1、<p>　　第三章 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析</p><p><b>　　3.1 概述</b></p><p>　　如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不可能付諸于工程實(shí)施的。因此，穩(wěn)定性問(wèn)題是系統(tǒng)控制理論研究的一個(gè)重要

2、課題。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，其響應(yīng)總可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，因而人們習(xí)慣分別討論這兩種響應(yīng)的穩(wěn)定性，從而外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念。</p><p>　　應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來(lái)可能非常困難，甚至是不可能的。李雅普諾夫(A.M. Lyapunov)穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的一般方法。</p><p

3、>　　本章首先介紹外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的概念及其相互關(guān)系，然后介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念及其判別方法，最后介紹線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。</p><p>　　雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題中，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地位，但在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，卻并不是直截了當(dāng)?shù)?。技巧和?jīng)驗(yàn)在解決非線性問(wèn)題時(shí)顯得非常重要。在本章中，對(duì)于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡(jiǎn)單的情況

4、。</p><p>　　3.2 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性</p><p>　　3.2.1 外部穩(wěn)定：</p><p>　　考慮一個(gè)線性因果系統(tǒng)，如果對(duì)一個(gè)有界輸入u（t），即滿足條件：</p><p>　　的輸入u（t），所產(chǎn)生的輸出y（t）也是有界的，即使得下式成立：</p><p>　　則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，

5、即BIBO（Bounded Input Bounded Output）穩(wěn)定。</p><p>　　注意：在討論外部穩(wěn)定性的時(shí)候，我們必須要假定系統(tǒng)的初始條件為零，只有在這種假定下面，系統(tǒng)的輸入—輸出描述才是唯一的和有意義的。</p><p>　　系統(tǒng)外部穩(wěn)定的判定準(zhǔn)則</p><p>　　系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性可根據(jù)脈沖響應(yīng)矩陣或者傳遞函數(shù)矩陣來(lái)進(jìn)行判別。</p

6、><p><b>　　時(shí)變情況的判定準(zhǔn)則</b></p><p>　　對(duì)于零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)，設(shè)為脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，使對(duì)于一切的每一個(gè)元</p><p><b>　　即，是絕對(duì)可積的。</b></p><p>　　定常情況下的判定準(zhǔn)則：</p&

7、gt;<p>　　對(duì)于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0=0,G(t)為脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是，存在一個(gè)有限常數(shù)k，G(t)的每一個(gè)元</p><p>　　當(dāng)G(s)為真的有理分式函數(shù)矩陣時(shí)，G(s)的每一個(gè)傳遞函數(shù)g（s）的所有零極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。</p><p>　　對(duì)于一個(gè)定常線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣為：。因此，只要滿足

8、系統(tǒng)的全部特征根具有負(fù)實(shí)部根，則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。</p><p>　　3.2.2 內(nèi)部穩(wěn)定性</p><p>　　對(duì)于線性定常系統(tǒng)如果外部輸入u（t）為0，初始狀態(tài)x0為任意，且由x0引起的零輸入響應(yīng)滿足：</p><p>　　則稱系統(tǒng)實(shí)內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸進(jìn)穩(wěn)定的。</p><p><b>　　判定準(zhǔn)則：</b>

9、;</p><p>　　對(duì)于系統(tǒng)，其解為。因此，對(duì)于上面所列的狀態(tài)空間表達(dá)，它的漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。</p><p>　　3.2.3 內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系</p><p>　　對(duì)線性定常系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定的等價(jià)關(guān)系，得出如下結(jié)論：</p><p>　　線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必為BIB

10、O穩(wěn)定的。</p><p>　　線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，不一定就是內(nèi)部穩(wěn)定的。</p><p>　　線性定常系統(tǒng)是能控制和能觀測(cè)的，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和BIBO穩(wěn)定是等價(jià)的。</p><p>　　圖3.1 外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的關(guān)系</p><p>　　3.3 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題</p><p>　　

11、對(duì)于一個(gè)給定的控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性分析通常是最重要的。如果系統(tǒng)是線性定常的，那么有許多穩(wěn)定性判據(jù)，如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)等可資利用。然而，如果系統(tǒng)是非線性的，或是線性時(shí)變的，則上述穩(wěn)定性判據(jù)就將不再適用。</p><p>　　Lyapunov第二法（也稱Lyapunov直接法）是確定非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的最一般的方法。反過(guò)來(lái)，這種方法也可適用于線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。李

12、雅普諾夫穩(wěn)定分析法是確定時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性更一般的方法，這種方法可以在無(wú)需求解狀態(tài)方程的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。</p><p>　　3.3.1 基本概念</p><p><b>　　a) 平衡狀態(tài)</b></p><p>　　忽略輸入后，非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程：</p><p>　　為n維狀態(tài)向量；t為時(shí)

13、間變量； 為n維函數(shù)），其展開式為：</p><p>　　如果對(duì)于所有t，滿足</p><p>　　的狀態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)（又稱為平衡點(diǎn)）。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說(shuō)，則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解（對(duì)所有t，總存在）。</p><p&

14、gt;　　任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)（即彼此孤立的平衡狀態(tài)）或給定運(yùn)動(dòng)都可通過(guò)坐標(biāo)變換，統(tǒng)一化為擾動(dòng)方程之坐標(biāo)原點(diǎn)，即或。在本章中，除非特別申明，我們將僅討論擾動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)()處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題。這種“原點(diǎn)穩(wěn)定性問(wèn)題”由于使問(wèn)題得到極大簡(jiǎn)化，而不會(huì)喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是Lyapunov的一個(gè)重要貢獻(xiàn)。</p><p>　　控制系統(tǒng)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是關(guān)于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性

15、，反映了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的動(dòng)態(tài)行為。鑒于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于具有多個(gè)平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由于各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性一般并不相同，故需逐個(gè)加以考慮，還需結(jié)合具體初始條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)考慮。</p><p>　　b) 李雅普諾夫穩(wěn)定性</p><p>　　如果對(duì)于任意小的 > 0，均存在一個(gè)，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足l

16、im，則稱該平衡狀態(tài)xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。</p><p>　　設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于平衡狀態(tài)xe為球心、半徑為δ的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則狀態(tài)方程的解在的過(guò)程中，都位于以xe為球心，半徑為ε的閉球域內(nèi)。</p><p><b>　　c) 一致穩(wěn)定性 </b></p><p>　　通常δ與、t0 都有關(guān)。如果δ與t0 無(wú)關(guān)，則稱平衡

17、狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的δ與t0 無(wú)關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。</p><p>　　d) 漸進(jìn)穩(wěn)定性 </p><p>　　系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有</p><p>　　稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)，從 出發(fā)的軌跡不僅不會(huì)超出，且當(dāng)時(shí)收劍于xe或其附近。</p><p><b>

18、;　　大范圍穩(wěn)定性</b></p><p>　　當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時(shí)，，，。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍穩(wěn)定性，因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān)，通常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。</p><p><b>　　d) 不穩(wěn)定性</b>

19、;</p><p>　　不論δ取得得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0 出發(fā)的軌跡跨出，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　實(shí)際上，漸近穩(wěn)定性比純穩(wěn)定性更重要?？紤]到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部概念，所以簡(jiǎn)單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。通常有必要確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍或吸引域。它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說(shuō)，發(fā)生于吸引域內(nèi)的每一個(gè)軌跡都是漸近穩(wěn)定的

20、。</p><p>　　在控制工程問(wèn)題中，總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。如果平衡狀態(tài)不是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這通常非常困難。然而，對(duì)所有的實(shí)際問(wèn)題，如能確定一個(gè)足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域，以致擾動(dòng)不會(huì)超過(guò)它就可以了。</p><p>　　圖3.2 （a）穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡</p><p>　?。╞）漸近穩(wěn)定平

21、衡狀態(tài)及一條典型軌跡</p><p>　?。╟）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡</p><p>　　圖3.2（a）、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。在圖3.2(a)、(b)和(c)中，域S（）制約著初始狀態(tài)，而域S(）是起始于的軌跡的邊界。</p><p>　　注意，由于上述定義不能詳細(xì)地說(shuō)明可容許初始條件的精確吸引域，因

22、而除非S()對(duì)應(yīng)于整個(gè)狀態(tài)平面，否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域。</p><p>　　此外，在圖5.2（c）中，軌跡離開了S(），這說(shuō)明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說(shuō)明軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在S(）外的某個(gè)極限環(huán)（如果線性定常系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。但在非線性系統(tǒng)中，這一結(jié)論并不一定正確）。</p><p>　　上述各定義的

23、內(nèi)容，對(duì)于理解本章介紹的線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，是最低限度的要求。注意，這些定義不是確定平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念的唯一方法。實(shí)際上，在其他文獻(xiàn)中還有另外的定義。</p><p>　　對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸引區(qū)為有限的定范圍的漸近穩(wěn)定。</p><p>　　最后指出，在經(jīng)典控制理論中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)穩(wěn)定性概念，它與Lyapunov意義下的穩(wěn)定

24、性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。兩者的區(qū)別與聯(lián)系如下表所示。</p><p>　　3.3.2 李雅普諾夫第一法</p><p>　　李雅普諾夫第一法是通過(guò)系統(tǒng)矩陣A的特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，其主要內(nèi)容:</p><p>　　(1)用一次近

25、似表達(dá)式表達(dá)狀態(tài)方程，即，假如系統(tǒng)矩陣Ade全部特征值具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)。</p><p>　?。?）如果在一次近似式的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部時(shí)，無(wú)論高階導(dǎo)數(shù)的情況如何，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定。</p><p>　?。?）如果在一次近似式的系統(tǒng)矩陣A的特征值中有零特征值，系統(tǒng)的穩(wěn)定性要有高階導(dǎo)數(shù)決定。當(dāng)高階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，系統(tǒng)處于臨界

26、穩(wěn)定狀態(tài)。</p><p>　　3.3.3 標(biāo)量函數(shù)的正定性定義</p><p>　　正定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)有且，稱在域S內(nèi)正定。如是正定的。</p><p>　　負(fù)定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零x有且，稱在域S內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，-則一定是正定的。</p><p>　　負(fù)（正）半定性：，且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有

27、，而其它狀態(tài)處均有（），則稱在域S內(nèi)負(fù)（正）半定。設(shè)為負(fù)半定，則為正半定。如為正半定。</p><p>　　不定性：在域S內(nèi)可正可負(fù)，則稱不定。如是不定的。</p><p>　　關(guān)于正定性的提法是：標(biāo)量函數(shù)在域S中，對(duì)于及所有非零狀態(tài)有,且，則稱在域S內(nèi)正定。的其它定號(hào)性提法類同。</p><p>　　二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記</p><

28、;p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，為對(duì)稱矩陣，有。顯然滿足，其定號(hào)性由賽爾維斯特準(zhǔn)則判定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí)，即</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　為正定矩陣，則正定。當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺截?fù)、正相間時(shí)，即</p><p>&l

29、t;b>　　（3）</b></p><p>　　為負(fù)定矩陣，則負(fù)定。若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。</p><p>　　3.3.4 李雅普諾夫第二法</p><p>　　由力學(xué)經(jīng)典理論可知，對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)總能量（正定函數(shù)）連續(xù)減?。ㄟ@意味著總能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)必然是負(fù)定的），直到平衡狀態(tài)時(shí)為止，則

30、振則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　Lyapunov第二法是建立在更為普遍的情況之上的，即：如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，直到在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。然而對(duì)于一些純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，畢竟還沒(méi)有一個(gè)定義“能量函數(shù)”的簡(jiǎn)便方法。為了克服這個(gè)困難，Lyapunov引出了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為L(zhǎng)yapunov函數(shù)。當(dāng)然，這個(gè)函數(shù)無(wú)疑比能量更為一般，

31、并且其應(yīng)用也更廣泛。實(shí)際上，任一純量函數(shù)只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)。</p><p>　　Lyapunov函數(shù)與和t有關(guān)，我們用或者來(lái)表示Lyapunov函數(shù)。如果在Lyapunov函數(shù)中不含t,則用或表示。在Lyapunov第二法中，和其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)特征，提供了判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，而不必直接求出方程的解（這種方法既適用于線性系

32、統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)）。</p><p><b>　　1、關(guān)于漸近穩(wěn)定性</b></p><p>　　可以證明：如果x為n維向量，且其純量函數(shù)正定，則滿足</p><p>　　的狀態(tài)x處于n維狀態(tài)空間的封閉超曲面上，且至少處于原點(diǎn)附近，式中C是正常數(shù)。隨著，上述封閉曲面可擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間。如果，則超曲面完全處于超曲面的內(nèi)部。</p&g

33、t;<p>　　對(duì)于給定的系統(tǒng)，若可求得正定的純量函數(shù)，并使其沿軌跡對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)總為負(fù)值，則隨著時(shí)間的增加，將取越來(lái)越小的C值。隨著時(shí)間的進(jìn)一步增長(zhǎng)，最終變?yōu)榱?，而x也趨于零。這意味著，狀態(tài)空間的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov主穩(wěn)定性定理就是前述事實(shí)的普遍化，它給出了漸近穩(wěn)定的充要條件。該定理闡述如下：</p><p>　　定理3.1 (Lyapunov, 皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基)

34、考慮如下非線性系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　, 對(duì)所有</b></p><p>　　如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件：</p><p><b>　　1、正定；</b></p><p>

35、<b>　　2、負(fù)定</b></p><p>　　則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是（一致）漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　進(jìn)一步，若，，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　------------------------------------------------------------------</p>

36、<p>　　例3.3 考慮如下非線性系統(tǒng)</p><p>　　顯然原點(diǎn)（，）是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。</p><p>　　如果定義一個(gè)正定純量函數(shù)</p><p>　　是負(fù)定的，這說(shuō)明沿任一軌跡連續(xù)地減小，因此是一個(gè)Lyapunov函數(shù)。由于隨x偏離平衡狀態(tài)趨于無(wú)窮而變?yōu)闊o(wú)窮，則按照定理5.1，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。&l

37、t;/p><p>　　注意，若使取一系列的常值（），則=0對(duì)應(yīng)于狀態(tài)平面的原點(diǎn)，而，，…，描述了包圍狀態(tài)平面原點(diǎn)的互不相交的一簇圓，如圖3.2所示。還應(yīng)注意，由于在徑向是無(wú)界的，即隨著，，所以這一簇圓可擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)平面。</p><p>　　由于圓完全處在的內(nèi)部，所以典型軌跡從外向里通過(guò)V圓的邊界。因此Lyapunov函數(shù)的幾何意義可闡述如下表示狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點(diǎn)距離的一種度量。如果原點(diǎn)與

38、瞬時(shí)狀態(tài)x(t)之間的距離隨t的增加而連續(xù)地減?。矗?，則。</p><p>　　圖3.2 常數(shù)V圓和典型軌跡</p><p>　　------------------------------------------------------------------</p><p>　　定理3.1是Lyapunov第二法的基本定理，下面對(duì)這一重要定理作幾點(diǎn)說(shuō)明。&l

39、t;/p><p>　　(1) 這里僅給出了充分條件，也就是說(shuō)，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，例如我們不能據(jù)此說(shuō)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　(2) 對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則Lyapunov函數(shù)必存在。</p><p>　　(3) 對(duì)于非線性系統(tǒng)，通過(guò)構(gòu)造某個(gè)具體

40、的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　(4) 我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。</p><p>　　顯然，定理3.1仍有一些限制條件，比如必須是負(fù)定函數(shù)。如果

41、在上附加一個(gè)限制條件，即除了原點(diǎn)以外，沿任一軌跡均不恒等于零，則要求負(fù)定的條件可用取負(fù)半定的條件來(lái)代替。</p><p>　　定理 3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考慮如下非線性系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　, 對(duì)所有</b></p><p>　　若存

42、在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件：</p><p><b>　　1、是正定的；</b></p><p><b>　　2、是負(fù)半定的；</b></p><p>　　3、對(duì)于任意和任意，在時(shí)，不恒等于零，其中的表示在時(shí)從出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。</p><p

43、>　　注意，若不是負(fù)定的，而只是負(fù)半定的，則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè)特定曲面=C相切，然而由于對(duì)任意和任意，在時(shí)不恒等于零，所以典型點(diǎn)就不可能保持在切點(diǎn)處（在這點(diǎn)上，=0），因而必然要運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。</p><p><b>　　2、關(guān)于穩(wěn)定性</b></p><p>　　然而，如果存在一個(gè)正定的純量函數(shù)，使得始終為零，則系統(tǒng)可以保持在一個(gè)極限環(huán)上。在這種情況下，原點(diǎn)

44、處的平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。</p><p>　　定理 3.3 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　, 對(duì)所有</b></p><p>　　若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件：</

45、p><p><b>　　1、是正定的；</b></p><p><b>　　2、是負(fù)半定的；</b></p><p>　　3、對(duì)于任意和任意，在時(shí)，均恒等于零，其中的表示在時(shí)從出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下的大范圍漸近穩(wěn)定的。</p><p><b>　　3、

46、關(guān)于不穩(wěn)定性</b></p><p>　　如果系統(tǒng)平衡狀態(tài)x =0是不穩(wěn)定的，則存在純量函數(shù)，可用其確定平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性。下面介紹不穩(wěn)定性定理。</p><p>　　定理3.4 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　, 對(duì)所

47、有</b></p><p>　　若存在一個(gè)純量函數(shù)，具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：</p><p>　　1、在原點(diǎn)附近的某一鄰域內(nèi)是正定的；</p><p>　　2、在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。</p><p>　　則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　3.3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性

48、系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較</p><p>　　在線性定常系統(tǒng)中，若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的，然而在非線性系統(tǒng)中，不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。因此，線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。</p><p>　　如果要檢驗(yàn)非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性，則非線性系統(tǒng)的線性化模型穩(wěn)定性分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。必須研究沒(méi)有線性化的非線性系統(tǒng)。有

49、幾種基于Lyapunov第二法的方法可達(dá)到這一目的，包括用于判斷非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分條件的克拉索夫斯基方法、用于構(gòu)成非線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的Schultz-Gibson變量梯度法、用于某些非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的魯里葉(Lure’)法，以及用于構(gòu)成吸引域的波波夫方法等。下面僅討論克拉索夫斯基方法。</p><p>　　3.4 線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析</p><

50、p><b>　　3.4.1 概述</b></p><p>　　如前所述，Lyapunov第二法不僅對(duì)非線性系統(tǒng)，而且對(duì)線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)，以及線性離散系統(tǒng)等均完全適用。</p><p>　　利用Lyapunov第二法對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，有如下幾個(gè)特點(diǎn)：</p><p>　　(1) 都是充要條件，而非僅充分條件；</p>

51、<p>　　(2) 漸近穩(wěn)定性等價(jià)于Lyapunov方程的存在性；</p><p>　　(3)漸近穩(wěn)定時(shí)，必存在二次型Lyapunov函數(shù)及；</p><p>　　(4) 對(duì)于線性自治系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)矩陣A非奇異時(shí)，僅有唯一平衡點(diǎn)，即原點(diǎn)；</p><p>　　(5) 漸近穩(wěn)定就是大范圍漸近穩(wěn)定，兩者完全等價(jià)。</p><p>　　

52、眾所周知，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定性的判別方法很多。例如，對(duì)于連續(xù)時(shí)間定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，或者相應(yīng)的特征方程的根具有負(fù)實(shí)部。但為了避開困難的特征值計(jì)算，如Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)通過(guò)判斷特征多項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)直接判定穩(wěn)定性，Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這里將介紹的線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性方法，也是一種代數(shù)方法，也不要求把特征多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，

53、而且可進(jìn)一步應(yīng)用于求解某些最優(yōu)控制問(wèn)題。</p><p>　　3.4.2 線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析</p><p>　　考慮如下線性定常自治系統(tǒng)</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　式中，。假設(shè)A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài)，其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通過(guò)Lyapunov

54、第二法進(jìn)行研究。</p><p>　　對(duì)于式(5.3)的系統(tǒng)，選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即</p><p>　　式中P為正定Hermite矩陣（如果x是實(shí)向量，且A是實(shí)矩陣，則P可取為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣）。</p><p>　　沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為</p><p>　　由于取為正定，對(duì)于漸近穩(wěn)定性，要求為負(fù)定的，因此必須有</

55、p><p><b>　　式中</b></p><p>　　為正定矩陣。因此，對(duì)于式(3.3）的系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定的充分條件是Q正定。為了判斷nn維矩陣的正定性，可采用賽爾維斯特準(zhǔn)則，即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主子行列式均為正值。</p><p>　　在判別時(shí)，方便的方法，不是先指定一個(gè)正定矩陣P，然后檢查Q是否也是正定的，而是先指定一個(gè)正定的

56、矩陣Q，然后檢查由</p><p>　　確定的P是否也是正定的。這可歸納為如下定理。</p><p>　　定理3.5 線性定常系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于，，滿足如下Lyapunov方程</p><p>　　這里P、Q均為Hermite矩陣或?qū)崒?duì)稱矩陣。此時(shí)，Lyapunov函數(shù)為</p><p><b>　　，<

57、;/b></p><p>　　特別地，當(dāng)時(shí)，可取(正半定)。</p><p>　　現(xiàn)對(duì)該定理作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：</p><p>　　(1) 如果系統(tǒng)只包含實(shí)狀態(tài)向量x和實(shí)系統(tǒng)矩陣A，則Lyapunov函數(shù)為，且Lyapunov方程為</p><p>　　(2) 如果沿任一條軌跡不恒等于零，則Q可取正半定矩陣。</p><

58、;p>　　(3) 如果取任意的正定矩陣Q，或者如果沿任一軌跡不恒等于零時(shí)取任意的正半定矩陣Q，并求解矩陣方程</p><p>　　以確定P，則對(duì)于在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性，P為正定是充要條件。</p><p>　　注意，如果正半定矩陣Q滿足下列秩的條件</p><p>　　則沿任意軌跡不恒等于零。</p><p>　　(4) 只要選擇的矩

59、陣Q為正定的（或根據(jù)情況選為正半定的），則最終的判定結(jié)果將與矩陣Q的不同選擇無(wú)關(guān)。</p><p>　　(5) 為了確定矩陣P的各元素，可使矩陣和矩陣-Q的各元素對(duì)應(yīng)相等。為了確定矩陣P的各元素，將導(dǎo)致n(n+1)/2個(gè)線性方程。如果用表示矩陣A的特征值，則每個(gè)特征值的重?cái)?shù)與特征方程根的重?cái)?shù)是一致的，并且如果每?jī)蓚€(gè)根的和</p><p>　　則P的元素將唯一地被確定。注意，如果矩陣A表示一

60、個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，那么的和總不等于零。</p><p>　　(6) 在確定是否存在一個(gè)正定的Hermite或?qū)崒?duì)稱矩陣P時(shí)，為方便起見，通常取，這里I為單位矩陣。從而，P的各元素可按下式確定</p><p>　　然后再檢驗(yàn)P是否正定。</p><p>　　-----------------------------------------------------------

61、-------</p><p>　　[例3.5] 設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為</p><p>　　顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。</p><p>　　[解] 不妨取Lyapunov函數(shù)為</p><p>　　此時(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣P可由下式確定</p><p><b>　　上式可寫為</b&

62、gt;</p><p>　　將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為</p><p>　　從方程組中解出、、，可得</p><p>　　為了檢驗(yàn)P的正定性，我們來(lái)校核各主子行列式</p><p>　　顯然，P是正定的。因此，在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，且Lyapunov函數(shù)為</p><p><b>　　且

63、</b></p><p>　　例3.6 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解 原點(diǎn)是惟一平衡狀態(tài)。選，則，與無(wú)關(guān)，故存在非零狀態(tài)（如，使，而對(duì)其余任意狀態(tài)有，故正半定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。</p><p>　　例3.7 試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)

64、定性。</p><p>　　解 這實(shí)際上是一個(gè)可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子。令，得知系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)，和。</p><p>　　對(duì)位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài)，選,有</p><p>　　于是，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部一致漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)原點(diǎn)顯然是不穩(wěn)定的；時(shí)原點(diǎn)也是不穩(wěn)定的[]。上述結(jié)論也可以從狀態(tài)方程直接看出。</p><p>　　

65、對(duì)于平衡狀態(tài)，作坐標(biāo)變換，得到新的狀態(tài)方程</p><p>　　因此，通過(guò)與原狀態(tài)方程對(duì)比可以斷定：對(duì)于原系統(tǒng)在狀態(tài)空間處的平衡狀態(tài)，當(dāng)時(shí)是局部一致漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　例3.8 試用李雅普諾夫方程確定使下圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的值范圍。</p><p><b>　　3.3的系統(tǒng)框圖</b></p><

66、;p>　　解 由圖示狀態(tài)變量列寫狀態(tài)方程</p><p>　　穩(wěn)定性與輸入無(wú)關(guān)，可令。由于，非奇異，原點(diǎn)為惟一的平衡狀態(tài)。取為正半定矩陣</p><p>　　則，負(fù)半定。令，有，考慮狀態(tài)方程中 ，解得；考慮到，解得，表明唯有原點(diǎn)存在。令 </p><p>　　展開的代數(shù)方程為6個(gè)，即</p><p><b>　　，，<

67、/b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　解得</b></p><p>　　使正定的條件為：及。故時(shí)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由于是線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。</p><p>　　例3.9 如下系統(tǒng)是不是外部穩(wěn)定？</p><p>

68、<b>　　解 </b></p><p>　　傳遞函數(shù)是無(wú)理分式，所以：</p><p><b>　　因此系統(tǒng)外部穩(wěn)定</b></p><p>　　例3.10 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為</p><p>　　試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。</p><p>　　解 坐標(biāo)原點(diǎn)是其唯一的平衡狀態(tài)

69、。</p><p><b>　　選擇正定的標(biāo)量函數(shù)</b></p><p><b>　　則有 </b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可見該系統(tǒng)在單位圓外是不穩(wěn)定的。但在單位圓當(dāng)內(nèi)，由于，此時(shí)。因此在這個(gè)范圍內(nèi)系統(tǒng)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這個(gè)單位圓稱做不穩(wěn)定極限環(huán)。</p><p>　

70、　3.4.3離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別</p><p>　　設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，式中陣非奇異，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。取正定二次型函數(shù)</p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　以代替，有</b></p><p><b>　　（6）</b></p>

71、<p><b>　　考慮狀態(tài)方程，有</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　（8）</b></p><p>　　式（8）稱為李雅普諾夫代數(shù)方程。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾