1、第三章,,中值定理,應(yīng)用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三節(jié)),,,微分中值定理,與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,,一、羅爾( Rolle )定理,第一節(jié),二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,費(fèi)馬(fermat)引理,,一、羅爾( Rolle )定理,且,存在,,,證: 設(shè),則,,,費(fèi)馬,證畢,,羅爾（ Rolle

2、）定理,滿足:,(1) 在區(qū)間 [a , b] 上連續(xù),(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo),(3) f ( a ) = f ( b ),使,證:,故在[ a , b ]上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 則,因此,若 M > m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,,不妨設(shè),則至少存在一點(diǎn),使,注意:,1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定,成立.,則由費(fèi)馬引理得,例如,,使,2) 定理?xiàng)l件

3、只是充分的.,,本定理可推廣為,在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且,在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),證明提示: 設(shè),證 F(x) 在 [a , b] 上滿足羅爾定理 .,,,例1. 證明方程,有且僅有一個(gè)小于1 的,正實(shí)根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 [0 , 1 ] 連續(xù) ,,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假設(shè)另有,為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,,至少存在一點(diǎn),但,矛盾,,故假

4、設(shè)不真!,設(shè),二、拉格朗日中值定理,,(1) 在區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點(diǎn),使,思路: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,,在[a, b] 上連續(xù),,在(a, b)內(nèi)可導(dǎo),,且,,證:,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,,,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn),即定理結(jié)論成立 .,拉氏,證畢,,,,,,,,,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推論: 若函數(shù),在區(qū)間 I

5、 上滿足,則,在 I 上必為常數(shù).,證: 在 I 上任取兩點(diǎn),格朗日中值公式 , 得,由 的任意性知,,在 I 上為常數(shù) .,令,則,,例2. 證明等式,證: 設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經(jīng)驗(yàn):,欲證,時(shí),只需證在 I 上,例3. 證明不等式,證: 設(shè),中值定理?xiàng)l件,,即,因?yàn)?故,因此應(yīng)有,三、柯西(Cauchy)中值定理,,分析:

6、,及,(1) 在閉區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi),至少存在一點(diǎn),使,滿足 :,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,,,柯西,構(gòu)造輔助函數(shù),證: 作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn),思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?,兩個(gè) ? 不一定相同,錯(cuò)!,,上面兩式相比即得結(jié)論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,,,,,,,,,,弦的斜率,,切線斜率,,,例4. 設(shè)

7、,至少存在一點(diǎn),使,證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,設(shè),則,在 [0, 1] 上滿足柯西中值,定理?xiàng)l件,,因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ,,使,,,即,證明,例5. 試證至少存在一點(diǎn),使,證:,,法1 用柯西中值定理 .,則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,,令,因此,,,,,即,,分析:,例5. 試證至少存在一點(diǎn),使,法2 令,則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值

8、定理?xiàng)l件,,使,因此存在,,,內(nèi)容小結(jié),1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的應(yīng)用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論,關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù),費(fèi)馬引理,,,,,思考與練習(xí),1. 填空題,1) 函數(shù),在區(qū)間 [1, 2] 上滿足拉格朗日定理,條件, 則中值,2) 設(shè),有,,個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間,,上.,方程,2. 設(shè)

9、,且在,內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存,在一點(diǎn),使,提示:,由結(jié)論可知, 只需證,即,驗(yàn)證,在,上滿足羅爾定理?xiàng)l件.,設(shè),3. 若,可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有,的零點(diǎn).,提示: 設(shè),欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗(yàn)證,在,上滿足,羅爾定理?xiàng)l件.,4. 思考: 在,即,當(dāng),時(shí),問(wèn)是否可由此得出,不能 !,因?yàn)?是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .,應(yīng)用拉格朗日中值定理得,上對(duì)函數(shù),

10、作業(yè),P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15,提示:,題*15.,題14. 考慮,第二節(jié),費(fèi)馬(1601 – 1665),費(fèi)馬,法國(guó)數(shù)學(xué)家,,他是一位律師,,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛(ài)好.,他興趣廣泛,,博,覽群書(shū)并善于思考,,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻(xiàn).,他特別愛(ài)好數(shù)論,,他提出,的費(fèi)馬大定理:,歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德,魯.懷爾斯教授經(jīng)過(guò)十年的潛心研究才得到

11、解決 .,引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來(lái)的.,,拉格朗日 (1736 – 1813),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),,近百,余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都可直接或,間接地追溯到他的工作,,他是對(duì)分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,,柯西(1789 – 1857),,法國(guó)數(shù)學(xué)家,,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),,《柯,西全集》共有 27 卷.,其中最重要的是為巴黎綜合學(xué)校,編寫的

12、《分析教程》,,《無(wú)窮小分析概論》, 《微積分,在幾何上的應(yīng)用》 等,,有思想有創(chuàng)建,,廣泛而深遠(yuǎn) .,對(duì)數(shù)學(xué)的影響,他是經(jīng)典分析的奠基人之一,,他為微積,分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析數(shù)學(xué)的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 .,一生發(fā)表論文800余篇, 著書(shū) 7 本 ,,備用題,求證存在,使,1. 設(shè),可導(dǎo)，且,在,連續(xù)，,證: 設(shè)輔助函數(shù),因此至少存在,顯然,在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,,即,使得,設(shè),證明對(duì)任意,有,證：,2.

13、,不妨設(shè),,三、其他未定式,,二、,型未定式,一、,型未定式,,,第二節(jié),洛必達(dá)法則,第三章,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),,,導(dǎo)數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導(dǎo)數(shù)之商的極限,轉(zhuǎn)化,( 或 型),,,本節(jié)研究:,洛必達(dá)法則,洛必達(dá),一、,存在 (或?yàn)?),,定理 1.,型未定式,(洛必達(dá)法則),( ? 在 x , a 之間),證:,無(wú)妨假設(shè),在指出的鄰域內(nèi)任取,則,在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯,故,,定理?xiàng)l件:

14、,西定理?xiàng)l件,,存在 (或?yàn)?),推論1.,定理 1 中,換為下列過(guò)程之一:,推論 2. 若,理1條件,,則,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必達(dá)法則,定理1,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !,,洛,洛,例2. 求,解: 原式,思考: 如何求,( n 為正整數(shù)) ?,洛,二、,型未定式,存在 (或?yàn)椤?,,定理 2.,證: 僅就極限,存在的情形加以證明 .,(洛必達(dá)法則),1

15、),的情形,從而,2),的情形.,取常數(shù),,可用 1) 中結(jié)論,3),時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 ),說(shuō)明: 定理中,換為,之一,,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.,定理2,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: (1) n 為正整數(shù)的情形.,原式,洛,例4. 求,(2) n 不為正整數(shù)的情形.,從而,由(1),用夾逼準(zhǔn)則,存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x > 1 時(shí),,,例4.,例3.,說(shuō)明:,1) 例3

16、, 例4 表明,時(shí),,后者比前者趨于,更快 .,,例如,,事實(shí)上,用洛必達(dá)法則,,,2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問(wèn)題 .,3) 若,例如,,極限不存在,不能用洛必達(dá)法則 !,即,三、其他未定式:,解決方法:,通分,,,,取倒數(shù),,,取對(duì)數(shù),例5. 求,解: 原式,,洛,解: 原式,例6. 求,,通分,,,,取倒數(shù),,,取對(duì)數(shù),,洛,例7. 求,解:,利用 例5,,,例5,通分,,,,取倒數(shù),,,取對(duì)

17、數(shù),,例8. 求,解: 注意到,原式,洛,例3,例9. 求,法1. 直接用洛必達(dá)法則.,下一步計(jì)算很繁 !,法2. 利用例3結(jié)果.,原式,例3,,例3,內(nèi)容小結(jié),洛必達(dá)法則,,,,思考與練習(xí),1. 設(shè),是未定式極限 , 如果,是否,的極限也不存在 ? 舉例說(shuō)明 .,極限不存在 ,,,說(shuō)明3),原式,,分析:,說(shuō)明3),分析:,,3.,,原式,,,,洛,則,4. 求,解: 令,原式,洛,洛,作業(yè),P138 1 (6)，(7)，(9

18、)，(12)，(13)，(16), *4,第三節(jié),洛必達(dá)(1661 – 1704),法國(guó)數(shù)學(xué)家,,他著有《無(wú)窮小分析》,(1696),,并在該書(shū)中提出了求未定式極,限的方法,,后人將其命名為“ 洛必達(dá)法,的擺線難題 ,,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,線 ” 問(wèn)題 ,,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓,錐曲線的書(shū) .,則 ”.,他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出,,求下列極限 :,解:,備用題,洛,則,原式 =,解: 令,(

19、用洛必達(dá)法則),(繼續(xù)用洛必達(dá)法則),解:,原式 =,第三節(jié),洛,,二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,第三節(jié),一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的應(yīng)用,應(yīng)用,目的－用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).,理論分析,近似計(jì)算,,泰勒公式,第三章,特點(diǎn):,一、泰勒公式的建立,以直代曲,,,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問(wèn)題,如何提高精度 ?,如何估計(jì)誤差 ?,x 的一次多項(xiàng)式,,,1. 求 n 次近似多項(xiàng)式,要求:,故,令,則,2. 余項(xiàng)估計(jì),令,(

20、稱為余項(xiàng)) ,,則有,,,,,,,公式 ① 稱為 的 n 階泰勒公式 .,公式 ② 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .,泰勒(Taylor)中值定理 :,階的導(dǎo)數(shù) ,,時(shí), 有,①,其中,②,則當(dāng),泰勒,公式 ③ 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .,在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為,注意到,③,④,* 可以證明:,,④ 式成立,特例:,(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(2) 當(dāng)

21、 n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見(jiàn),誤差,,稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .,,則有,在泰勒公式中若取,,則有誤差估計(jì)式,若在公式成立的區(qū)間上,麥克勞林,由此得近似公式,二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,,,其中,,麥克勞林公式,麥克勞林公式,類似可得,其中,,其中,,麥克勞林公式,已知,其中,因此可得,,麥克勞林公式,三、泰勒公式的應(yīng)用,1. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用,誤差,M 為,

22、在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問(wèn)題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;,2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;,3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,例1. 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過(guò),解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,,因此,的麥克勞林公式為,,說(shuō)明: 注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.,本

23、例,若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則,各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò),總誤差限為,這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過(guò),因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .,例2. 用近似公式,計(jì)算 cos x 的近似值,,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解: 近似公式的誤差,令,解得,即當(dāng),時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果,能準(zhǔn)確到 0.005 .,2. 利用泰勒公式求極限,例3. 求,解:,由于,,用洛必達(dá)法則不方便 !,,,

24、,,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,內(nèi)容小結(jié),1. 泰勒公式,其中余項(xiàng),當(dāng),時(shí)為麥克勞林公式 .,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P142 ~ P144 ),3. 泰勒公式的應(yīng)用,(1) 近似計(jì)算,(3) 其他應(yīng)用,,求極限 , 證明不等式 等.,(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),,例如,泰勒多項(xiàng)式逼近,,,,,泰勒多項(xiàng)式逼近,,思考與練習(xí),計(jì)算,解:,原式,第四節(jié),作業(yè) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ;

25、 8;*10 (1), (2),泰勒 (1685 – 1731),英國(guó)數(shù)學(xué)家,,他早期是牛頓學(xué)派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,,重要著作有:,《正的和反的增量方法》(1715),《線性透視論》(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,,麥克勞林 (1698 – 1746),英國(guó)數(shù)學(xué)家,,著作有:,《流數(shù)論》(1742),《有機(jī)幾何學(xué)》(1720),《代數(shù)論》(1742),在第一本著作中給出

26、了后人以他的名字命名的,麥克勞林級(jí)數(shù) .,,證: 由題設(shè)對(duì),備用題 1.,,有,且,,,點(diǎn),,,,下式減上式 , 得,令,,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設(shè) e 為有理數(shù),( p , q 為正整數(shù)) ,,則當(dāng) 時(shí),,等式左邊為整數(shù);,矛盾 !,,2. 證明 e 為無(wú)理數(shù) .,證:,故 e 為無(wú)理數(shù) .,等式右邊不可能為整數(shù).,,第四節(jié),一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,二、曲線的凹凸與拐點(diǎn),函數(shù)的單調(diào)性與,曲線的凹凸性,第三

27、章,一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法,若,定理 1. 設(shè)函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無(wú)妨設(shè),任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說(shuō)明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),,證畢,例1. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,,,,,,,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,,,,,,,,,說(shuō)明:,單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,例如,,2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)

28、數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,,例2. 證明,時(shí), 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,,證,證明,* 證明,令,則,從而,即,,,,,定義 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,圖形是凸的 .,二、曲線的凹凸與拐點(diǎn),,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .,拐點(diǎn),定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的

29、;,(2) 在 I 內(nèi),則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .,,,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,,說(shuō)明 (1) 成立;,(2),,,,,設(shè)函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù),證畢,,例3. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說(shuō)明:,1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:,若曲線,或不存在,,的一個(gè)拐點(diǎn).,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),,

30、例4. 求曲線,的拐點(diǎn).,解:,,,,,不存在,因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點(diǎn) .,凹,凸,對(duì)應(yīng),例5. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,解: 1) 求,2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,,向上凸 ,,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及,均為拐點(diǎn).,凹,凹,凸,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,,在 I 上單調(diào)遞增,,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別,,,拐點(diǎn),— 連續(xù)曲線上有切線的

31、凹凸分界點(diǎn),思考與練習(xí),上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,,及,B,1. 設(shè)在,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點(diǎn)為,提示:,及,作業(yè) P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15,;,;,第五節(jié),有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).,1. 求證曲線,證明：,備用題,令,得,從而三個(gè)

32、拐點(diǎn)為,因?yàn)?所以三個(gè)拐點(diǎn)共線.,,,=,證明:,當(dāng),時(shí), 有,證明: 令,, 則,是凸函數(shù),即,2 .,(自證),第五節(jié),,二、最大值與最小值問(wèn)題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與,最大值最小值,第三章,定義:,在其中當(dāng),時(shí),,(1),則稱 為 的極大值點(diǎn) ,,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極小值點(diǎn) ,,稱 為函數(shù)的極小值 .

33、,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .,一、函數(shù)的極值及其求法,注意:,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如 ,,為極大值點(diǎn),,是極大值,是極小值,為極小值點(diǎn),,函數(shù),定理 1 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),,(自證),點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放\暫停,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值

34、可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表判別,,,是極大值點(diǎn)，,其極大值為,是極小值點(diǎn)，,其極小值為,,,,定理2 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,,,證: (1),存在,,,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小

35、值 ;,又,故需用第一判別法判別.,,,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),,是極小點(diǎn) ;,是極大點(diǎn) .,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),,為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn) .,,,當(dāng) 充分接近 時(shí), 上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定 ,,故結(jié)論正確 .,證:,利用 在 點(diǎn)的泰勒公式 ,,可得,例如 , 例2中,極值的判別法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.,說(shuō)明:,當(dāng)這些充分

36、條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .,例如:,為極大值 ,,但不滿足定理1,~ 定理3 的條件.,,二、最大值與最小值問(wèn)題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),,當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值

37、 , 則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn),是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),,例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,,因此也可通過(guò),例3. 求函數(shù),說(shuō)明:,求最值點(diǎn).,與,最值點(diǎn)相同 ,,由于,令,( 自己練習(xí) ),,在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,( k 為某常數(shù) ),,例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km

38、 , 工廠C 距 A 處20,AC⊥ AB ,,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn),為使貨物從B 運(yùn)到工,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小值點(diǎn) ,,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,,從而為最小值點(diǎn) ,,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?,km ,,公路,,價(jià)之比為3:5 ,,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,,問(wèn)矩形截面,的高 h 和 b 應(yīng)如

39、何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,,,,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 ,,駐點(diǎn)只一個(gè),,故所求,結(jié)果就是最好的選擇 .,用開(kāi)始移動(dòng),,,,例6. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 F 作,解: 克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題 .,設(shè)摩擦系數(shù),,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值

40、問(wèn)題 .,,清楚(視角? 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在 ,,唯一,,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,存在一個(gè)取得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平? 如果存在, 找出它來(lái).,售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是,例8. 設(shè)某工廠生產(chǎn)

41、某產(chǎn)品 x 千件的成本是,解: 售出 x 千件產(chǎn)品的利潤(rùn)為,問(wèn)是否,故在 x2 = 3.414千件處達(dá)到最大利潤(rùn),,而在 x1= 0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.,說(shuō)明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱為邊際成本,稱為邊際收入,稱為邊際利潤(rùn),由此例分析過(guò)程可見(jiàn), 在給出最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平上,即邊際收入＝邊際成本,（見(jiàn)右圖）,,,,,即,收益最大,虧損最大,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充

42、分條件,過(guò),由正變負(fù),,為極大值,過(guò),由負(fù)變正,,為極小值,(3) 第二充分條件,,為極大值,,為極小值,,,(4) 判別法的推廣,定理3,定理3,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .,思考與練習(xí),2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,,取得極大值 ;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號(hào)性,2. 設(shè),(A) 不可導(dǎo) ;,(B) 可導(dǎo)

43、, 且,(C) 取得極大值 ;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,3. 設(shè),是方程,的一個(gè)解,,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示:,A,作業(yè),P162 1 (5), (9); 2 ; 3 ; 5 ; 10; 14; 15,第六節(jié),試問(wèn),為何值時(shí),,在,

44、時(shí)取得極值,,還是極小.,解:,由題意應(yīng)有,又,備用題 1.,求出該極值,,并指出它是極大,即,試求,解:,2.,故所求最大值為,第六節(jié),,第六節(jié),一、 曲線的漸近線,二、 函數(shù)圖形的描繪,函數(shù)圖形的描繪,第三章,無(wú)漸近線 .,點(diǎn) M 與某一直線 L 的距離趨于 0,,一、 曲線的漸近線,定義 . 若曲線 C上的點(diǎn)M 沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn),時(shí),,則稱直線 L 為,曲線C 的漸近線 .,例如, 雙曲線,有漸近線,但拋物線,,或?yàn)椤翱v坐

45、標(biāo)差”,,,,,,1. 水平與鉛直漸近線,若,則曲線,有水平漸近線,若,則曲線,有鉛直漸近線,例1. 求曲線,的漸近線 .,解:,為水平漸近線;,為鉛直漸近線.,,,,,2. 斜漸近線,斜漸近線,若,,,,,,,( P76 題14),例2. 求曲線,的漸近線.,解:,又因,為曲線的斜漸近線 .,二、函數(shù)圖形的描繪,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn)

46、 ;,4. 求漸近線 ;,5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .,為 0 和不存在,的點(diǎn) ;,并考察其對(duì)稱性及周,,例3. 描繪,的圖形.,解: 1) 定義域?yàn)?無(wú)對(duì)稱性及周期性.,2),3),,,,,(拐點(diǎn)),4),,例4. 描繪方程,的圖形.,解: 1),定義域?yàn)?2) 求關(guān)鍵點(diǎn).,原方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,①,①兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,,3) 判別曲線形態(tài),,,,,(極大),(極小),4) 求漸近線,為鉛直漸近線,無(wú)定義,,又因

47、,即,5) 求特殊點(diǎn),,,為斜漸近線,,6）繪圖,(極大),(極小),斜漸近線,鉛直漸近線,特殊點(diǎn),,,,,,例5. 描繪函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域?yàn)?圖形對(duì)稱于 y 軸.,2) 求關(guān)鍵點(diǎn),,,3) 判別曲線形態(tài),(極大),(拐點(diǎn)),,為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,,,水平漸近線 ; 垂直漸近線;,內(nèi)容小結(jié),,1. 曲線漸近線的求法,斜漸近線,,按作圖步驟進(jìn)行,2. 函數(shù)圖形的描繪,思考與練習(xí),1. 曲線,(

48、A) 沒(méi)有漸近線；,(B) 僅有水平漸近線；,(C) 僅有鉛直漸近線；,(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.,提示:,拐點(diǎn)為 ,,凸區(qū)間是 ,,2. 曲線,的凹區(qū)間是 ,,提示:,及,漸近線 .,,,P76 14 (2);

49、 P169 2 ; 5,作業(yè),第七節(jié),備用題 求笛卡兒葉形線,的漸近線 .,解: 令 y = t x ,,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :,因,,,,所以笛卡兒葉形線有斜漸近線,葉形線,笛卡兒葉形線,笛卡兒葉形線,,,,參數(shù)的幾何意義:,圖形在第四象限,圖形在第二象限,圖形在第一象限,,,,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停,,,第七節(jié),曲線的彎曲程度,與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān),,主要內(nèi)容:,一、 弧微分,

50、二、 曲率及其計(jì)算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,,,,,,,,,平面曲線的曲率,第三章,一、 弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),,其圖形為 AB,,,弧長(zhǎng),,,,,,,,,,則弧長(zhǎng)微分公式為,或,幾何意義:,若曲線由參數(shù)方程表示:,,二、曲率及其計(jì)算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開(kāi)始取弧段, 其長(zhǎng)為,對(duì)應(yīng)切線,定義,弧段 上的平均曲率,,,,點(diǎn) M 處的曲率,注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,轉(zhuǎn)角為,例1.

51、 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解: 如圖所示 ,,可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,,,,,,,有曲率近似計(jì)算公式,故曲率計(jì)算公式為,又,曲率K 的計(jì)算公式,二階可導(dǎo),,設(shè)曲線弧,則由,說(shuō)明:,(1) 若曲線由參數(shù)方程,給出, 則,,(2) 若曲線方程為,則,例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,處的曲率.,點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停,,說(shuō)明:,鐵路

52、轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車,平穩(wěn)安全,,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn),且 l << R.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度,,離心力必須,連續(xù)變化 ,,因此鐵道的,曲率應(yīng)連續(xù)變化 .,例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,且 l << R.,處的曲率.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度,,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn),解:,顯然,,,,,,,例3. 求橢圓,在何處曲率最大?,解:,故曲率為,K

53、最大,最小,,,求駐點(diǎn):,,,設(shè),從而 K 取最大值 .,這說(shuō)明橢圓在點(diǎn),處曲率,,,,計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:,最大.,,,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,,在點(diǎn),在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,,R 叫做曲率半徑,,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M

54、處作曲線的切線和法線,,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使,,設(shè)曲線方程為,且,求曲線上點(diǎn)M 處的,曲率半徑及曲率中心,設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿足方程組,的坐標(biāo)公式 .,滿足方程組,,,由此可得曲率中心公式,當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線,移動(dòng)時(shí),,的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線 ,,相應(yīng)的曲率中心,曲率中心公式可看成漸,曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線 .,,屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或

55、暫停,例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設(shè)橢圓方程為,由例3可知, 橢圓在,,處曲率最大,,即曲率半徑最小, 且為,,顯然, 砂輪半徑不超過(guò),才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 ,,或有的地方磨不到的問(wèn)題.,,例3,( 仍為擺線 ),例5. 求擺線,的漸屈線方程 .,解:,代入曲率中心公式,,,得漸屈線方程,擺線,,,擺線,擺線,擺線,,半徑為 a 的圓周沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),,點(diǎn)擊

56、圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停,,其上定點(diǎn),M 的軌跡即為擺線 .,參數(shù)的幾何意義,擺線的漸屈線,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停,內(nèi)容小結(jié),1. 弧長(zhǎng)微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,曲率中心,,思考與練習(xí),1. 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?,答: 有公切線 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求雙曲線,的曲率半徑 R , 并分析何處 R 最小?,解:,則,,利用,作業(yè),第八節(jié),P177 4 ； 5 ； 7 ；

57、 8 ； *9,,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,習(xí)題課,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第三章,,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,,,,,,,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論,3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,,(2

58、) 若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用柯,西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .,例1. 設(shè)函數(shù),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點(diǎn),再取異于,的點(diǎn),對(duì),為端點(diǎn)的區(qū)間上用

59、拉氏中值定理,,得,(定數(shù)),可見(jiàn)對(duì)任意,即得所證 .,例2. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù), 在,證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,,故至,使,即有,少存在一點(diǎn),例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,,故有,將①代入② , 化簡(jiǎn)得,故有,①,②,即要證,例4. 設(shè)實(shí)數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 (

60、 0 , 1) 內(nèi)至少有一,個(gè)實(shí)根 .,證: 令,則可設(shè),且,由羅爾定理知存在一點(diǎn),使,即,例5.,設(shè)函數(shù) f (x) 在[ 0, 3 ]上連續(xù), 在( 0, 3 )內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫為,(2003考研),試證必存在,想到找一點(diǎn) c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[ 0, 2 ]上連續(xù), 且在,[ 0, 2 ]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),,由羅爾定理

61、知, 必存在,例6. 設(shè)函數(shù),在,上二階可導(dǎo),,且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點(diǎn) ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問(wèn)題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限 ;,幾何應(yīng)用 ;,相關(guān)變化率;,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,4. 補(bǔ)充定理 (見(jiàn)下頁(yè)),設(shè)函數(shù),在,上具有n 階導(dǎo)數(shù),,且,則當(dāng),時(shí),證: 令,則,利

62、用,在,處的 n －1 階泰勒公式得,因此,時(shí),定理.,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例7. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,,,單調(diào)增區(qū)間為

63、 ;,,,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點(diǎn)為,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,,,,,,,,,例8. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,,,,故當(dāng) x > 0 時(shí),

64、,從而,在,上單調(diào)增.,得,例9. 設(shè),在,上可導(dǎo), 且,證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,證: 設(shè),則,故,在,上連續(xù)單調(diào)遞增,,從而至多只有,一個(gè)零點(diǎn) .,又因,因此,也至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,思考: 若題中,改為,其他不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?,,,,例10. 求數(shù)列,的最大項(xiàng) .,證: 設(shè),用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得,令,得,,,因?yàn)?在,只有唯一的極大值點(diǎn),因此,在 處,也取最大值 .,又因,中的最大項(xiàng) .,

65、極大值,,,列表判別:,例11. 證明,證: 設(shè),, 則,故,時(shí),,單調(diào)增加 ,,從而,即,思考: 證明,時(shí), 如何設(shè)輔助,函數(shù)更好 ?,提示:,例12. 設(shè),在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 ,,有,證: 設(shè),則,所以當(dāng),令,得,即所證不等式成立 .,,,證明對(duì)一切,例13.,證: 只要證,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14. 證明當(dāng) x > 0 時(shí),,證: 令,則,法1. 由,在,處的二階泰勒公式 ,,

66、得,故所證不等式成立 .,與 1 之間),法2. 列表判別.,,,,,,,,,即,,例15. 求,解法1 利用中值定理求極限,原式,,,解法2 利用泰勒公式,令,則,原式,,解法3 利用洛必達(dá)法則,原式,,,P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20,作業(yè),備用題,1. 設(shè)函數(shù),上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足,證：,故序列,發(fā)散.,,

67、,(2007 考研）,保號(hào)性 定理,2. 設(shè),在區(qū)間,上連續(xù) , 且,試證存在,使,證: 不妨設(shè),,必有,使,故,保號(hào)性 定理,,必有,使,故,又在,上,連續(xù),,由零點(diǎn)定理知, 存在,使,3. 已知函數(shù),內(nèi)可導(dǎo), 且,證: (1) 令,故存在,使,即,(2005 考研）,,內(nèi)可導(dǎo), 且,(2) 根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在,,使,3. 已知函數(shù),,,階導(dǎo)數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足,4. 設(shè)函數(shù),證:,據(jù)泰勒定理, 存