1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要: 高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。與初等數(shù)學(xué)有著緊

3、密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解答的問(wèn)題高等數(shù)學(xué)都給出了解答。因此，學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法，去研究初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題是很重要的。應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法使學(xué)生對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，會(huì)有更深刻的認(rèn)識(shí)。</p><p>　　本論文研究了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系，并且通過(guò)一些例子研究了微積分方法、行列式方法、lagrange插值方法、laplace展開(kāi)方法和線性方程組原理等在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題。<

4、;/p><p>　　關(guān)鍵字: 初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；微積分；行列式</p><p>　　Higher Mathematics Application in Elementary Mathematics</p><p>　　Abstract: Higher mathematics is developed based on the elementary mathematic

5、s, and closely linked with elementary mathematics. Many questions which are unsolved by Elementary Mathematics are answered by higher mathematics. Therefore, It is important to help students learning higher mathematics i

6、deas and methods and use these to solve the elementary mathematics problems from different angles. Students will have a profound understanding to the nature of elementary mathematics and the intrinsic lin</p><

7、p>　　This paper studies the relationships between the elementary mathematics and the higher mathematics. Many elementary problems is listed and solved by some methods, such as the calculus methods, the determinant meth

8、od, lagrange interpolation, laplace expansion methos.</p><p>　　Key words: Elementary mathematics, Higher mathematics, Calculus; determinant</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　

9、　1.引言………………………………………………………………………………………………1</p><p>　　1.1選題的背景和意義………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1.1選題的背景……………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1.2選題的意義…………………………………………………

10、…………………… 1</p><p>　　2.初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系……………………………………………………………………3</p><p>　　2.1初等數(shù)學(xué)的概念………………………………………………………………………… 3</p><p>　　2.2高等數(shù)學(xué)的概念………………………………………………………………………… 3</p><p>

11、;　　2.3初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系…………………………………………………………… 4</p><p>　　3.高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用……………………………………………………………… 5</p><p>　　3.1微積分方法的應(yīng)用……………………………………………………………………… 5</p><p>　　3.1.1微積分簡(jiǎn)介…………………………………………

12、……………………………5</p><p>　　3.1.2微積分的應(yīng)用舉例………………………………………………………………5</p><p>　　3.2行列式方法的應(yīng)用……………………………………………………………………… 7</p><p>　　3.2.1行列式的簡(jiǎn)介……………………………………………………………………7</p><p>　　

13、3.2.2行列式的應(yīng)用舉例………………………………………………………………7</p><p>　　3.3Lagrange插值方法的應(yīng)用……………………………………………………………… 9</p><p>　　3.3.1Lagrange插值方法的簡(jiǎn)介………………………………………………………9</p><p>　　3.3.2Lagrange插值方法的應(yīng)用舉例……………

14、……………………………………9</p><p>　　3.4 Laplace 展開(kāi)方法的應(yīng)用………………………………………………………………10</p><p>　　3.5線性方程組理論方法的用………………………………………………………………12</p><p>　　3.5.1線性方程組理論在平面解析幾何上的應(yīng)用……………………………………12</p>

15、<p>　　3.5.2線性方程組理論在空間集合上的應(yīng)用…………………………………………13</p><p>　　4.結(jié)論……………………………………………………………………………………………15</p><p>　　5.致謝……………………………………………………………………………………………16</p><p>　　6.參考文獻(xiàn)…………………………………

16、……………………………………………………17</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　1.1 選題的背景和意義</p><p>　　1.1.1 選題的背景</p><p>　　有些中學(xué)數(shù)學(xué)教師和師范院校數(shù)學(xué)系的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對(duì)于初等數(shù)學(xué)教學(xué)工作作用不大，有的甚至提出“高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教

17、學(xué)里根本用不上”等觀點(diǎn)。這些看法正如著名數(shù)學(xué)家克萊因早已指出的那樣：“新的大學(xué)生一入學(xué)就發(fā)現(xiàn)，他面對(duì)的問(wèn)題好像和中學(xué)里學(xué)過(guò)的東西一點(diǎn)聯(lián)系也沒(méi)有似的，當(dāng)然他很快就忘了中學(xué)學(xué)的知識(shí)。但是畢業(yè)以后當(dāng)了老師，他們又突然發(fā)現(xiàn)，要他們按老師的教法來(lái)教授初等數(shù)學(xué)，由于缺乏指導(dǎo)，他們很難辨明當(dāng)前數(shù)學(xué)內(nèi)容和所受大學(xué)數(shù)學(xué)訓(xùn)練之間的聯(lián)系，于是很快墜入相沿成習(xí)的教學(xué)方法，而他們所受的大學(xué)訓(xùn)練至多成為一種愉快的回憶，對(duì)他們的教學(xué)毫無(wú)影響。”然而在新的數(shù)學(xué)教材中已

18、經(jīng)出現(xiàn)了一些基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，可以說(shuō)這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種必然。新課程改革在教學(xué)的內(nèi)容、理念、形式上都有很大變化。內(nèi)容上力求體現(xiàn)時(shí)代性，反映數(shù)學(xué)學(xué)科及其應(yīng)用的發(fā)展，滲透了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)了與實(shí)際生活的聯(lián)系。教學(xué)中，要求體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。新課程內(nèi)容的變化，無(wú)論是新增內(nèi)容，還是要求、處理形式、側(cè)重點(diǎn)上有變化的內(nèi)容，都需要教師認(rèn)真理解，仔細(xì)分析。</p><p>　　高等數(shù)學(xué)的重要性

19、不僅在于它的方法在初等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在于用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)往往可以揭示“為什么這么做”和“應(yīng)該怎么做”，從而使學(xué)生不僅知其然而且知其所以然。我們知道，作為一個(gè)教師如果不了解所講授的問(wèn)題中的條件提出的原因，也不知道問(wèn)題的來(lái)源，而僅僅知道每一道題該怎么做，那么，他也許難以將有關(guān)的概念解釋清楚。</p><p>　　1.1.2 選題的意義</p><p>　　高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

20、上發(fā)展起來(lái)的．與初等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解答的問(wèn)題高等數(shù)學(xué)都給出了解答。因此，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法，從不同的角度去研究初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題。這些問(wèn)題可以是與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)，但又未能完全解決，而應(yīng)用所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決的理論、方法問(wèn)題，也可以是初等數(shù)學(xué)中己經(jīng)解決，而運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從另一更高的角度重新認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中重要的概念、理論實(shí)質(zhì)及其背景，還可以借助于高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)中一些或

21、一類(lèi)問(wèn)題(盡管這些問(wèn)題可以用初等的方法來(lái)解決)等等。總之，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法使學(xué)生對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有了深刻的認(rèn)識(shí)。所以本論文選題的基本內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究。主要論述的高等數(shù)學(xué)的方法有微積分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展開(kāi)定理、線性方程組的方法。</p><p>　　本論文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的先進(jìn)觀點(diǎn)地分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題，主要表現(xiàn)為以

22、下三個(gè)方面：一是將高等數(shù)學(xué)的思想和辦法滲透到初等數(shù)學(xué)中去；二是用具體材料來(lái)說(shuō)明高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義：三是指出初等數(shù)學(xué)某些難以處理的問(wèn)題的高等數(shù)學(xué)背景。</p><p>　　我們知道，數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的本領(lǐng)，而這種能力和本領(lǐng)，不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，而且更主要的反映在數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。事實(shí)上，我們說(shuō)一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)能力強(qiáng)，有數(shù)學(xué)才能，并不簡(jiǎn)單指他記憶

23、了多少數(shù)學(xué)知識(shí)，而主要說(shuō)他有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題和創(chuàng)造數(shù)學(xué)理論的本領(lǐng)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要記憶的數(shù)學(xué)知識(shí)可多可少，但掌握數(shù)學(xué)思想方法則是絕對(duì)必要的，因?yàn)楹笳呤莿?chuàng)造的源泉，發(fā)展的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)能力的集中體現(xiàn)。在過(guò)去的數(shù)學(xué)教育中，正是因?yàn)檫^(guò)于重視知識(shí)的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加上傳統(tǒng)的考試制度，所以出現(xiàn)了“高分低能"的現(xiàn)象。要改變這種狀態(tài)，就要狠抓數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)。這樣有利于深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)與全面把握數(shù)

24、學(xué)發(fā)展規(guī)律。</p><p>　　2 初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系</p><p>　　2.1 初等數(shù)學(xué)的概念[1]</p><p>　　初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱(chēng)為表層知識(shí)，另一個(gè)稱(chēng)為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能；深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。</p><p>

25、　　表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過(guò)對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。</p><p>　　那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高：反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而

26、忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無(wú)源之水，無(wú)本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中，含有很多重要且基本的數(shù)學(xué)思想，如幾何證明思想、記算思想、極限思想、隨機(jī)思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想等。這些數(shù)學(xué)思想幾乎包括了初等數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容；而且，結(jié)合學(xué)生得到思維能力和

27、他門(mén)的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，這幾種數(shù)學(xué)思想有可能被他們理解和掌握：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì)比較多。另外，這些思想對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，也是最基本且罩重要的。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出這些數(shù)學(xué)思想是很有必要的。</p><p>　　2.2 高等數(shù)學(xué)的概念[1]</p><p>　　作為基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)，主要是由極限論、微分學(xué)、積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、解析幾何、微分方

28、程等六部分內(nèi)容組成一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一體。其中極限論是基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)活動(dòng)的“舞臺(tái)”；微分、積分是高等數(shù)學(xué)的核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則是從宏觀上揭示函數(shù)的有關(guān)整體性質(zhì)，牛頓的微積分基本定理，在微分和積分之間起了橋梁作用；級(jí)數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段，無(wú)窮級(jí)數(shù)是從離散的側(cè)面去揭示函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，它既是表現(xiàn)函數(shù)的工具，又是用來(lái)進(jìn)行計(jì)算的工具，廣義積分又把無(wú)窮級(jí)數(shù)與積分的內(nèi)容溝通

29、起來(lái)了；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性狀提供了直觀模型；微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機(jī)的聯(lián)系起來(lái)，揭示了它們之間內(nèi)在的依賴(lài)轉(zhuǎn)化關(guān)系。因此，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)大致可用框圖這樣給出：</p><p>　　圖1：高等數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)</p><p>　　事實(shí)上，這個(gè)框圖反映的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，僅僅是高等數(shù)學(xué)體系的一部分，是師范生必學(xué)的內(nèi)容，隨著專(zhuān)業(yè)的不同，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容

30、將向不同的方向延拓，也將隨著時(shí)代的發(fā)展和數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷地注入新的數(shù)學(xué)思想、方法，如非標(biāo)準(zhǔn)分析、離散數(shù)學(xué)基本理論、模型思擔(dān)等，使得高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容更具魅力。</p><p>　　2.3 初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系[1]</p><p>　　盡管高等數(shù)學(xué)的高度抽象性，使它與初等數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，高等數(shù)學(xué)是多級(jí)抽象的結(jié)果。它的原型和特例大都來(lái)自變量數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)的原型和特例

31、又來(lái)自常量數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)無(wú)疑最終還是扎根于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系之中。初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識(shí)，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中許多(不是全部)概念和理論的原型和特例所在．因此，從高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看初等數(shù)學(xué)，首先就要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與初等數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來(lái)．這樣，就不僅能夠加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵．從而用高層次的眼光處理中學(xué)教材，用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)

32、初等數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓廣學(xué)生的解題思路，提高解題能力，大有裨益．</p><p>　　高等數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的深度和廣度極大豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)視野，不論是從有限還是從無(wú)限，從局部還是從整體，從近似還是從精確等方面都滲透著豐富的辯證思想。例如曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問(wèn)題在分割、求和、取極限過(guò)程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確，有限與無(wú)限辯證關(guān)系的一種體現(xiàn)．在教學(xué)中，深刻剖析內(nèi)容結(jié)

33、構(gòu)中的這種對(duì)立統(tǒng)一、否定之否定、量變與質(zhì)變矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系，對(duì)提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力、優(yōu)化思維能力有著很重要的作用。</p><p>　　3 高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　高等數(shù)學(xué)中有許多方法可以和中學(xué)數(shù)學(xué)相溝通，有些可以適當(dāng)遷移到中學(xué)數(shù)學(xué)中來(lái)。高等數(shù)學(xué)的方法不僅可以使我們居高臨下地去觀察初等問(wèn)題，幫助我們確定解題思路，有時(shí)還能夠幫助我們剖析某些問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，尋求簡(jiǎn)捷的解法。中學(xué)

34、數(shù)學(xué)中常用的高等數(shù)學(xué)方法有極限法、求導(dǎo)法、微分法、積分法、行列式法、向量法、概率法等，下面通過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。</p><p>　　3.1 微積分方法的應(yīng)用</p><p>　　3.1.1 微積分簡(jiǎn)介</p><p>　　微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)

35、的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。</p><p>　　3.1.2 微積分的應(yīng)用舉例</p><p>　　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大最小值，或

36、利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問(wèn)題的方法使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。</p><p>　　例1：已知在x=±1時(shí)取得極值，且f(1)=-1．</p><p>　　(1)試求常數(shù)a、b、c的值；</p><p>　　(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由．</p><p><

37、b>　　解：(1) </b></p><p>　　因?yàn)閤=±l是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，</p><p>　　所以x=±l是方程f’(x)=0，即的兩根。</p><p>　　f’(1)=0 即 ①</p><p>　　f’(-1)=0 即 ②</p><p>　　由根與系數(shù)的關(guān)系，

38、得</p><p>　　又f(1)=-1，所以， ③</p><p><b>　　由①②③解得，</b></p><p><b>　　(2) ，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　當(dāng)x<-l或x>1時(shí)，&l

39、t;/p><p><b>　　當(dāng)-1<x<1時(shí)，</b></p><p>　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(-l，1)上是減函數(shù)。</p><p>　　因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(-1)=l，</p><p>　　當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=-l。</p>

40、;<p>　　這樣，我們就很容易地解決了這個(gè)一元三次函數(shù)的極值問(wèn)題。[4]</p><p>　　初等數(shù)學(xué)中,經(jīng)常用不等式、配方等方法求極值。這些方法的優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生熟悉,易于掌握。但這些方法往往有三個(gè)缺點(diǎn):一是技巧性要求較高,特別是對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題;二是適用面較窄,只能解一些較特殊的問(wèn)題;三是容易混淆極值和最值兩個(gè)概念,遺漏了極值。用微積分方法求極值,有固定程序可循,技巧性要求低一些,適用面也廣一些,極值

41、和最值也容易區(qū)分。</p><p><b>　　例2：求 的極值。</b></p><p><b>　　解：, 令 ,得</b></p><p>　　解得 或,由可得 或. 因此,</p><p><b>　　當(dāng)時(shí), 得;</b></p><p><

42、;b>　　當(dāng)時(shí), 得;</b></p><p><b>　　當(dāng) 時(shí), 得 ;</b></p><p>　　此題若用配方法解,可得</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),得;</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),得 ,但很容易遺漏</p><p>　　因?yàn)橛们髮?dǎo)法很

43、容易判斷函數(shù)的單調(diào)性,而不等式問(wèn)題又常?？苫癁楹瘮?shù)問(wèn)題,故可用微積分法證明一些不等式。</p><p><b>　　例3：求證: .</b></p><p>　　在中學(xué)中有很多需要比較大小的地方，我們一般采用的是二者相減或者相除，但是上式我們發(fā)現(xiàn)它不僅相減沒(méi)用相除也不行，這里我們采用微積分的方法來(lái)比較它們的大小。</p><p><b&g

44、t;　　證明：令 則</b></p><p>　　f ( x ) 在[ 0, + ∞) 上是增函數(shù), x > 0時(shí)</p><p><b>　　即 [5]</b></p><p>　　3.2 行列式方法的應(yīng)用</p><p>　　3.2.1 行列式的簡(jiǎn)介</p><p>　

45、　行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)榈木仃嘇，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫(xiě)作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說(shuō)，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。 行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過(guò)程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的

46、著作中已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。</p><p>　　3.2.2行列式的應(yīng)用舉例</p><p>　　行列式是依賴(lài)于變?cè)帕形恢玫囊环N特殊的代

47、數(shù)式. 在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用它, 可以溝通代數(shù)與幾何間的聯(lián)系, 從數(shù)形結(jié)合方面又開(kāi)辟了新的思考途徑. 本文主要用行列式及其性質(zhì)證明等式與不等式, 分解等式、以及在幾何方面的應(yīng)用等. 通過(guò)具體的例子體現(xiàn)其方法的簡(jiǎn)便與技巧性[6]。</p><p><b>　　例4：求證: </b></p><p>　　這個(gè)題目在初等數(shù)學(xué)中我們只能應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換來(lái)求證。但是這個(gè)做的結(jié)

48、果是計(jì)算步驟非常復(fù)雜，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是用行列式的方法就簡(jiǎn)單很多。</p><p><b>　　證明：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　又D==0，</b></p><p><b>　　故 </b></p><p>　　由行列式的定義由此啟發(fā), 我們可以把一個(gè)代數(shù)式F

49、 看成兩個(gè)式子的差,而每個(gè)式子又可以表成兩個(gè)因式的乘積, 即 (M, N, P, Q 均為代數(shù)式), 于是. 由此即可根據(jù)行列式的性質(zhì), 對(duì)某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。</p><p>　　例5：對(duì)下式進(jìn)行因式分解：</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中我們要求這個(gè)因式分解的話用的是穿插法，先令這個(gè)因式為0求出當(dāng)x為何值時(shí)該因式為0，然后可以將其分解因式，但是我們發(fā)現(xiàn)很多因式都很難求他的解。這里我

50、們用行列式的方法來(lái)求一下這個(gè)因式的因式分解。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　因三階循環(huán)行列式</b></p><p>　　于是當(dāng)多項(xiàng)式F具有的形式時(shí), F就可以表成循環(huán)行列式, 這時(shí)我們就可以運(yùn)用行列式的性質(zhì)對(duì)多項(xiàng)式F 進(jìn)行因式分解</p><p><b

51、>　　例6：將分解因式.</b></p><p><b>　　解：</b></p><p>　　3.3 Lagrange插值方法的應(yīng)用</p><p>　　3.3.1 Lagrange插值方法的簡(jiǎn)介</p><p>　　插值法又稱(chēng)“內(nèi)插法”，是利用函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟?/p>

52、函數(shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值，這種方法稱(chēng)為插值法。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱(chēng)它為插值多項(xiàng)式。 </p><p>　　Lagrange插值公式：設(shè)是數(shù)域F中任意n+1個(gè)互不相同的數(shù)，是F中任意n+1個(gè)數(shù)，則存在F[x]的唯一一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式f(x)，使得</p><p>　　下式即為滿足條件的多項(xiàng)式</p>&l

53、t;p>　　Lagrange插值方法的應(yīng)用舉例</p><p>　　欲求一個(gè)經(jīng)過(guò)某些已知點(diǎn)的函數(shù)，用初等數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法完全可求出所求函數(shù)，但運(yùn)算過(guò)程中必須求解線性方程組，若求解n次函數(shù)，需求解n+1元線性方程組。既麻煩而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而在Lagrange插值公式中，由于互異，故可構(gòu)成n+1個(gè)互異的點(diǎn)。于是Lagrange插值公式可以表述為存在唯一的一個(gè)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。因此欲求一個(gè)

54、經(jīng)過(guò)某些已知點(diǎn)的函數(shù)，只需用Lagrange插值公式便容易得到。</p><p>　　例7：[11]若二次函數(shù)，滿足，求此二次函數(shù)。</p><p>　　解：這里由Lagrange插值公式有</p><p>　　對(duì)于一個(gè)給出的含變系數(shù)的多項(xiàng)式，時(shí)，確定的取值范圍，此類(lèi)問(wèn)題用初等函數(shù)的方法可求解。即用已知條件通過(guò)解不等式組，先求出變系數(shù)函數(shù)的系數(shù)取值范圍，然后將點(diǎn)帶入

55、函數(shù)表達(dá)式，這樣才能得出最終結(jié)果。如果用Lagrange插值公式，根據(jù)點(diǎn)與函數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，直接寫(xiě)出函數(shù)在的算式，將已知條件代入即可。</p><p><b>　　例8：已知滿足：</b></p><p><b>　　,求的取值范圍。</b></p><p>　　解：令由Lagrange插值公式，有</p>&

56、lt;p>　　將已知條件代入上式，于是</p><p><b>　　故的取值范圍是。</b></p><p>　　3.4 Laplace 展開(kāi)方法的應(yīng)用</p><p>　　Laplace 定理是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要定理, 它是行列式按一行展開(kāi)定理的推廣, 不僅在高等代數(shù)中有重要的應(yīng)用, 而且某些初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題若用Laplace 定理來(lái)處

57、理, 也有它的方便之處。</p><p>　　Laplace 展開(kāi)定理： 在行列式D中任意取定了K個(gè)行(列) , 由這K行(列)元素所組成的一切K級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。</p><p>　　本文介紹用Laplace 展開(kāi)定理計(jì)算條件全排列的種數(shù)。</p><p>　　全排列種數(shù)問(wèn)題, 可化為行列式的某種項(xiàng)數(shù)問(wèn)題, 而行列式的這種項(xiàng)數(shù)又?？砂?/p>

58、Laplace 定理展開(kāi)的辦法來(lái)計(jì)算, 基于這種思想, 我們可以引出一種所謂條件全排列種數(shù)的行列式計(jì)算法。這種行列式叫01 行列式, 其元素全為0 或1, 展開(kāi)所得n! 項(xiàng)全是0或1。若在01 行列式中, 用0 表示某物不可排位置, 用1 表示某物可排位置, 則01 行列式中的n! 項(xiàng)中, 0 項(xiàng)表示不需全排列, 非0 項(xiàng)表示所需全排列。因此, 某些條件全排列種數(shù)問(wèn)題成了某個(gè)01 行列式的非0 項(xiàng)數(shù)問(wèn)題。</p><

59、p>　　例9: 5 人站成一排, 其中A 不站在排頭, 也不站在排尾, 有多少種排法?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式:</p><p>　　按第一行Laplace 展開(kāi), 5 個(gè)一級(jí)子式中, 有3 個(gè)非0, 其余子式都是4 級(jí)全1 行列式( 每個(gè)元素都是1) , 故所求排法為3×4! = 72。</p><p>　　注: 當(dāng)然

60、, 亦可按第1、5 列Laplace 展開(kāi), = 10個(gè)二級(jí)子式中, 4 個(gè)無(wú)非0 項(xiàng), 6 個(gè),有2! 個(gè)非0 項(xiàng), 其余子式都是3 級(jí)全1 行列式, 故所求種數(shù)為6×2! ×3! = 72。[10]</p><p>　　例10: 用0, 1, 2, 3, 4, 5 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù), 其中有多少個(gè)奇數(shù)?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式&l

61、t;/p><p>　　按第1，6列Laplace展開(kāi)，=15個(gè)二級(jí)子式中，3個(gè)，2個(gè)，一個(gè)共6個(gè)無(wú)非0項(xiàng)，3個(gè)，3個(gè)共6個(gè)有一個(gè)非0項(xiàng)；3個(gè)有2個(gè)非0項(xiàng)，其余子式都是4級(jí)全1行列式，故所求個(gè)數(shù)為</p><p>　　注：也可按1，3，5行Laplace展開(kāi)，=20個(gè)三級(jí)子式中，=10個(gè)有一列為0，故無(wú)非0項(xiàng)；=6個(gè)有4個(gè)非0項(xiàng)；4個(gè)全1行列式有3！項(xiàng)，其余子式都是三級(jí)全1行列式，故所求個(gè)數(shù)為&

62、lt;/p><p>　　3.5 線性方程組理論方法的應(yīng)用</p><p>　　3.5.1 線性方程組理論在平面解析幾何上的應(yīng)用</p><p>　　利用線性方程組理論判斷平面上兩條直線的位置關(guān)系:相交、平行、重合。</p><p>　　設(shè)平面上有兩條直線與則</p><p>　　相交:即兩條直線有一公共點(diǎn)，線性方程組&l

63、t;/p><p>　　有唯一解,從而其系數(shù)行列式 </p><p>　　(2) 平行:即兩條直線無(wú)公共點(diǎn),上式無(wú)解,從而有而與至少有一個(gè)不為0 。</p><p>　　(3) 重合:即兩條直線有無(wú)數(shù)公共點(diǎn),上式有無(wú)窮多個(gè)解,從而</p><p>　　例11：求過(guò)兩點(diǎn)與的直線方程。</p><p>　　方法一：由兩

64、點(diǎn)式方程可知直線的方程為：</p><p>　　方法二：由線性方程組理論求解。設(shè)直線方程為則方程組</p><p>　　有非零解,即其系數(shù)行列式,化簡(jiǎn)求解即有</p><p><b>　　。[7]</b></p><p>　　3.5.2 線性方程組理論在空間集合上的應(yīng)用</p><p>　　同樣

65、,利用線性方程組理論也可以判斷空間兩條直線的位置關(guān)系:異面、相交、平行、重合。</p><p>　　設(shè)空間中有兩條直線與，其中</p><p>　　，分別是，上的點(diǎn)，,分別表示，的方向向量。</p><p><b>　　異面：即向量,</b></p><p>　　相交：即方向向量不共線，︰︰≠︰︰,</p>

66、<p><b>　　且向量，；</b></p><p>　?。?）平行：即向量與共線，且向量與，都不共線，</p><p><b>　　︰︰＝︰︰≠︰︰；</b></p><p>　　（4）重合：即向量，，都共線，</p><p><b>　　︰︰=︰︰=︰︰</b>

67、;</p><p>　　例12：求過(guò)點(diǎn)與平面平行且與直線相交的直線的方程。</p><p>　　解：設(shè)直線的方向向量為,由直線的方程知的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)。由與相交，因此，即</p><p>　　展開(kāi)得，又與平行，所以，聯(lián)立得方程組：求解，令Z為自由未知量，取Z=1，求得，故所求直線的方程為</p><p><b>　　4 結(jié)論&

68、lt;/b></p><p>　　初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和擴(kuò)展，二者在解決問(wèn)題的思路和方法上有很大的差異，某些問(wèn)題可以用高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解也可以用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解，當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)中遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可將兩種方法都呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思維，放開(kāi)眼界，提高解決和分析問(wèn)題的能力，另一方面，利用高等數(shù)學(xué)解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以把中學(xué)生從煩瑣的題海中解

69、放出來(lái)。[21]</p><p>　　本文主要通過(guò)用高等數(shù)學(xué)的微積分，行列式等方法來(lái)對(duì)初等數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題進(jìn)行了討論研究。在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中采用高等數(shù)學(xué)的方法不僅能讓初等數(shù)學(xué)的一些很難解釋的東西變得簡(jiǎn)單而且學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的思想能為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。</p><p>　　初等數(shù)學(xué)教材滲入高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法似乎會(huì)增加教師的“負(fù)擔(dān)"。但是，我們也應(yīng)該看到，近些年來(lái)，不

70、管是學(xué)生還是教育工作者都感覺(jué)到初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間存在著內(nèi)容、方法、思想上的代溝。如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之前有所準(zhǔn)備昵?如何讓學(xué)生在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中開(kāi)始孕育高等數(shù)學(xué)的精神?如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)后會(huì)回味無(wú)窮地體會(huì)到：這一段初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)讓他受益匪淺?這正是許多教育工作者、數(shù)學(xué)家正在思考的問(wèn)題。詩(shī)日：“欲窮千里目，更上一層樓’’，在高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)看初等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題會(huì)更深刻、更全面，因此，應(yīng)該掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，摸清高等數(shù)學(xué)與初等

71、數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，在教學(xué)上才能真正地做到居高臨下。[1]</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 阮國(guó)利，高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究，內(nèi)蒙古師范大學(xué)碩士文,2008-04-20</p><p>　　[2]聶晶品，微積分方法在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]，高等函授學(xué)報(bào)，2009(5)：88-90</p&

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77、：67-73</p><p>　　[18] 王奇，任文龍，李慧，高等代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用[J]，甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2008(22)：55-57</p><p>　　[19]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析(第三版) [M]，北京：高等教育出版社，2001</p><p>　　[20]菲茨帕特里，advanced calculus: a course in math

78、ematical analysis[M]，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.5</p><p>　　[21] 周曉渝，高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]，科技信息，2009(30)：490</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用　　　　</p><p><b>

79、　　前言部分</b></p><p>　　隨著新課程改革的不斷進(jìn)行，高等數(shù)學(xué)的知識(shí)在高考所占的比重也越來(lái)越大，所以，作為高中教師，就必須認(rèn)真研究新的課程標(biāo)準(zhǔn)、新的考試大綱，認(rèn)真研究、分析高中數(shù)學(xué)中的新知識(shí)——高等數(shù)學(xué)的知識(shí)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題。</p><p>　　高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的．與初等數(shù)學(xué)有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解答的問(wèn)題高等數(shù)學(xué)都給出了

80、解答。因此，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法，從不同的角度去研究初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題。這些問(wèn)題可以是與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)，但又未能完全解決，而應(yīng)用所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決的理論、方法問(wèn)題，也可以是初等數(shù)學(xué)中己經(jīng)解決，而運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，從另一更高的角度重新認(rèn)識(shí)初等數(shù)學(xué)中重要的概念、理論實(shí)質(zhì)及其背景，還可以借助于高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學(xué)中一些或一類(lèi)問(wèn)題(盡管這些問(wèn)題可以用初等的方法來(lái)解決)等等。總之，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的方法使學(xué)生

81、對(duì)初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以及與高等數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有了深刻的認(rèn)識(shí)。所以本論文選題的基本內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究。主要論述的高等數(shù)學(xué)的方法有微積分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展開(kāi)定理、線性方程組的方法。</p><p>　　本論文研究了初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)的概念、范疇、關(guān)系，能使學(xué)生對(duì)此三個(gè)相關(guān)聯(lián)的概念加以區(qū)別；同時(shí)以大量、翔實(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)的范例為依據(jù)，尤其是近幾年的高考試題，充

82、分說(shuō)明了高等數(shù)學(xué)方法在解決初等數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題上，具有明顯的作用，并且盡可能地使用現(xiàn)有中學(xué)數(shù)學(xué)教材講到的知識(shí)、方法。</p><p>　　本論文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的先進(jìn)觀點(diǎn)地分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題，主要表現(xiàn)為以下三個(gè)方面：一是將高等數(shù)學(xué)的思想和辦法滲透到初等數(shù)學(xué)中去；二是用具體材料來(lái)說(shuō)明高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義：三是指出初等數(shù)學(xué)某些難以處理的問(wèn)題的高等數(shù)學(xué)背景。</p><p><

83、b>　　主題部分</b></p><p>　　1. 初等數(shù)學(xué)[1]</p><p>　　初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱(chēng)為表層知識(shí)，另一個(gè)稱(chēng)為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能；深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。</p><p>　　表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教

84、材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過(guò)對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。</p><p>　　那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高：反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無(wú)源之水，無(wú)

85、本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中，含有很多重要且基本的數(shù)學(xué)思想，如幾何證明思想、記算思想、極限思想、隨機(jī)思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想等。這些數(shù)學(xué)思想幾乎包括了初等數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容；而且，結(jié)合學(xué)生得到思維能力和他門(mén)的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，這幾種數(shù)學(xué)思想有可能被他們理解和掌握

86、：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì)比較多。另外，這些思想對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，也是最基本且罩重要的。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出這些數(shù)學(xué)思想是很有必要的。</p><p>　　2. 高等數(shù)學(xué)[1]</p><p>　　作為基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)，主要是由極限論、微分學(xué)、積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、解析幾何、微分方程等六部分內(nèi)容組成一個(gè)有機(jī)的統(tǒng)一體。其中極限論是基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)活

87、動(dòng)的“舞臺(tái)”；微分、積分是高等數(shù)學(xué)的核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則是從宏觀上揭示函數(shù)的有關(guān)整體性質(zhì)，牛頓的微積分基本定理，在微分和積分之間起了橋梁作用；級(jí)數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段，無(wú)窮級(jí)數(shù)是從離散的側(cè)面去揭示函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，它既是表現(xiàn)函數(shù)的工具，又是用來(lái)進(jìn)行計(jì)算的工具，廣義積分又把無(wú)窮級(jí)數(shù)與積分的內(nèi)容溝通起來(lái)了；解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性狀提供

88、了直觀模型；微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機(jī)的聯(lián)系起來(lái)，揭示了它們之間內(nèi)在的依賴(lài)轉(zhuǎn)化關(guān)系。因此，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)大致可用框圖這樣給出：</p><p>　　事實(shí)上，這個(gè)框圖反映的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，僅僅是高等數(shù)學(xué)體系的一部分，是師范生必學(xué)的內(nèi)容，隨著專(zhuān)業(yè)的不同，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容將向不同的方向延拓，也將隨著時(shí)代的發(fā)展和數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷地注入新的數(shù)學(xué)思想、方法，如非標(biāo)準(zhǔn)分析、離散數(shù)學(xué)基本理論、模型思擔(dān)等，使得高等

89、數(shù)學(xué)的內(nèi)容更具魅力。</p><p>　　3. 高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的關(guān)系[1]</p><p>　　盡管高等數(shù)學(xué)的高度抽象性，使它與初等數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，高等數(shù)學(xué)是多級(jí)抽象的結(jié)果。它的原型和特例大都來(lái)自變量數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)的原型和特例又來(lái)自常量數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)無(wú)疑最終還是扎根于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系之中。初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識(shí)，是高等數(shù)學(xué)的基

90、礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中許多(不是全部)概念和理論的原型和特例所在．因此，從高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看初等數(shù)學(xué)，首先就要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與初等數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來(lái)．這樣，就不僅能夠加深對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確把握初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵．從而用高層次的眼光處理中學(xué)教材，用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓廣學(xué)生的解題思路，提高解題能力，大有裨益．</p><p>　　高等數(shù)學(xué)

91、研究問(wèn)題的深度和廣度極大豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)視野，不論是從有限還是從無(wú)限，從局部還是從整體，從近似還是從精確等方面都滲透著豐富的辯證思想。例如曲邊梯形面積、曲頂柱體體積問(wèn)題在分割、求和、取極限過(guò)程中的以直代曲、以規(guī)則代替不規(guī)則的思想方法正是精確與不精確，有限與無(wú)限辯證關(guān)系的一種體現(xiàn)．在教學(xué)中，深刻剖析內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的這種對(duì)立統(tǒng)一、否定之否定、量變與質(zhì)變矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系，對(duì)提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力、優(yōu)化思維能力有著很重要的作用。</p>&l

92、t;p>　　1) 微積分方法的應(yīng)用舉例[2]：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問(wèn)題的方法使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。</p><p>　　例1：已知在x=±1時(shí)取得極值，且f(1)=-1．</p><p>　　(1)試求常數(shù)a、b、c的值；</p><p&g

93、t;　　(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由．</p><p><b>　　解：(1) </b></p><p>　　因?yàn)閤=±l是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，</p><p>　　所以x=±l是方程f’(x)=0，即的兩根。</p><p>　　f’(1)=0 即 ①<

94、/p><p>　　f’(-1)=0 即 ②</p><p>　　由根與系數(shù)的關(guān)系，得</p><p>　　又f(1)=-1，所以， ③</p><p><b>　　由①②③解得，</b></p><p><b>　　(2) ，</b></p><p>&l

95、t;b>　　所以</b></p><p>　　當(dāng)x<-l或x>1時(shí)，</p><p><b>　　當(dāng)-1<x<1時(shí)，</b></p><p>　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函數(shù)，在(-l，1)上是減函數(shù)。</p><p>　　因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極

96、大值f(-1)=l，</p><p>　　當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=-l。</p><p>　　這樣，我們就很容易地解決了這個(gè)一元三次函數(shù)的極值問(wèn)題。</p><p>　　2) 高中數(shù)學(xué)新課程打破先講極限后講導(dǎo)數(shù)的順序，直接通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例，即通過(guò)與社會(huì)生活聯(lián)系緊密的速度、膨脹率、增長(zhǎng)率等變化率引入導(dǎo)數(shù)，旨在用導(dǎo)數(shù)反映的變化率研究初等函數(shù)的性質(zhì).

97、通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)對(duì)初等數(shù)學(xué)中較為復(fù)雜的解(證明) 不等式、求函數(shù)最值、證明函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容, 突出導(dǎo)數(shù)方法簡(jiǎn)化初等數(shù)學(xué)復(fù)雜問(wèn)題的特點(diǎn), 加深導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)特別在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用, 拓寬高中數(shù)學(xué)教學(xué)的視野, 以期拋磚引玉[3].</p><p><b>　　例2：求證: </b></p><p><b>　　證明：令 則</b></p>

98、<p>　　f ( x ) 在[ 0, + ∞) 上是增函數(shù), x > 0時(shí)</p><p><b>　　即</b></p><p>　　3) 行列式是依賴(lài)于變?cè)帕形恢玫囊环N特殊的代數(shù)式. 在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用它, 可以溝通代數(shù)與幾何間的聯(lián)系, 從數(shù)形結(jié)合方面又開(kāi)辟了新的思考途徑. 本文主要用行列式及其性質(zhì)證明等式與不等式, 分解等式、以及在幾何方面

99、的應(yīng)用等. 通過(guò)具體的例子體現(xiàn)其方法的簡(jiǎn)便與技巧性[4].</p><p><b>　　例3：求證: </b></p><p><b>　　證明：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　又D==0，</b></p><p><b>　　故 </b><

100、;/p><p>　　4)Lagrange插值公式[5]：設(shè)是數(shù)域F中任意n+1個(gè)互不相同的數(shù)，是F中任意n+1個(gè)數(shù)，則存在F[x]的唯一一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式f(x)，使得</p><p>　　下式即為滿足條件的多項(xiàng)式</p><p>　　例4：若二次函數(shù)，滿足，求此二次函數(shù)。</p><p>　　解：這里由Lagrange插值公式有</

101、p><p>　　5）Laplace 展開(kāi)定理[6]：在行列式D中任意取定了K個(gè)行(列) , 由這K行(列)元素所組成的一切K級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。</p><p>　　例5：5 人站成一排, 其中A 不站在排頭, 也不站在排尾, 有多少種排法?</p><p>　　解: 按題意可作如下01 行列式:</p><p>　　

102、按第一行Laplace 展開(kāi), 5 個(gè)一級(jí)子式中, 有3 個(gè)非0, 其余子式都是4 級(jí)全1 行列式( 每個(gè)元素都是1) , 故所求排法為3×4! = 72。</p><p>　　注: 當(dāng)然, 亦可按第1、5 列Laplace 展開(kāi), = 10個(gè)二級(jí)子式中, 4 個(gè)無(wú)非0 項(xiàng), 6 個(gè),有2! 個(gè)非0 項(xiàng), 其余子式都是3 級(jí)全1 行列式, 故所求種數(shù)為6×2! ×3! = 72。&l

103、t;/p><p>　　6）線性方程組理論在平面解析幾何上的應(yīng)用[7]</p><p>　　利用線性方程組理論判斷平面上兩條直線的位置關(guān)系:相交、平行、重合。</p><p>　　設(shè)平面上有兩條直線與，則</p><p>　　(1)相交:即兩條直線有一公共點(diǎn)，線性方程組</p><p>　　有唯一解,從而其系數(shù)行列式。<

104、;/p><p>　　(2) 平行:即兩條直線無(wú)公共點(diǎn),上式無(wú)解,從而有而與至少有一個(gè)不為0。</p><p>　　(3) 重合:即兩條直線有無(wú)數(shù)公共點(diǎn),上式有無(wú)窮多個(gè)解,從而</p><p>　　例6：求過(guò)兩點(diǎn)與的直線方程。</p><p>　　方法一：由兩點(diǎn)式方程可知直線的方程為：</p><p>　　方法二：由線性方程

105、組理論求解。設(shè)直線方程為則方程組</p><p>　　有非零解,即其系數(shù)行列式,化簡(jiǎn)求解即有</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　總結(jié)部分</b></p><p>　　初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和擴(kuò)展，二者在解決問(wèn)題的思路和方法上有很大的差異，

106、某些問(wèn)題可以用高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解也可以用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解，當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)中遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可將兩種方法都呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思維，放開(kāi)眼界，提高解決和分析問(wèn)題的能力，另一方面，利用高等數(shù)學(xué)解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以把中學(xué)生從煩瑣的題海中解放出來(lái)。[1]</p><p>　　本文主要通過(guò)用高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)，微積分和行列式的方法來(lái)對(duì)初等數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題進(jìn)行了討論研究。在初等數(shù)學(xué)的教

107、學(xué)中采用高等數(shù)學(xué)的方法不僅能讓初等數(shù)學(xué)的一些很難解釋的東西變得簡(jiǎn)單而且學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的思想能為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。</p><p>　　初等數(shù)學(xué)教材滲入高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、方法似乎會(huì)增加教師的“負(fù)擔(dān)”。但是，我們也應(yīng)該看到，近些年來(lái)，不管是學(xué)生還是教育工作者都感覺(jué)到初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間存在著內(nèi)容、方法、思想上的代溝。如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之前有所準(zhǔn)備昵?如何讓學(xué)生在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中開(kāi)始孕育高等數(shù)學(xué)的

108、精神？如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)后會(huì)回味無(wú)窮地體會(huì)到：這一段初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)讓他受益匪淺？這正是許多教育工作者、數(shù)學(xué)家正在思考的問(wèn)題。詩(shī)日：“欲窮千里目，更上一層樓”，在高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)看初等數(shù)學(xué)的某些問(wèn)題會(huì)更深刻、更全面，因此，應(yīng)該掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，摸清高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，在教學(xué)上才能真正地做到居高臨下[1]。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>&

109、lt;p>　　[1] 阮國(guó)利，高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[D]，內(nèi)蒙古：內(nèi)蒙古師范大學(xué),2008年</p><p>　　[2]肖新義，肖堯，微積分方法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[J]，和田師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2009，28(5)：205-206</p><p>　　[3]高九安，導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J]，高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005(4)：13</p><p

110、>　　[4]周立仁，行列式在初等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用[J]，湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，21(4)：17-19</p><p>　　[5]張淑娜，王焱，Lagrange插值公式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]，通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（5）：59-63</p><p>　　[6]曹春娟，Laplace展開(kāi)定理在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]，運(yùn)城高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002,20(3)： 12-13&l

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112、<p>　　[10]林廷山，李明輝，略談高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J]，南寧師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000(2)：67-69</p><p>　　[11]王奇，任文龍，李慧，高等代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用[J]，甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2008(22)：55-57</p><p>　　[12]朱桂英，王雪峰，高等數(shù)學(xué)在證明不等式中的應(yīng)用[J]，科技信息，2006(4)：117