素) ,可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式, 在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。</p><p><b>　　1．定積分換元法</b>&

72、lt;/p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p><p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則</b></p><p

73、><b>　　例 用代換求積分</b></p><p>　　解 在定義域上連續(xù)；當(dāng)時(shí)；時(shí)，</p><p><b>　　其中是任意整數(shù)，又</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上可積，則</p>&l

74、t;p>　　推論1 若在上可積，則</p><p><b>　　推論2 </b></p><p><b>　　例 計(jì)算 </b></p><p>　　解 利用推論1，，故</p><p>　　定理3[2] 設(shè)在上可積，則對(duì)任意的和有.</p><p>　　推論3 在上可

75、積，則</p><p><b>　　例 計(jì)算</b></p><p><b>　　解 利用定理3知，</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　公式1[3] 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)在上變化時(shí)，函數(shù)的值在上變化，并且，則

76、 .</p><p><b>　　2．證明定積分等式</b></p><p>　　換元法是證明積分等式的最常用方法,其基本思路是:利用定積分與積分變量無(wú)關(guān)的性質(zhì),利用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端

77、為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達(dá)式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量替換將含參變量的積分變形處理。</p><p><b>　　例 設(shè)連續(xù)，證明</b></p><p><b>　　證 令，則有.</b></p&

78、gt;<p><b>　　3．不定積分換元法</b></p><p>　　定理3[5] (第一換元法)設(shè)的原函數(shù)為,可導(dǎo)，則有換元公式：</p><p><b>　　例</b></p><p>　　定理4[5] （第二類換元積分法）設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p>

79、<p><b>　　例 求</b></p><p><b>　　解 令，則，于是</b></p><p>　　4．二重積分換元法及其推導(dǎo)方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎(chǔ), 推導(dǎo)二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1) 在直角坐標(biāo)系中化二重積分

80、為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個(gè)新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個(gè)舊變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個(gè)新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個(gè)新變量的二次積分變回到二重積分。</p><p>

81、;　　定理5[6] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對(duì)一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對(duì)與存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有，則 </p><p>　　例 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。</p><p>　　解 作代換： 即：，則由拋物線和直線圍成。所以 </p><p><b>　　5． 三角

82、函數(shù)換元</b></p><p>　　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進(jìn)一個(gè)或多個(gè)三角函數(shù)來(lái)代替題中表達(dá)式中的某些字母或代數(shù)式，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學(xué)中常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來(lái)替代表達(dá)式中的某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)

83、果。換元法通過(guò)引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的目的。</p><p><b>　　例 求的值域。</b></p><p>　　解 由，得，所以.令，則故當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，；而當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，.</p><p>　　6.無(wú)理遞推數(shù)列換元</p>

84、;<p>　　無(wú)理遞推式數(shù)列問(wèn)題這類問(wèn)題的焦點(diǎn)都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項(xiàng). 處理這類問(wèn)題的一種重要方法就是換元法. 通過(guò)換元,可以化無(wú)理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對(duì)數(shù)換元、多次換元來(lái)解決這類問(wèn)題。</p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。</p><p>　　解 因?yàn)?，所?對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)得。設(shè)則。即。恒等變形得即.

85、由,得.從而，.故.又因?yàn)?所以,.令.則.故.從而，.兩邊取常對(duì)數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進(jìn)而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因?yàn)樗?</p><p>　　通過(guò)以上所有例子可以看出，數(shù)學(xué)計(jì)算中,換元法的確有著極其重要的作用。學(xué)會(huì)運(yùn)用換元法,不但可以溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系,還可以擴(kuò)大視野,培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力。 </p><p><b>　　三、總結(jié)部

86、分</b></p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無(wú)理遞推式等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，換元法是解決復(fù)雜繁瑣數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。</p><p>　　解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)遇到代數(shù)中式子較煩或解法比較復(fù)雜時(shí)，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡(jiǎn)潔的解法，把繁難的計(jì)算和推理簡(jiǎn)化。從而達(dá)到化難為易、化深為淺、化繁為簡(jiǎn)的目的。

87、這就是簡(jiǎn)化解題方案，尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題目的。</p><p>　　利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問(wèn)題簡(jiǎn)化。</p

88、><p>　　即把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。</p><p>　　換元法的一般步驟是：</p><p>　?、僭O(shè)元（或構(gòu)造元） ②求解 ③回代 ④檢驗(yàn)</p><p>　　轉(zhuǎn)化 等量代換 等價(jià)原則</p&g

89、t;<p>　　對(duì)于一些較復(fù)雜的題目,我們還應(yīng)當(dāng)通過(guò)認(rèn)真觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征 ,深入分析問(wèn)題的隱含條件 ,采用類比、聯(lián)想猜測(cè)等手段進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元 ,并綜合運(yùn)用各方面的知識(shí)給予解決。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 袁肇邦.關(guān)于《定積分換元法定理》[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào).1992，(3):35-37.</

90、p><p>　　[2] 李開(kāi)丁.定積分的二種換元法及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究.1999，12(4)：15-18.</p><p>　　[3] 童宏勝.定積分換元公式的幾個(gè)推論及應(yīng)用[J].河南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào).2006,04,(4)：58-60.</p><p>　　[4] 李源.證明定積分等式的幾種方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2010,03,(3)：23

91、-25.</p><p>　　[5] 崔瑋.淺談高等數(shù)學(xué)中不定積分的求法[J].科技信息.2010,11,(11)：518.</p><p>　　[6] 向長(zhǎng)福.“二重積分換元法”的教學(xué)研究[J].科技信息.2010,11,(11)：536-937.</p><p>　　[7] 梅銀珍.二重積分換元公式的一種簡(jiǎn)便推導(dǎo)方法[J].華北工學(xué)院學(xué)報(bào).2004,03,(3)

92、：166-168.</p><p>　　[8] 武增明.用三角換元法求無(wú)理函數(shù)最值問(wèn)題的思維視角[J].云南教育(中學(xué)教師).2007,10,(1)：27.</p><p>　　[9] 葉宗菊.三角換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例舉[J].科學(xué)咨詢(教育科研).2009,04,(8)：64.</p><p>　　[10] 魯和平.求含無(wú)理遞推是數(shù)列通項(xiàng)的換元技巧[J].中

93、等數(shù)學(xué).2007,12,(12)：13-15.</p><p>　　[11] 安芝霞.定積分換元法中如何定限[J].新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào)(漢文綜合版).1995.(1):52-55.</p><p>　　[12] 周大光.關(guān)于定積分換元法的使用[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào).1993,(4)：30-31.</p><p>　　[13]魏寶榮.重視換元法教學(xué)強(qiáng)化求簡(jiǎn)意識(shí)[J].杭州

94、師范學(xué)院報(bào)(自然科學(xué)版).1997,(3).</p><p>　　[14]李迪淼.換元法及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊.2007，（6）：8-9.</p><p>　　[15]歐陽(yáng)光中等.數(shù)學(xué)分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社.2007，04.</p><p>　　[16]Richard Courant Fritz John-Introduction to Cal

95、culus and Analysis I [M].世界圖書(shū)出版公司.1991.</p><p>　　[17]Vladimir A.Zorich-Mathematical Analysis II [M].世界圖書(shū)出版公司.2003.</p><p><b>　　開(kāi)題報(bào)告</b></p><p>　　換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用</p>

96、<p>　　一 選題的背景、意義</p><p>　　1.1 選題的背景[1]</p><p>　　從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)杠桿，也是集體常用的手段。數(shù)學(xué)史上這樣的例子很多，無(wú)論是對(duì)一些具體問(wèn)題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法中，都無(wú)不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實(shí)也是這一思想的具體體現(xiàn)。由于條件與結(jié)論中的變量關(guān)系在形式上的隱蔽，它們之間實(shí)質(zhì)性的

97、邏輯聯(lián)系不易從表面形式上發(fā)現(xiàn)，即使看出它們之間的聯(lián)系，也由于表面形式的復(fù)雜而不易直接求解。但當(dāng)我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把問(wèn)題的條件和結(jié)論作形式上的轉(zhuǎn)換，這樣就容易揭示出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。掌握了換元思想，不但可以比較順利地解決一些較難的題目，還可以用多種方法解答同一個(gè)個(gè)問(wèn)題，提高我們的思維。</p><p>　　當(dāng)然，為了使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)換應(yīng)該是有效的。什么是有效的轉(zhuǎn)化？總的來(lái)說(shuō)，

98、有利于問(wèn)題解決的轉(zhuǎn)化就是有效轉(zhuǎn)化。在具體問(wèn)題中，針對(duì)轉(zhuǎn)化的有效性，人們做了很多的探討。以換元法為例，就有很多文章探討了解方程中的換元技巧，積分中的換元技巧等等。每一類問(wèn)題又由于其具體形式的不同，換元的形式也多種多樣。分析各種還原形式的共同規(guī)律，可以撿起歸納為以下幾類：定積分換元法、不定積分換元法、三角換元、二重積分換元法、含無(wú)理遞推式的換元法和換元法在其他方面的應(yīng)用。</p><p>　　1.2 選題的意義[2

99、]</p><p>　　換元法在解決定積分、不定積分、三角函數(shù)、二重積分、含無(wú)理遞推式等數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，換元法是解決復(fù)雜繁瑣數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。</p><p>　　解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)遇到代數(shù)中式子較煩或解法比較復(fù)雜時(shí)，如果能從式子的特殊性中挖掘并發(fā)揮換元的因素，這樣往往能夠產(chǎn)生更為簡(jiǎn)潔的解法，把繁難的計(jì)算和推理簡(jiǎn)化。從而達(dá)到化難為易、化深為淺、化繁為簡(jiǎn)的目的。這就是簡(jiǎn)化解題方案，

100、尋求最佳解題法的有效方法。</p><p>　　當(dāng)遇到題中含有幾個(gè)變量或次數(shù)較高問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮用換元法，能否消去某些變量或降低變量次數(shù)，起到減元降次的作用。</p><p>　　解題過(guò)程中，當(dāng)遇到已知條件多而分散或者已知條件和結(jié)論之間似乎缺少必然的聯(lián)系，有時(shí)甚至好像隔著一條難以逾越的鴻溝，這時(shí)完成解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。此時(shí)就應(yīng)該考慮引進(jìn)中介元素，起到橋梁作用，把問(wèn)題解決。

101、</p><p>　　一些無(wú)現(xiàn)成模式可用的數(shù)學(xué)命題，換元往往就是尋找解題思路的過(guò)程，恰當(dāng)?shù)膿Q元，可為解題提供新的信息和依據(jù)，解題思路也就伴隨而生。因而換元法是尋找解題突破口，叩開(kāi)解題之門(mén)的鑰匙。</p><p>　　許多問(wèn)題隱含在深處，不易被發(fā)現(xiàn)，若能恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元，則可把隱含的問(wèn)題顯示出來(lái)</p><p>　　二 研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p&g

102、t;<p>　　2.1換元法的一些基本概念</p><p>　　在數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于引進(jìn)輔助未知元素解題的方法我們稱為換元法。</p><p>　　解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接解決原問(wèn)題有困難，或原問(wèn)題不易下手，或由原問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí)，往往需要引入一個(gè)或若干個(gè)“新元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使以“新元”為基礎(chǔ)的問(wèn)題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復(fù)為原來(lái)的元，即可得原問(wèn)題的

103、結(jié)果。換元法又稱變量代換法或輔助元素法。</p><p><b>　　2.2換元的實(shí)質(zhì)</b></p><p>　　換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題目的。</p><p>　　2.3換元法在解題

104、中的應(yīng)用</p><p>　　在解數(shù)學(xué)題時(shí), 把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化, 關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換, 目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,把分散的條件聯(lián)系起來(lái),隱含的條件顯露出來(lái),或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái),從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、陌生問(wèn)題熟悉化.通過(guò)引進(jìn)新的變量(輔助元素) ,可以化高次為低次、化分式為整式

105、、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式, 在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　2.3.1定積分換元法</p><p>　　定理1[1] 若函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：</p><p>　　(i) 在上連續(xù)且;</p><p><b>　　(ii)；</b></p&g

106、t;<p>　　(iii)在上連續(xù)。</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　例 用代換求積分</b></p><p>　　解 在定義域上連續(xù)；當(dāng)時(shí)；時(shí)，其中是任意整數(shù)，又故</p><p>　　定理2[2] 若在閉區(qū)間上，可積，則</p>

107、<p>　　推論1 若在上可積，則</p><p><b>　　推論2 </b></p><p><b>　　例 計(jì)算 </b></p><p>　　解 利用推論1，，故</p><p>　　定理3[2] 設(shè)在上可積，則對(duì)任意的和有.</p><p>　　推論3 在

108、上可積，則</p><p><b>　　例 計(jì)算</b></p><p>　　解 利用定理3知， ,</p><p>　　公式1[3] 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)在上變化時(shí)，函數(shù)的值在上變化，并且，則</p><p>　　2.3.2 證明定積分等式</p><p>　　換元法

109、是換元法是證明積分等式的最常用方法,其基本思路是:利用定積分與積分變量無(wú)關(guān)的性質(zhì),利用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q將積分等式的一端向另一端轉(zhuǎn)化。常用的換元思路如下:</p><p>　　若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為，而另一端為，則可作代換；</p><p>　　若等式兩端的被積表達(dá)式相同，則代換依據(jù)等式兩端的積分限；</p><p>　　含參變量的積分等式通常需要利用變量替

110、換將含參變量的積分變形處理。</p><p><b>　　例 設(shè)連續(xù)，證明</b></p><p><b>　　證 令，則有</b></p><p>　　2.3.3 不定積分換元法</p><p>　　定理3[5] (第一換元法)設(shè)的原函數(shù)為,可導(dǎo)，則有換元公式：</p><p

111、><b>　　例</b></p><p>　　定理4[5] （第二類換元積分法）設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。</p><p><b>　　例 求</b></p><p><b>　　解 令，則，于是</b></p><p>　　2.3.4

112、二重積分換元法及其推導(dǎo)方法</p><p>　　以定積分的換元法為基礎(chǔ), 推導(dǎo)二重積分的換元積分公式, 它的一般步驟是:</p><p>　　1) 在直角坐標(biāo)系中化二重積分為二次積分;</p><p>　　2) 將二次積分的內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成一個(gè)新的積分變量;</p><p>　　3) 改變二次積分的順序, 使另一個(gè)舊

113、變量的積分居于內(nèi)層, 再將此內(nèi)層積分利用定積分換元法把舊的積分變量換成另一個(gè)新的變量;</p><p>　　4) 把關(guān)于兩個(gè)新變量的二次積分變回到二重積分</p><p>　　定理5[6] 若函數(shù)在有界閉區(qū)間連續(xù)，函數(shù)組(1)：，將平面的區(qū)域一對(duì)一地變換為平面上的區(qū)域，且函數(shù)組(1)在上對(duì)與存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有，則</p><p>　　例 求曲線與所圍成的區(qū)域的面積。

114、</p><p>　　解 作代換：即：，則由拋物線和直線圍成。所以,</p><p>　　2.3.5 三角函數(shù)換元</p><p>　　三角換元法是指根據(jù)題中已知條件，引進(jìn)一個(gè)或多個(gè)三角函數(shù)來(lái)代替題中表達(dá)式中的某些字母或代數(shù)式，把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，在利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去解決。</p><p>　　三角換元法是數(shù)學(xué)中

115、常用的思想，它是根據(jù)待求解式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來(lái)替代表達(dá)式中的某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元法通過(guò)引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的目的。</p><p><b>　　例 求的值域。</b></p><p>　　解 由，

116、得，所以.令，則故當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，；而當(dāng)（這時(shí)）時(shí)，</p><p>　　2.3.6 無(wú)理遞推數(shù)列換元</p><p>　　無(wú)理遞推式數(shù)列問(wèn)題這類問(wèn)題的焦點(diǎn)都可以歸結(jié)到求數(shù)列的通項(xiàng). 處理這類問(wèn)題的一種重要方法就是換元法. 通過(guò)換元,可以化無(wú)理遞推式為有理遞推式,從而建立新型的遞推關(guān)系. 我們可以利用整體換元、三角換元、對(duì)數(shù)換元、多次換元來(lái)解決這類問(wèn)題。</p><p&g

117、t;　　例 已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。</p><p>　　解 因?yàn)?，所?對(duì)兩邊取常用對(duì)數(shù)得。設(shè)則。即。恒等變形得即.由,得.從而，.故.又因?yàn)?所以,.令.則.故.從而，.兩邊取常對(duì)數(shù)得.令,則.故,即.從而，.由,知,進(jìn)而.于是，,即.因此，,即.從而,即.故,即,因?yàn)樗?</p><p>　　三 研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p&g

118、t;　　3.1 研究方法與技術(shù)路線</p><p>　　主要是以查閱資料,以現(xiàn)有的知識(shí)水平, 充分理解掌握換元法的定義、換元法相關(guān)定理及其推論，以及換元法的簡(jiǎn)單應(yīng)用。結(jié)合其它人所做的換元法的相關(guān)總結(jié)和應(yīng)用方面的相關(guān)研究文獻(xiàn)，大量閱讀分析這些與換元法相關(guān)的文獻(xiàn)，結(jié)合換元法在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中的計(jì)算來(lái)探討換元法在數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，并對(duì)換元法在具體數(shù)學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)。</p><p><

119、;b>　　3.2 研究難點(diǎn)</b></p><p>　　（1）換元思想在數(shù)學(xué)多學(xué)科計(jì)算中都有廣泛的應(yīng)用，論文要求加強(qiáng)數(shù)學(xué)多學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，特別是熟練掌握常用的定積分換元法、不定積分換元法、二重積分計(jì)算等問(wèn)題解決的理論依據(jù)與具體應(yīng)用。</p><p>　?。?）換元思想具體到一個(gè)題目的計(jì)算中怎么應(yīng)用相對(duì)來(lái)說(shuō)是數(shù)學(xué)計(jì)算中的難點(diǎn)，要充分理解掌握其中的知識(shí)有很大的難度，特別是要