1、第九章 列聯(lián)分析,第九章 列聯(lián)分析,第一節(jié) 列聯(lián)表 第二節(jié) ?? 分布與 ?? 檢驗第三節(jié) 列聯(lián)表中的相關(guān)測量,學習目標,1.解釋列聯(lián)表進行 c2 檢驗一致性檢驗獨立性檢驗3.測度列聯(lián)表中的相關(guān)性,數(shù)據(jù)的類型與列聯(lián)分析,品質(zhì)數(shù)據(jù),品質(zhì)隨機變量的結(jié)果表現(xiàn)為類別例如：性別 (男, 女)各類別用符號或數(shù)字代碼來測度使用定類或定序尺度你吸煙嗎? 1.是；2.否你贊成還是反對這一改革方案?1.贊成

2、；2.反對對品質(zhì)數(shù)據(jù)的描述和分析通常使用列聯(lián)表可使用???檢驗,,第一節(jié) 列聯(lián)表,一. 列聯(lián)表的構(gòu)造二. 列聯(lián)表的分布,列聯(lián)表的構(gòu)造,列聯(lián)表（概念要點）,由兩個以上的變量進行交叉分類的頻數(shù)分布表行變量的類別用 r 表示， ri 表示第 i 個類別列變量的類別用 c 表示， cj 表示第 j 個類別每種組合的觀察頻數(shù)用 fij 表示表中列出了行變量和列變量的所有可能的組合，所以稱為列聯(lián)表一個 r 行 c 列的列聯(lián)

3、表稱為 r ? c 列聯(lián)表,列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)（2 ? ? 列聯(lián)表）,,列(cj),行 (ri),一個2 ? ? 列聯(lián)表,列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)（r ? c 列聯(lián)表的一般表示）,,列(cj),行(ri),r 行 c 列的列聯(lián)表,fij 表示第 i 行第 j 列的觀察頻數(shù),列聯(lián)表（一個實際例子）,【例】一個集團公司在四個不同的地區(qū)設有分公司，現(xiàn)該集團公司欲進行一項改革，此項改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽樣調(diào)查方式，從四個分公司共抽取42

4、0個樣本單位(人)，了解職工對此項改革的看法，調(diào)查結(jié)果如下表,列聯(lián)表的分布,觀察值的分布（概念要點）,邊緣分布行邊緣分布行觀察值的合計數(shù)的分布例如，贊成改革方案的共有279人，反對改革方案的141人列邊緣分布列觀察值的合計數(shù)的分布例如，四個分公司接受調(diào)查的人數(shù)分別為100人，120人，90人，110人條件分布與條件頻數(shù)變量 X 條件下變量 Y 的分布，或在變量 Y 條件下變量 X 的分布每個具體的觀察值稱為條件頻

5、數(shù),觀察值的分布（圖示）,行邊緣分布,列邊緣分布,條件頻數(shù),百分比分布（概念要點）,條件頻數(shù)反映了數(shù)據(jù)的分布，但不適合進行對比為在相同的基數(shù)上進行比較，可以計算相應的百分比，稱為百分比分布行百分比：行的每一個觀察頻數(shù)除以相應的行合計數(shù)（fij / ri）列百分比：列的每一個觀察頻數(shù)除以相應的列合計數(shù)（ fij / cj ）總百分比：每一個觀察值除以觀察值的總個數(shù)（ fij / n ）,百分比分布（圖示）,總百分比,列百分比

6、,行百分比,行百分比分布（圖示）,列百分比分布（圖示）,總百分比,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢驗）,在全部420個樣本中，贊成改革方案的有279 個，占到總數(shù)的 r_1/n=279/420=66.4%， 即從總體上看，約有2/3的調(diào)查對象對這項改革方案表示贊同。在全部420個樣本中，反對改革方案的有141個，占到總數(shù)的 r_2/n=141/420=

7、33.6%，,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢驗）,如果我們希望進一步了解各分公司對這項改革方案的是否存在差異，。。。我們可以先假設各分公司對這項改革方案的看法相同，也就是說，各分公司贊成該項改革方案的人數(shù)的比例相同，i.e. P1 = P2 = P2 = P4 這個比例可用 279/420=66.4%（= P1 = P2 = P2 = P4 ） 來估計。,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢

8、驗）,因此， (如果看法一致)第一分公司贊成這項改革方案的期望人數(shù)為第一份公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*贊成的比例=100* P1=100*66.4%=66=C_1* (R_1/n )=C_1*R_1/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢驗）,因此， (如果看法一致)第一分公司反對這項改革方案的期望人數(shù)為第一份公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*反對的比例=100* （1-P1 ）=100*33.6%=34=C_1* (R_2/n )=

9、C_1*R_2/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢驗）,因此， (如果看法一致)第二分公司贊成這項改革方案的期望人數(shù)為第二分公司被調(diào)查的總?cè)藬?shù)*贊成的比例=120* P1=120*66.4%=34=C_2* (R_1/n )=C_2*R_1/n,期望頻數(shù)的分布（概念要點 一致檢驗）,第i行j列的期望頻數(shù),期望頻數(shù)的分布（算例）,?根據(jù)上述公式計算的前例的期望頻數(shù),第二節(jié) ?? 分布與 ?? 檢驗,一.

10、 ?? 統(tǒng)計量 ?? 檢驗,?? 統(tǒng)計量,?? 統(tǒng)計量（要點）,用于檢驗列聯(lián)表中變量之間是否存在顯著性差異，或者用于檢驗變量之間是否獨立計算公式為,?? 統(tǒng)計量（算例）,,合計：3.0319,?? 檢驗,品質(zhì)數(shù)據(jù)的假設檢驗,一致性檢驗（要點）,檢驗列聯(lián)表中目標變量之間是否存在顯著性差異檢驗的步驟為提出假設H0：P1 = P2 = … = Pj (目標變量的各個比例一致)H1：P1 , P2 , … ,

11、Pj 不全相等 (各個比例不一致)計算檢驗的統(tǒng)計量,進行決策根據(jù)顯著性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值??2若?2???2，拒絕H0；若?2<??2，接受H0,自由度計算說明表,一致性檢驗（實例）,提出假設H0：P1 = P2 = P2 = P4 (贊成比例一致)H1：P1 , P2 , P3 , P4不全相等 (贊成比例不一致)計算檢驗的統(tǒng)計量,【例】續(xù)前例，檢

12、驗職工的態(tài)度是否與所在單位有關(guān)？(? ?0.1),根據(jù)顯著性水平?＝0.1和自由度(2-1)(4-1)=3查出相應的臨界值??2=6.251。由于?2=3.0319<??2=6.251，接受H0,獨立性檢驗（要點）,檢驗列聯(lián)表中的行變量與列變量之間是否獨立檢驗的步驟為提出假設H0：行變量與列變量獨立H1：行變量與列變量不獨立計算檢驗的統(tǒng)計量,進行決策根據(jù)顯著性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出臨界值??2若?2

13、???2，拒絕H0；若?2<??2，接受H0,獨立性檢驗（實例）,【例】一種原料來自三個不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個不同等級。從這批原料中隨機抽取500件進行檢驗，結(jié)果如下表。檢驗各地區(qū)與原料之間是否存在依賴關(guān)系（? ?0.05),獨立性檢驗（實例）,提出假設H0：地區(qū)與原料等級之間獨立H1：地區(qū)與原料等級之間不獨立計算檢驗的統(tǒng)計量,根據(jù)顯著性水平?＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相應的臨界值??2=9.

14、488。由于?2=19.82>??2＝9.448，拒絕H0,期望頻數(shù)的分布（概念要點）,假定行變量和列變量是獨立的一個實際頻數(shù) fij 的期望頻數(shù) eij ，是總頻數(shù)的個數(shù) n 乘以該實際頻數(shù) fij 落入第 i 行 和第j列的概率，即,期望頻數(shù)的分布（算例）,例如，第1行和第1列的實際頻數(shù)為 f11 ,它落在第1行的概率估計值為該行的頻數(shù)之和r1除以總頻數(shù)的個數(shù) n ，即：r1/n；它落在第1列的概率的估計值為該列的頻數(shù)之

15、和c1除以總頻數(shù)的個數(shù) n ，即：c1/n 。根據(jù)概率的乘法公式，該頻數(shù)落在第1行和第1列的概率應為,由于觀察頻數(shù)的總數(shù)為n ，所以f11 的期望頻數(shù) e11 應為,,第三節(jié) 列聯(lián)表中的相關(guān)測量,一. ? 相關(guān)系數(shù) 列聯(lián)相關(guān)系數(shù) V 相關(guān)系數(shù),列聯(lián)表中的相關(guān)測量（一般問題）,品質(zhì)相關(guān)對品質(zhì)數(shù)據(jù)(定類和定序數(shù)據(jù))之間相關(guān)程度的測度列聯(lián)表變量的相關(guān)屬于品質(zhì)相關(guān)列聯(lián)表相關(guān)測量的指標主要有? 相關(guān)系數(shù)列聯(lián)相關(guān)系數(shù)V

16、 相關(guān)系數(shù),? 相關(guān)系數(shù)（要點）,測度 2?2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)相關(guān)程度的一個量對于2?2 列聯(lián)表，? 系數(shù)的值在0～1之間 ? 相關(guān)系數(shù)計算公式為,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,一個簡化的 2?2 列聯(lián)表,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,列聯(lián)表中每個單元格的期望頻數(shù)分別為,將各期望頻數(shù)代入 ?? 的計算公式得,? 相關(guān)系數(shù)（原理分析）,將??入? 相關(guān)系數(shù)的計算公式得,ad 等于 bc ， ? = 0，表明變量X 與 Y 之間獨立

17、若 b=0 ，c=0，或a=0 ，d=0，意味著各觀察頻數(shù)全部落在對角線上，此時|?| =1,表明變量X 與 Y 之間完全相關(guān),列聯(lián)表中變量的位置可以互換，?的符號沒有實際意義，故取絕對值即可,列完全相關(guān)的兩種情形,列完全相關(guān)的兩種情形,列聯(lián)相關(guān)系數(shù)（要點）,用于測度大于2?2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的相關(guān)程度計算公式為,C 的取值范圍是 0?C<1C = 0表明列聯(lián)表中的兩個變量獨立C 的數(shù)值大小取決于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，并隨行數(shù)

18、和列數(shù)的增大而增大根據(jù)不同行和列的列聯(lián)表計算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較,V 相關(guān)系數(shù)（要點）,計算公式為,V 的取值范圍是 0?V?1 V = 0表明列聯(lián)表中的兩個變量獨立 V=1表明列聯(lián)表中的兩個變量完全相關(guān)不同行和列的列聯(lián)表計算的列聯(lián)系數(shù)不便于比較當列聯(lián)表中有一維為2，min[(r-1),(c-1)]=1,此時V=?,?、C、V 的比較,同一個列聯(lián)表，?、C、V 的結(jié)果會不同不同的列聯(lián)表，?、C、V 的結(jié)果也不同在對不同列

19、聯(lián)表變量之間的相關(guān)程度進行比較時，不同列聯(lián)表中的行與行、列與列的個數(shù)要相同，并且采用同一種系數(shù),列聯(lián)表中的相關(guān)測量（一個實例）,【例】一種原料來自三個不同地區(qū)，原料質(zhì)量被分成三個不同等級。從這批原料中隨機抽取500件進行檢驗，結(jié)果如下表。分別計算?系數(shù)、C系數(shù)和V系數(shù)，并分析相關(guān)程度,列聯(lián)表中的相關(guān)測量（一個實例）,解：已知n=500，根據(jù)前面的計算??＝19.82，列聯(lián)表為3?3,結(jié)論：三個系數(shù)均不高，表明產(chǎn)地和原料等級之

20、 間的相關(guān)程度不高,,第四節(jié) 列聯(lián)分析中應注意的問題,一. 條件百分表的方向 c2 分布的期望值準則,條件百分表的方向,一般，列聯(lián)表中變量的位置是任意的。即變量X既可放在列的位置，也可放在行的位置。如果變量X與變量Y存在因果關(guān)系，令X為自變量（原因），Y為因變量（結(jié)果），那么一般的做法是把自變量X放在列的位置，條件百分表也多按自變量的方向計算，因為這樣便于更好地表現(xiàn)原因?qū)Y(jié)果的影響。如下例：,職業(yè)背景

21、與工作價值觀取向,例外情形,如果因變量在樣本內(nèi)的分布不能代表其在總體內(nèi)的分布，例如，為了分析的需要，抽樣時擴大了因變量的某項內(nèi)容的樣本容量， 這時如果仍以自變量的方向計算百分比就會歪曲實際情況。,實例,社會學家欲研究家庭狀況（自變量）對青少年犯罪（因變量）的影響。該地區(qū)有未犯罪的紀錄的青少年10 000名，有犯罪記錄的青少年150名。如果從未犯罪青少年中抽取1%，即100名進行研究，則用相同比例從犯罪青少年中抽取的樣本量僅為1.5人

22、。顯然這樣少的數(shù)量無法滿足對比研究的需要。因此，對犯罪青少年的抽樣必要擴大，譬如擴大到1/2，即抽取75人。數(shù)據(jù)如下：,家庭狀況與青少年犯罪,家庭狀況與青少年犯罪（條件百分表）,歪曲的比例：完整家庭中，犯罪青少年占的比例 是29%，原因時抽樣事擴大了對犯罪青少年抽取的數(shù)量,家庭狀況與青少年犯罪（按因變量方向計算條件百分表）,從上表可見：完整家庭中，未犯罪青少年占的比例是92%，而在離異家庭中這個比例進為8%,c2 分布的期

23、望值準則,用c2 分布進行獨立性檢驗，要求樣本容量必須足夠大，特別使每個單元中的期望頻數(shù)（理論頻數(shù)）不能過小，否則應用c2 檢驗可能會得出錯誤的結(jié)論。關(guān)于小單元次數(shù)通常有兩個準則：,如果只有兩個單元，每個單元的期望頻數(shù)必須是5或5以上。如果有兩個以上的單元，如果20%的單元期望頻數(shù)f_e小于5，則不能應用c2 檢驗。,c2 檢驗 只有兩個單元的情形,每個單元的期望頻數(shù)必須是5或5以上可以使用c2 檢驗,c2 檢驗 兩個以上

24、的單元情形,如果20%的單元期望頻數(shù)f_e小于5，則不能應用c2 檢驗,可以應用c2 檢驗,,6個單元中只有1個單元的期望頻數(shù)<51/6<20%,不可以應用c2 檢驗,,7個單元中有3個單元的期望頻數(shù)20%如果應用c2 檢驗 ： c2 =14.01> 12.592=c2 _0.05（6） ，拒絕原假設。但實際上，期望值與觀察值擬合得很好,上例的修改,將這個例子中的某些類合并，使得f_e>=5,麻煩就會。將E