1、第2章 線性時不變系統,Linear Time-Invariant Systems,LTI系統的框圖結構表示。,本章主要內容：,,信號的時域分解——用 表示離散時間信號；　用 表示連續(xù)時間信號。,LTI系統的時域分析——卷積積分與卷積和。,LTI系統的微分方程及差分方程表示。,奇異函數。,2.0 引言 ( Introduction ),基本思想：如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那么只要得到了LTI系統對基本信號

2、的響應，就可以利用系統的線性特性，將系統對任意輸入信號產生的響應表示成系統對基本信號的響應的線性組合。,由于LTI系統滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統分析的理論與方法奠定了基礎。,,,,問題的實質：,1. 研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構成任意信號；2. 如何得到LTI系統對基本單元信號的響應。,,作為基本單元的信號應滿足以下要求：,1.

3、本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構成）盡可能廣泛的其它信號；2. LTI系統對這種信號的響應易于求得。,如果解決了信號分解的問題，即：若有,則,,將信號分解可以在時域進行，也可以在頻域或變換域進行，相應地就產生了對LTI系統的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。,分析方法：,離散時間信號中,最簡單的是 ,可以由它的線性組合構成 ，即：,2.1 離散時間LTI系統：卷積和,一. 用單位脈沖表示離散時間信號

4、,,對任何離散時間信號 ,如果每次從其中取出一個點，就可以將信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權、不同位置的單位脈沖。,（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）,二. 卷積和（Convolution sum）,于是有：,表明：任何信號 都可以被分解成移位加權的單位脈沖信號的線性組合。,如果一個線性系統對 的響應是 ，由線性特性就有

5、系統對任何輸入 的響應為：,若系統具有時不變性，即：,若 ，則,因此，只要得到了LTI系統對 的響應,,單位脈沖響應( impulse response )，,就可以得到LTI系統對任何輸入信號 的響應：,這表明：一個LTI系統可以完全由它的單位脈沖響應來表征。這種求得系統響應的運算關系稱為卷積和（The convolution sum）。,三. 卷積和的計算,計算方法：,

6、有圖解法、列表法、解析法（包括數值解法）。,運算過程：,將一個信號 不動，另一個信號經反轉后成為 ,再隨參變量 移位。在每個 值的情況下，將 與 對應點相乘，再把乘積的各點值累加，即得到 時刻的 。,例1：,例2：,① 時，,,② 時，,③

7、 時，,④ 時，,⑤ 時，,通過圖形幫助確定反轉移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。,例3. 列表法,分析卷積和的過程，可以發(fā)現有如下特點：,① 與 的所有各點都要遍乘一次；,② 在遍乘后，各點相加時，根據 ，,參與相加的各點都具有 與 的宗量

8、之和為 的特點。,優(yōu)點：缺點：,計算非常簡單。①只適用于兩個有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出 的封閉表達式。,卷積和：對位相乘法,卷和計算有解析法、圖解法和變換法 對位乘加法：當兩個序列都是有限長序列時，可使用“對位乘加法”計算卷和。此方法實際上是用對位排列運算巧妙地取代翻轉平移運算。 該方法首先把兩序列的樣本值右端對齊地排列，然后把逐個樣本值對應相乘但不要進位，最后把同一列上的乘積值對位求和，就得到所

9、需卷和。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,卷積和：對位相乘法,計算 ，其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對位相乘法需注意的問題,卷積后的序列起止點需注意上題中兩個序列的起始點不同，卷積后起點為1，不是0。,對位相乘法需注意的問題,參與卷積運算的序列中間有若干信號值

10、為零，需補零處理,對位相乘法需注意的問題,此外，對有限長序列的卷積運算可通過z變換求解或者將序列表示為兩個有限個樣值序列移位加權和形式，直接用卷積的性質求解,直接利用有限長序列求解卷積,卷積后的序列起止點需注意,利用z變換求解,,與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應該可以分解成一系列移位加權的單位沖激信號的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關系：,對一般信號 ，可以將其分成很多 寬度的區(qū)段，用一個階梯信號

11、 近似表示 。當 時，有,（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）,一. 用沖激信號表示連續(xù)時間信號,2.2 連續(xù)時間LTI系統：卷積積分,引用 ，即：,則有：,當 　　時，,第 個矩形可表示為： 　這些矩形疊加起來就成為階梯形信號 ，即：

12、,表明：,任何連續(xù)時間信號 都可以被分解成移位加權的單位沖激信號的線性組合。,于是：,二. 卷積積分（The convolution integral）,與離散時間系統的分析類似，如果一個線性系統對 的響應為 ，則該系統對 的響應可表示為：,若系統是時不變的，即：若 ，則有: 于是系統對任意輸入 的響應可表示為：,三. 卷積積分的計算,卷積積分的計算與卷積

13、和很類似，也有圖解法、解析法和數值解法。 運算過程的實質也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉后隨參變量 移動。對每一個 的值，將 和 對應相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。 通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。,例1:,例2 :,,,,,① 當 時，,② 當 時，,③ 當 時，,④ 當 時，,⑤ 當 時，,例題：,信號與

14、系統,信號與系統,例： 計算,解：,信號與系統,例：計算,解：因果信號與一個有限長信號卷積，可利用解析法直接計算,信號與系統,例題：計算,,,注意此處的處理方式,信號與系統,簡化方法,利用卷積性質：,,舉例,已知某線性時不變系統的單位沖激響應和激勵信號分別為： ， ，則系統的零狀態(tài)響應為？,信號與系統,信號與系統,卷積計算的圖解法,卷積計算的運算步驟：變量更換：把信號的時間變量 更換成 ，得

15、 和 ；翻轉：把信號 翻轉成 ；平移：把翻轉后的信號 右移 成 ；加權積分：把信號 用 加權后，對時間變量 進行積分，得 。,,2.3 線性時不變系統的性質（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）,一. 卷積積分與卷積和的性質,1. 交換律：,,結論： 一個

16、單位沖激響應是h(t)的LTI系統對輸入信號x(t)所產生的響應，與一個單位沖激響應是x(t)的LTI系統對輸入信號h(t)所產生的響應相同。,2. 分配律：,結論：兩個LTI系統并聯，其總的單位脈沖(沖激)響應等于各子系統單位脈沖(沖激)響應之和。,3. 結合律:,兩個LTI系統級聯時，系統總的單位沖激(脈沖)響應等于各子系統單位沖激(脈沖)響應的卷積。,由于卷積運算滿足交換律，因此，系統級聯的先后次序可以調換。,結論：,產生以上結論

17、的前提條件：,①系統必須是LTI系統；②所有涉及到的卷積運算必須收斂。,如：,若交換級聯次序，即成為：,又如：若 ，雖然系統都是LTI系統。當 時，如果交換級聯次序，則由于 不收斂，因而也是不允許的。,顯然與原來是不等價的。因為系統不是LTI系統。,4. 卷積運算還有如下性質：,②若

18、 ，則,卷積積分滿足微分、積分及時移特性：,①若 ，則,② 若 ，則,卷積和滿足差分、求和及時移特性：,① 若 ，則,恰當地利用卷積的性質可以簡化卷積的計算：,將 微分一次有:,例如：2.2 中的例2,根據微分特性有:,利用積分特性即可得:,信號與系統,卷積計算的圖解法例題,例：用圖解法計算 ，其中 解：卷

19、積結果如圖,Matlab求解舉例：,信號與系統,Matlab求解舉例：,信號與系統,信號與系統,例題：,如圖所示系統由四個子系統組成，各子系統沖激響應分別為積分器 ，單位延遲器 和倒相器 ，求系統沖激響應。,信號與系統,例題：,解：根據卷積運算的性質有：,信號與系統,卷積的性質匯總,微積分性質：微分性質：卷積運算與微分運算可交換 ；積分性質：卷積運算與積分運算可交換 ；

20、N階導數性質： 特殊地,舉例,已知兩信號求,信號與系統,卷積微積分性質使用注意,卷積微積分性質中，被微分的信號需要滿足條件即該信號中不能包含有直流分量，此時不能直接應用該性質求解卷積，需將直流分量的卷積分離出來單獨計算。,信號與系統,舉例,計算卷積：,信號與系統,舉例,一般的直流信號卷積指數衰減信號為：,信號與系統,信號與系統,例題：,計算（1） ；,信號與

21、系統,例題：,計算,信號與系統,卷積的性質匯總,信號與延遲沖激信號的卷積等于延遲信號信號與階躍信號的卷積等于信號積分,信號與系統,卷積的性質匯總,信號與沖激偶的卷積等于信號微分信號與沖激的m階導數的卷積等于信號的m階導數,信號與系統,例題,計算矩形脈沖 的自卷積。解：,,信號與系統,例題：,計算矩形脈沖 與指數信號 的卷積。,信號與系統,卷積的應

22、用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,,信號與系統,卷積的應用舉例,加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用卷積實現,信號與系統,卷積的應用舉例,,二.LTI系統的性質,1. 記憶性：,,LTI 系統可以由它的單位沖激/脈沖響應來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、

23、因果性、穩(wěn)定性）都應在其單位沖激/脈沖響應中有所體現。,則在任何時刻 ， 都只能和 時刻的輸入有關，和式中只能有 時的一項為非零，因此必須有：,根據 ，如果系統是無記憶的，,即：,所以，無記憶系統的單位脈沖/沖激響應為：,當 時系統是恒等系統。,如果LTI系統的單位沖激/脈沖響應不滿足上述要求，則系統是記憶的。,2. 可逆性：,如果LTI系統是可逆的，一定存在一個逆系統，且逆系統

24、也是LTI系統，它們級聯起來構成一個恒等系統。,此時，,,,,,,,,因此有：,例如：延時器是可逆的LTI系統， ，其逆系統是 ，顯然有：,累加器是可逆的LTI系統，其 ，其逆系統是 ，顯然也有：,3. 因果性：,對連續(xù)時間系統有:這是LTI系統具有因果性的充分必要條件。,但差分器是不可逆的。,根據穩(wěn)定性的定義，由

25、 ，若 有界，則 ;若系統穩(wěn)定，則要 求 必有界，由,可知，必須有:,對連續(xù)時間系統，相應有:,這是LTI系統穩(wěn)定的充分必要條件。,4. 穩(wěn)定性：,5. LTI系統的單位階躍響應：,在工程實際中，也常用單位階躍響應來描述LTI系統。單位階躍響應就是系統對 或　 所產生的響應。因此有:,LTI系統的特性也可以用它的單位階躍響應來描述。,2.4 用微分和差分方程描述的因果L

26、TI系統,在工程實際中有相當普遍的一類系統，其數學模型可以用線性常系數微分方程或線性常系數差分方程來描述。分析這類LTI系統，就是要求解線性常系數微分方程或差分方程。,一.線性常系數微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）,均為常數,( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equ

27、ations ),求解該微分方程，通常是求出通解 和一個特解 ，則 。特解 是與輸入 同類型的函數，通解 是齊次方程的解，即 的解。欲求得齊次解，可根據齊次方程建立一個特征方程： 求出其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形式為：,其中 是待定的常數。,要確定系數 ，

28、需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數 的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。 當微分方程描述的系統是線性系統時，必須滿足系統零輸入—零輸出的特性。也就是系統在沒有輸入，即 時， 。此時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的 都為零。,可以證明：當這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCC

29、DE描述的系統不僅是線性的，也是因果的和時不變的。,也就是要求確定待定系數所需的一組附加條件的值必須全部為零，即： LCCDE具有一組零附加條件時，才能描述線性系統。,在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。,結論：,LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統。這組條件是：,如果一個因果的LTI系統由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統初始是靜止的或最初是松弛的?！∪绻鸏CCDE具有一組不全為零

30、的初始條件，則可以證明它所描述的系統是增量線性的。,信號與系統,系統響應的一般表示,系統響應的表示式：系統的響應還可分解為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應,信號與系統,例題1：,描述某LTI系統的微分方程為：,信號與系統,例題1：,信號與系統,例題2：,描述某LTI系統的微分方程為：,信號與系統,例題2,信號與系統,例題3：,描述某LTI系統的微分方程為：,信號與系統,例題3：,二. 線性常系數差分方程:(Linear Consta

31、nt-Coefficient Difference Equation),一般的線性常系數差分方程可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解 和通解，即齊次解 來進行，其過程與解微分方程類似。,要確定齊次解中的待定常數，也需要有一組附加條件。同樣地，當LCCDE具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統是線性、因果、時不變的。,對于差分方程，可以將其改寫為：,可以看出：要求出 ，不僅要知道所有

32、的 ，還要知道 ，這就是一組初始條件，由此可以得出 。進一步，又可以通過 和 ，求得 ，依次類推可求出所有 時的解。,若將差分方程改寫為：,則可由 求得 ，進而由 可求得 ，依次可推出 時的解。 由于這種差分方程可

33、以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursive equation）。,當 時，差分方程變?yōu)椋?此時,求解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursive equation）顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當于 　此時，系統單位脈沖響應 是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統稱為FIR（Finite Impulse Response）系統。將遞歸方程描述的系統稱為IIR（I

34、nfinite Impulse Response）系統,此時系統的單位脈沖響應是一個無限長的序列。,FIR系統與IIR系統是離散時間LTI系統中兩類很重要的系統，它們的特性、結構以及設計方法都存在很大的差異。,由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數形式，即特解是由輸入信號完全決定的，因而特解所對應的這一部分響應稱為受迫響應或強迫響應。齊次解所對應的部分由于與輸入信號無關，也稱為系統的自然響應。,零輸入響應和零狀態(tài)響應,

35、,零輸入響應 邊界值,零狀態(tài)響應 邊界值,,增量線性系統的響應分為零狀態(tài)響應和零輸入響應。零輸入響應由于與輸入信號無關，因此它屬于自然響應。零狀態(tài)響應既與輸入信號有關，也與系統特性有關，因而它包含了受迫響應，也包含有一部分自然響應。,三.由微分和差分方程描述的LTI系統的方框圖表示 （Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）,由LCCDE

36、 描述的系統，其數學模型是由一些基本運算來實現的，如果能用一種圖形表示方程的運算關系，就會更加形象直觀；另一方面, 分析系統很重要的目的是為了設計或實現一個系統, 用圖形表示系統的數學模型, 將對系統的特性仿真、硬件或軟件實現具有重要意義。,不同的結構也會在設計和實現一個系統時帶來不同的影響：如系統的成本、靈敏度、誤差及調試難度等方面都會有差異。,1. 由差分方程描述的LTI系統的方框圖表示：,由

37、 可看出：方程中包括三種基本運算：乘系數、相加、移位（延遲） ?？捎靡韵路柋硎荆?若令 ,則,直接Ⅰ型,據此可得方框圖：,將其級聯起來,就成為LCCDE描述的系統，它具有與差分方程完全相同的運算功能。顯然, 它可以看成是兩個級聯的系統，可以調換其級聯的次序, 并將移位單元合并，于是得到：,由 看出它也包括三種基本運算：微分、相加、乘系數。

38、但由于微分器不僅在工程實現上有困難，而且對誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。 將微分方程兩邊同時積分 N 次，即可得到一個積分方程：,2. 由微分方程描述的LTI系統的方框圖表示：,直接Ⅰ型,對此積分方程完全按照差分方程的辦法有：,直接Ⅱ型,通過交換級聯次序，合并積分器可得直接Ⅱ型：,信號與系統,沖激函數的性質,偶函數積分篩選 相乘,信號與系統,沖激函數的尺度性質,沖激函數的尺度性質證明

39、：利用沖激函數的偶性、階躍函數的尺度性和沖激函數是階躍函數的微分，有,信號與系統,沖激函數的檢零性質,當沖激函數應用于非線性函數時，具有檢測其零點，并反映其導數的性質。 由于函數在其零點 ，i=1, 2, …, n有 ，使得在其零點領域，有根據尺度性質，有,,信號與系統,沖激偶的性質,面積“篩選”,信號與系統,例: 計算,,,信號與系統,例 計算,,,信號與系統,舉例：計算下列信號的一階微分,,,,信號與系統

40、,舉例：計算下列信號的一階微分,,,,舉例：計算下列信號的一階微分,,信號與系統,舉例：計算下列信號的一階微分,,信號與系統,舉例：簡化下列式子,用沖激信號與階躍信號的性質和定義來進行化簡,信號與系統,舉例：簡化下列式子,用沖激信號與階躍信號的性質和定義來進行化簡,信號與系統,舉例：簡化下列式子,,信號與系統,舉例：簡化下列式子,,信號與系統,信號與系統,補充：增量線性系統,根據電路的線性疊加原理，有：零狀態(tài)線性：起始狀態(tài)為零時，系統

41、的零狀態(tài)響應對輸入信號呈現線性（包括可加性和齊次性）零輸入線性：當外部激勵為零時，系統的零輸入響應對系統初始狀態(tài)呈現線性線性系統擴展定義：一個既具有零輸入響應和零狀態(tài)響應分解特性，又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統稱為線性系統，否則稱為非線性系統全響應：系統在初始條件下對初始時刻后的輸入在初始時刻后產生的響應成為全響應全響應等于零輸入響應和零狀態(tài)響應之和常系數線性微分方程描述的系統只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統才是線性時不變

42、的，并且是因果的,信號與系統,例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計算系統響應,LTI系統在某初始條件下，對激勵 和 的全響應分別為 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對激勵 的全響應 。核心：利用線性系統擴展的定義求解,信號與系統,例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計算系統響應,LTI系統在某初始條件下，對激勵 和 的全響應分別為

43、 和 ，求在該初始狀態(tài)下，對激勵 的全響應 。解：,信號與系統,補充例題：,已經某系統激勵與響應、初始條件符合：根據廣義線性的定義，上述系統零輸入和零狀態(tài)響應可分解；零輸入響應具備線性性；但零狀態(tài)響應不符合線性性；因此整個系統不是廣義線性系統,信號與系統,補充例題：沖激響應的計算,使用零狀態(tài)線性概念計算系統沖激響應例:某LTI系統，對激勵

44、 的零狀態(tài)響應是 ，對激勵 的零狀態(tài)響應是 ，求該系統的沖激響應。解,信號與系統,補充例題：沖激響應的計算,使用零狀態(tài)線性概念計算系統沖激響應例:某LTI系統，對激勵 的零狀態(tài)響應是 ，對激勵 的零狀態(tài)響應是 ，求該系統的沖激響應。解,在第一章介紹單位沖激時，開

45、始將 定義為 　　　　 顯然是不嚴密的，因為 在 不連續(xù)。進而采用極限的觀點，將 視為 在 　　時的極限。這種定義或描述 的方法在數學上仍然是不嚴格的，因為可以有許多不同函數在 時都表現為與 有相同的特性。,（Singularity function）,例如:以下信號的面積都等于1，而且在 時，它們的極限都表現為單位沖激。,2.5 奇異函數,之所以產生這

46、種現象，是因為 是一個理想化的非常規(guī)函數，被稱為奇異函數。通常采用在卷積或積分運算下函數所表現的特性來定義奇異函數。,一. 通過卷積定義,從系統的角度,可以說 是一個恒等系統的 單位沖激響應,因此， —— 這就是在卷積運算下 的定義。 根據定義可以得出 的如下性質：,,⒈,⒉ 當 時，有,⒊ 由此定義可得：,若 ，則有：,,此式即可作為在積分運算下

47、 的定義式。,二. 通過積分定義,,積分表達式 也可以作為在積分運算下的定義，這就是分配函數的定義方法。,,據此定義又可以推出：⒋ 若 是奇函數，則 ，因此 是偶函數， 即： 若令 ，代入積分定義式就有：,這就是卷積運算下的定義。⒌ 根據積分下的定義有：,若 ，則可推出,因此，若有 ,則,三.

48、 單位沖激偶及其他奇異函數,理想微分器的單位沖激響應應該是 的微分，記為 ，從卷積運算或LTI系統分析的角度應該有：,所以 稱為單位沖激偶（Unit doublet）,⒈ 當 時，有：,⒉ 考察 當 時，有 ，此積分可作為 在積分意義下的定義。,由此定義出發(fā)可以推出：,⒊ 若 是一個偶函數，則

49、 。由此可推得 是奇函數，即：,⒋ 考察,⒌ 若 ，進而有： 因此，若有 ，則,按此定義方法推廣下去，有：,在積分運算下有：,例如：,是理想積分器的單位沖激響應。,四. 的積分,用類似方法也可以定義 的積分。 若用 ，則有：,因此：,稱為單位斜坡函數（Unit ramp function ）,,事實上， 的各

50、次積分已經是常規(guī)函數了，當然可以按常規(guī)函數定義的方法去描述。,⒉ LTI系統的時域分析——卷積和與卷積積分⒊ LTI系統的描述方法：①用 描述系統（也可用 述）；②用LCCDE連同零初始條件描述LTI系統；,2.6 小結（Summary）,本章主要討論了以下內容：,⒈ 信號的時域分解:,⒌ 奇異函數。,③ 用方框圖描述系統（等價于LCCDE描述）。,記憶性、因果性、穩(wěn)定性、可逆性與