1、第七講 數(shù)學(xué)文化,目錄,一、概論二、數(shù)學(xué)美學(xué)三、數(shù)學(xué)思維四、數(shù)學(xué)哲學(xué)五、數(shù)學(xué)科學(xué)價值六、數(shù)學(xué)魅力七、數(shù)學(xué)史上的3次危機八、結(jié)語,一、 概論 什么是數(shù)學(xué) （美）R·柯朗（《數(shù)學(xué)是什么》）：“數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性?！?（英）羅素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊含q的命

2、題的類”， 而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。 因此“數(shù)學(xué)是我們永遠不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學(xué)科?！?哲學(xué)說符號說　科學(xué)說　工具說　邏輯說　創(chuàng)新說　直覺說 集合說,結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說） 模型說 活動說 精神說 審美說 藝術(shù)說　萬物皆數(shù)說,數(shù)學(xué)的15個“定義”,哲學(xué)說,亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的?！?古希臘，亞里士多德、歐幾里得 等人，《

3、幾何原本》：點是沒有部分的那種東西； 線是沒有寬度的長度。 牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來”。,數(shù)學(xué)與哲學(xué) 數(shù)學(xué)中“無限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學(xué)研究的對象。 “哲學(xué)從一門學(xué)科中退出， 意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟

4、?！?B.Demollins:“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！?哲學(xué)系的“邏輯學(xué)”專業(yè)與數(shù)學(xué)系的“數(shù)理邏輯”專業(yè)。,二、 數(shù)學(xué)美學(xué),（一）黃金分割點、完美數(shù)、mersen數(shù)、素數(shù)，無限數(shù)e與圓周率。 （二）斐波那契數(shù)列（三）對稱幾何：點對稱、線對稱、面對稱、球?qū)ΨQ。球面被認為最完美！古希臘對圓和球面的

5、美的最求促進了科學(xué)研究的發(fā)展。 代數(shù)與函數(shù)論：共軛數(shù)（共軛復(fù)數(shù)、共軛空間）。運算：交換律、分配律，函數(shù)與反函數(shù)運算。,（四）符號語言簡潔牛頓用數(shù)學(xué)語言展示了他的三大定律；愛因斯坦用黎曼幾何的語言闡述了他的廣義相對論；數(shù)學(xué)家用群論的語言解決了晶體分類的問題；經(jīng)濟學(xué)家用數(shù)學(xué)語言表述了經(jīng)濟運行的規(guī)律。物理中的布朗運動成為概率論中的語言，生物中的遺傳基因DNA，原來是數(shù)學(xué)中的雙螺旋線，醫(yī)學(xué)上已經(jīng)出現(xiàn)“數(shù)字化人體”的概念。,數(shù)學(xué)

6、語言是人類文明的共同語言 地球上不同地域的人們在不同時間各自獨立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長與直徑的比是一個常數(shù)”， “直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”等規(guī)律，數(shù)學(xué)語言超越不同語音成為人類文明人類思維的共同的符合語言。,“ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言,“ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言都是在不同歷史時期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語言，他們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。特別是集合論語言、公理化語言，現(xiàn)在已經(jīng)

7、成為數(shù)學(xué)語言的核心部分和公用形式。,,三、數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法，對人類思維發(fā)展具有不可或缺的作用和價值。,,邏輯思維：演繹 當(dāng)歸納具有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演繹思維最早來自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。 數(shù)學(xué)有極強的邏輯性和抽象性。,數(shù)學(xué)家在從事數(shù)學(xué)研究的同時，受一定哲學(xué)

8、觀念的支配，同時，研究成果也影響著他們的世界觀。畢達格拉斯、伽利略、笛卡兒、開普勒認為世界是數(shù)的體現(xiàn)，世界是按數(shù)學(xué)公式運行的，宇宙的書本是按數(shù)學(xué)寫成的。數(shù)與世界密不可分。許多數(shù)學(xué)家都是哲學(xué)家。,四、數(shù)學(xué)與哲學(xué),（一） 有限與無限數(shù)學(xué)概念的哲學(xué)思想 什么是悖論 悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。 例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是

9、錯的；但“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”又均是對的，這就是悖論。,再如：“萬物皆數(shù)”學(xué)說認為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。,芝諾悖論 芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設(shè)計了四個例證，人稱“芝諾悖論

10、”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個悖論。,四個芝諾悖論之一： 阿基里斯追不上烏龜。 癥結(jié)： 無限段長度或時間的和，可能是有限的。 芝諾悖論的意義： 促進了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 較早的“反證法”及“無限”的思想 尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾

11、 空間和時間有沒有最小的單位,芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛?。凰?，“運動只是假象，不動不變才是真實”。 芝諾如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻。,無限與有限： 在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)）。 在有限的情況下，部分

12、總是小于全體。,當(dāng)初的伽利略悖論，就是因為沒有看到 “無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

13、 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 … [ 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。],在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系： 數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。 極限 通過有限的方法，描寫無限的過程。

14、,,,,,,無窮級數(shù) 通過有限的步驟，求出無限次運算的結(jié)果，如 遞推公式 , a1 = * 因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語）,,,意識無限與實無限 1．意識無限與實無限 意識無限把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中。,從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種無限的觀點。他們認為“正

15、整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。,但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點。 康托的工作是劃時代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時，康托的老

16、師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當(dāng)時的處境和待遇都不太好。,康托Georg Ferdinand Philip Cantor (1845～1918) 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年

17、在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。,無限集合也有“大小” ——從“一一對應(yīng)”說起 實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。 正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。 實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)

18、集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。 不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。,“一一對應(yīng)”的觀點： “一一對應(yīng)”——雙射（單射+滿射） 集合的勢|A|——集合中元素的多少 |N| =可數(shù)無窮勢 a ， |Q|= a |R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢 c）, ：無理數(shù)比有理

19、數(shù)多得多。,無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是 a ；不存在最大的勢。 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決。 康托1882年曾認為他證明了這一假設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。 直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。,,（二）數(shù)學(xué)與宗教,1.科學(xué)與宗教 愛因斯坦：“沒有宗教的科學(xué)是瘸子，沒有科學(xué)的宗教是瞎子?！?,中世紀(jì)后期（公元11世紀(jì)至15世紀(jì)） 理性成為基

20、督神學(xué)的主要支柱，其標(biāo)志就是在11世紀(jì)產(chǎn)生的 “經(jīng)院哲學(xué)” 。 經(jīng)院哲學(xué)是與宗教神學(xué)相結(jié)合的唯心主義哲學(xué)，是天主教教會用來訓(xùn)練神職人員，在其所設(shè)經(jīng)院中教授的理論。 安瑟倫（經(jīng)院哲學(xué)的開創(chuàng)者）：邏輯三段論、演繹推理 托馬斯.阿奎那（經(jīng)院哲學(xué)的集大成者）：歸納推理 經(jīng)院哲學(xué)運用理性形式通過抽象而煩瑣的辯證方法論證基督教信仰 。他們的論證引出了科

21、學(xué)論證的風(fēng)氣。雖然比較枯燥和晦澀，但客觀上導(dǎo)致了一種方法論。,,文藝復(fù)興時期（ 17世紀(jì) ） 幾乎17世紀(jì)的科學(xué)家都是自然神論者，沒有一個不信奉上帝。 自然神論：上帝是最大的理性，是規(guī)律；大自然是上帝的杰作，體現(xiàn)了上帝的偉大神性，我們認識自然的規(guī)律與和諧性就是對上帝的信仰和膜拜。牛頓定律掌管世界的運行。 自然神論的意義：為科學(xué)爭得一席之地，科學(xué)不再需要宗教的指手畫腳，

22、只需承認世界由上帝創(chuàng)造即可。,,18世紀(jì)法國崛起的無神論者徹底把上帝從自然界趕了出去，他們認為不存在超理性的東西，無須在自然界尋求奇跡和奧秘。 他們只要自然，不要上帝，把一切都拉入理性的旗幟下面，理性成為萬能的。,,康德把科學(xué)與宗教截然分開。一方面：科學(xué)屬于人類經(jīng)驗范圍，而宗教是超經(jīng)驗的。如果我們僭越自身的經(jīng)驗去追求不在經(jīng)驗范圍內(nèi)的上帝，只會導(dǎo)致二律背反，這樣康德就徹底而系統(tǒng)地把上帝從自然中驅(qū)逐出去。另一

23、方面：在另外一個靈魂不朽的世界里，上帝會按照每個人的德行對其進行審判。只有這樣才能使科學(xué)不斷的發(fā)展，而同時社會的道德水平又可以保持在一個較高的狀態(tài)。即，宗教可以給人提供道德，而道德將給科學(xué)指明方向。（醫(yī)學(xué)倫理學(xué)、生命倫理學(xué)、環(huán)境倫理學(xué)、宇宙?zhèn)惱韺W(xué)等）,2.中世紀(jì)的數(shù)學(xué),占星術(shù)：中世紀(jì)的早期，數(shù)學(xué)這個名詞所表示的意義就是占星術(shù)。這是由于想要研究星球的運轉(zhuǎn)，豐富的數(shù)學(xué)知識是必需的，因此，占星術(shù)的教授就叫做Mathemathici

24、i。 中世紀(jì)的占星術(shù)并沒有被認為是愚蠢及天真的人所沉溺的迷信，相反地，它被認為是一種科學(xué)。而且其原理被接受的程度，就如同后來人們接受哥白尼的天文學(xué)及十九世紀(jì)的萬有引力定律一般。培根、卡丹以及開普勒也贊同占星術(shù)的理論，同時用他們豐富的科學(xué)及數(shù)學(xué)知識來研究它。甚至伽利略也曾對醫(yī)學(xué)院的學(xué)生演講天文方面的知識，以供他們應(yīng)用在占星術(shù)上。,,數(shù)學(xué)與基督教會之間的關(guān)系 一方面：教會在編制歷法，特別是在推算

25、復(fù)活節(jié)的日期時，占星術(shù)、幾何學(xué)以及算學(xué)的知識是非常重要的。所以在歐洲的每一所修道院內(nèi)，都至少有一位修道士能夠執(zhí)行這項工作。 另一方面：數(shù)學(xué)可用來當(dāng)作研究神學(xué)的入門。這是由于在中世紀(jì)后期，從阿拉伯傳入大量被翻譯成拉丁文的希臘抄本，特別是亞里士多德的學(xué)說和邏輯，更是為當(dāng)時人所熟知。因此教會必須面臨的挑戰(zhàn)就是如何去調(diào)和亞里士多德哲學(xué)和天主教的神學(xué)、形而上學(xué)和啟示錄之間的一致性。此時以阿奎那為代表的經(jīng)院派學(xué)者對這些

26、基督教義作出了全然理性的護衛(wèi)，為神學(xué)提供了一個嚴(yán)謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，并且融合了天主教義和亞里士多德的哲學(xué)而成為一個合理的體系，從而為阿奎那贏得了“精神上的歐幾里得”的頭銜。,,印度人:應(yīng)用巴比倫人的位值原理，建立了十進位的觀念，并且將巴比倫的分開符號轉(zhuǎn)變成發(fā)展完備的零記號。據(jù)歷史記載，印度人最先完整地創(chuàng)造了一種非常重要的新概念，那就是負數(shù)的概念。阿拉伯人:在數(shù)學(xué)上突出成就，主要表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)方面。更為重要的是，阿拉伯人

27、將古代東方數(shù)學(xué)文化傳播到了歐州，從而為歐洲近代代數(shù)學(xué)的建立作出了不可磨滅的貢獻。,,《幾何原本》與《圣經(jīng)》 《幾何原本》和《圣經(jīng)》，一個是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的杰作，一個是基督教典籍；一個是嚴(yán)謹精確的，另一個又是超越理性的。 這兩本書在結(jié)構(gòu)和根基上以及對人類文明的貢獻上都有著許多相似之處。 直到現(xiàn)在還有很多人由于對數(shù)學(xué)的本質(zhì)不了解，以為數(shù)學(xué)是個奧秘；同樣的，《圣經(jīng)》中的神

28、圣啟示對于很多人甚至基督徒也是個深不可測的奧秘。但是一旦接受開啟，這個奧秘就可以成為人們真實的經(jīng)歷和享受。,,《幾何原本》是古希臘偉大學(xué)者歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一書。既是一本數(shù)學(xué)巨著，也是一本哲學(xué)巨著，在長達兩千多年的時間里它經(jīng)歷多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷版本出版，至今已經(jīng)有1000多種不同的版本。除《圣經(jīng)》以外沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠與《幾何原本》相比?！?/p>

29、圣經(jīng)》更是一部不朽的著作，歷經(jīng)3400年而不衰（《圣經(jīng)》中最古老的經(jīng)卷約成書于公元前1400年左右），其包含內(nèi)容之豐富，發(fā)行量之大是任何其他一本著作無法比擬的。據(jù)統(tǒng)計1984年共有1634種語言的《圣經(jīng)》譯本已經(jīng)完成，另有1200多種語言在翻譯之中。,,歐幾里得選擇了5條公設(shè)和5條定理，從這些有限的公設(shè)、公理以及最基本的一些定義出發(fā)，以形式邏輯的方法通過完美、嚴(yán)密的推理、演繹來論證命題，推演出整個幾何學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

30、 《圣經(jīng)》做為基督教神學(xué)系統(tǒng)的唯一一部典籍也有自己的信仰基石或者說不證自明的公理，那就是：圣父上帝是宇宙的創(chuàng)造者，死而復(fù)活的圣子耶穌是人類的拯救者，圣靈是居住在每一位被造者心中的啟示者，圣父、圣子、圣靈是三位一體的獨一真神。基督信仰者正是由于無條件接受了這樣的信仰基石，才會將自己的生命完全的交由上帝來掌管，遵循《圣經(jīng)》所教導(dǎo)的誡命、律例和典章。,,數(shù)學(xué)的神學(xué)使命 《圣經(jīng)》宣稱宇宙是由上帝創(chuàng)造的，但是沒有記載

31、他是按照什么法則創(chuàng)造出了如此完美和諧的宇宙，《圣經(jīng)》只是告訴人們上帝在完成了這一切工作之后就將管理世界的任務(wù)交給了人類。 而研究始于3000年前的數(shù)學(xué)就是探索空間理性的學(xué)科，是探索上帝存在的學(xué)科，是想找到宇宙“本基”的學(xué)科，是為了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案的學(xué)科。文藝復(fù)興時期的科學(xué)家都相信由上帝所創(chuàng)造的自然是數(shù)學(xué)化的，每一種自然現(xiàn)象都遵從數(shù)學(xué)定律。,,物理世界的性質(zhì)只有用數(shù)學(xué)表示出來才是真正可知的

32、。世界的結(jié)構(gòu)和行為是數(shù)學(xué)的，自然界按照亙古不變的十分精確的數(shù)學(xué)定律在運行。因此，上帝按照和諧的數(shù)學(xué)定律設(shè)計、創(chuàng)造了這個世界。人們只有通過艱苦的努力才能理解、領(lǐng)悟這種 秩序。這也就是為什么牛頓能夠?qū)ζD巨的、有時甚至是乏味的科學(xué)工作津津樂道，其原因就在于他認為這些工作為揭示上帝的旨意提供了線索。18世紀(jì)末期英國浪漫主義先驅(qū)威廉·布萊克在他的油畫《創(chuàng)造者》中，就將上帝描繪為手拿圓規(guī)測量天地的巨人。,,羅吉爾.培根:

33、大自然是用幾何語言寫成的。 笛卡爾：深信整個自然界就是一個巨大的幾何體系。 開普勒：宣稱世界的實在性由其數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)成。 伽利略：數(shù)學(xué)定律是現(xiàn)象的真正起因，數(shù)學(xué)原理是上帝描繪整個世界的字母，沒有數(shù)學(xué)原理的幫助，就不可能了解任何一個現(xiàn)象，人們只能徒勞地在黑暗的迷宮中徘徊。,,神秘的圣經(jīng)數(shù)字153三角數(shù)字：可以排列成如下圖形的數(shù)字

34、 ○ 1 ○ 1 ○ ○ 2

35、○ 1 ○ ○ 2 ○ ○ ○ 3 ○ ＋1 ○ ○ ＋2 ○ ○ ○ ＋3 ○ ○ ○ ○ ＋4 1 3 6

36、 10三角數(shù)字并非尋常。當(dāng)數(shù)目增大時，這些特別的數(shù)字就變得極為缺少。例如：在兩百萬，即 個自然數(shù)內(nèi)，其中的三角數(shù)還不到 個，平均只占千分之一。由等差數(shù)列求和公式可知，第 個三角數(shù)即為 。,,,,,,153的神奇性質(zhì) （三角數(shù)）

37、任取一個是3的倍數(shù)的自然數(shù)，然后進行如下變換：把該自然數(shù)所包含的各位數(shù)字的立方相加，其和再作為變換后的新數(shù)字。反復(fù)進行上述變換，經(jīng)過有限次以后，結(jié)果必然到達153。例如： 對24進行變換，過程是：24→72→351→153。 對123進行變換，過程是： 123→36→243→99→1458→702→351→153,,,,,自我生成數(shù)自我生成數(shù)：任意一個具有某種性質(zhì)的整數(shù)將它各

38、位上的數(shù)字，如果按照一定規(guī)則對其進行數(shù)次變換，最后落在一個不變的數(shù)上，這個不變的數(shù)就被稱作“自我生成數(shù)”，或者叫“自戀數(shù)”。因此，規(guī)則決定了什么樣的數(shù)是一個自我生成數(shù)。例如：任寫一個數(shù)字不相同的三位數(shù)(數(shù)字相同的111、222、333、……999除外)，將組成這個數(shù)的三個數(shù)字重新組合，使它成為由這三個數(shù)組成的最大數(shù)和最小數(shù)，而后求出這新組成的兩個數(shù)的差，再對求得的差重復(fù)上述過程，最后得到的的自我生成數(shù)是495。,,“圣經(jīng)

39、數(shù)”153的神學(xué)涵義公元5世紀(jì)亞歷山大主教西利爾（Cyril）153＝100＋50＋3，其中100代表外邦人的完全數(shù)，50代表將被聚集的以色列余民，3代表三位一體的真神。      5世紀(jì)前后神學(xué)家奧古斯丁由于153＝1＋2＋3＋……＋17；而17＝10＋7，其中10代表（摩西）十誡，7代表恩典，所以17代表借著律法和恩典到耶穌跟前來的所有人。  &#

40、160;   公元4世紀(jì)偉大圣經(jīng)學(xué)者耶柔米象征萬國萬民都要在基督面前聚集。 當(dāng)代圣經(jīng)學(xué)者巴克萊153說明了教會的普世性。所謂“普世性”，簡單地講就是教會不僅僅是教徒的教會，而應(yīng)該是全人類的教會。,圣經(jīng)故事中的“親和數(shù)對”與“半親和數(shù)對”,親和數(shù)對：兩個數(shù)被稱為親和數(shù)對，如果其中任意一個數(shù)的所有約數(shù)之和等于另外一個數(shù)。如圖，220和284是一對親和數(shù)。,,“萬物皆數(shù)”是古希臘“畢達哥拉斯學(xué)派”的重要思想，該

41、學(xué)派宣稱人之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛”。據(jù)說，一個門徒向畢達哥拉斯提出這樣一個問題：“我結(jié)交朋友時，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一樣親密?！?后來，人們把220和284叫做“親和數(shù)”或者叫“朋友數(shù)”或叫“相親數(shù)”，這就是關(guān)于“親和數(shù)”這個名稱來源的傳說。正是由于親和數(shù)對這種“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性質(zhì)，教會初期的幾百

42、年間有一個習(xí)慣：就是為了表達兩個人的友誼，每人各佩戴220和284這兩個數(shù)字中的一個。,五、數(shù)學(xué)的科學(xué)價值 （一）數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻,萬有引力定律?；陂_普勒行星運動的三大定律，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因為他發(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識和非常復(fù)雜的幾何知識與技巧。,“,相對論。愛因斯坦分別于1905年和1915年提出

43、狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時空觀的改變。愛因斯坦的時空觀認為時間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式。,,電磁波的發(fā)現(xiàn)。英國物理學(xué)家麥克 斯韋概括了由實驗建立起來的電磁 現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程 的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出 可能存在著電磁波并且這些電磁波 應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出 了光的電磁理論。

44、此外，他的結(jié)論 還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾?磁波。,,最近，兩位美國數(shù)學(xué)家解開了一個困擾科學(xué)界長達50年的“簡單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數(shù)學(xué)規(guī)律。該研究成果將對工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測產(chǎn)生深遠的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。 （氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率

45、）,,神州六號的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機的能力。在神舟六號的研制過程中，數(shù)學(xué)起了不可替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面。,,1973年，美國芝加哥大學(xué)學(xué)者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權(quán)定價模型（black-scholes option pricing model），對股票期權(quán)的定價作了詳細的討論。此后，不少學(xué)者（Merton）又對該模型進行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權(quán)定

46、價理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學(xué)知識。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟學(xué)獎。 （上圖為Merton，哈佛大學(xué)； 下圖為Scholes，芝加哥大學(xué)。）,素數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用 圓錐曲線論在行星運動開普勒三定律中的應(yīng)用 黎曼幾何在廣義相對論中的應(yīng)用 陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場理論中的應(yīng)用 正電子、黑洞與電磁

47、場的發(fā)現(xiàn) 諾貝爾物理學(xué)獎獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無可奈何地感嘆：“當(dāng)一個物理學(xué)家得到一個時，卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了?！?（二）統(tǒng)計數(shù)學(xué)的科學(xué)價值,在工業(yè)上的應(yīng)用Statistical Quality Control (On line)Taguchi Methods (Off-line)6 Sigma Methods Beginner, Black belt, Master bl

48、ack belt, Green belt, Champion, ExecutiveReliability,1986西格瑪方法被引入摩托羅拉公司,1987制定1992 應(yīng)達到西格瑪目標(biāo),1988 馬科姆·鮑德里奇全美質(zhì)量大獎,1991 引入“黑帶創(chuàng)意”,1992 每兩年減少缺陷十倍，運作周期每五年降低10倍。,1998 公司重組,1999 行為準(zhǔn)則，追求卓越和平衡的記分卡,2002 西格瑪業(yè)務(wù)改進,摩托羅拉公

49、司六西格瑪?shù)陌l(fā)展,2003 數(shù)字六西格瑪,Reliability,產(chǎn)品壽命分布及統(tǒng)計分析 恒進應(yīng)力壽命試驗 加速應(yīng)力壽命試驗截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 定時截尾 定數(shù)截尾,Design of Experiment,000001010011100101110111,乾、 坤、震、 巽、 坎、 離、 艮、 兌。,這是一個最基本的正交表,,Design of Experiment,３６軍

50、官問題（這是１８世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的） 設(shè)有６種軍銜和來自６個團的３６名軍官，能不能把他們排成６行６列的方陣，使得每行每列里都有每種軍銜的一名軍官和每個團的一名軍官？ 數(shù)學(xué)問題：是否存在6階的正交拉丁方？,SPRT檢驗,20世紀(jì)40年代，Wilks在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系工作，并任華盛頓海軍研究局顧問，成立了普林斯頓統(tǒng)計研究小組(SRG-P)。當(dāng)Theodore W. Anderson還是此小組的研究生時研究了如下課題：由于日

51、本人以隨機形態(tài)在海岸線上布滿地雷，而進攻日本本土日子越來越近，故美國需要找出一種毀壞地雷的有效方法。在此之前，歐洲曾嘗試過從飛機上丟炸彈來引爆地雷，但效果不好。于是，Anderson等人設(shè)計一種新方法，但實驗數(shù)據(jù)表明這種方法并不有效。這樣就導(dǎo)致美國在日本投下原子彈的原因之一。,SPRT檢驗,Wilks又在哥倫比亞大學(xué)組建了第二個統(tǒng)計研究小組(SRG-Pjr)，這個小組的成果之一即是提出了與此與此序貫分析（序貫分析當(dāng)時被列為最高機密，直至

52、戰(zhàn)爭結(jié)束多年后，參加這項研究的專家都不能對外發(fā)表論文）。后來，Abraham Wald通過高度抽象的理論歸納，提出了決策理論。,The Applications In Social Sciences,數(shù)據(jù)：美國佛羅里達，1976--1977年兇殺案結(jié)論：白人被判死刑的比例為：19/160=11.9% 黑人被判死刑的比例為：17/166=10.2%,The Applications In Social Scie

53、nces,Contingency Table （列聯(lián)表）,在IT業(yè)中的應(yīng)用,分類、搜索圖像或模式識別網(wǎng)絡(luò)完全（數(shù)字簽名）,統(tǒng)計在醫(yī)藥衛(wèi)生中的應(yīng)用,Biostatistics 制藥業(yè)（比對試驗） 疾病的診斷（Bayes方法，圖模型等） 病理分析 疾病的控制,The Applications In Bioinformation,六 、數(shù)學(xué)魅力,（一）混沌與分形 1967年法國數(shù)學(xué)家B.B.Mande

54、lbrot在《科學(xué)》雜志上發(fā)表文章“英國的海岸線有多長？”,Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。,在理論數(shù)學(xué)中，瑞典數(shù)學(xué)家Koch早在1904年就構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(Koch curve)的幾何對象。,,B.B.Mandelbrot： “1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)則的。

55、” “首先，它們處處無規(guī)則可言。其次 ，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形看起來一個模樣——它是自相似的。,,“整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。 ” “自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證

56、了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征?！?---- B.B.Mandelbrot,,Mandelbrot集,,1. 混沌的特點 1) 混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，這種隨機性與我們過去所了解的隨機性現(xiàn)象，比如拋硬幣等有很大的區(qū)別。 2) 混沌對初值的敏感依賴性。在線性系統(tǒng)中，小擾動只產(chǎn)生結(jié)果的小偏

57、差，但對混沌系統(tǒng)，則是“失之毫厘，謬以千里”。 3) 混沌不是簡單的無序，更不是通常意義下的有序。,,混沌的意義 1) 混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)危機是不同的。數(shù)學(xué)危機是人們對于數(shù)學(xué)根基的質(zhì)疑，而混沌則是人們在看似簡單的問題中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的現(xiàn)象。 2) 混沌絕不單單是有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象，它使我們對物質(zhì)世界有了更深一層的認識

58、，為我們研究自然的復(fù)雜性開辟了一條道路，同時也引出了關(guān)于物質(zhì)世界認識論上的一些哲學(xué)思考。,混沌學(xué)的應(yīng)用,通過對生命現(xiàn)象進行的考察，發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機，它們既有與自然界周期（季節(jié)，晝夜等）協(xié)調(diào)的一面，又有著內(nèi)在的復(fù)雜性質(zhì)。 20世紀(jì)20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過心臟搏動。近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混 沌運動的聯(lián)系。,,如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲癇患者發(fā)病

59、時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機訊號。 進一步測量表明它們不是隨機的，而是接近于混沌系統(tǒng)。 雖然距離最終認清它們還很遠，但現(xiàn)在已有人進行利用混沌過程預(yù)測和控制癲癇，心律不齊等等病癥。,,基于混沌理論的保密通信、信息加密和信息隱藏技術(shù)的研究已成為國際熱門前沿課題之一，也是高科技研究的一個新領(lǐng)域。 盡管已有許多混沌加密方案被提出，但混沌密碼學(xué)的理論還未完全

60、成熟，混沌密碼學(xué)的研究仍然是一個新的具有挑戰(zhàn)性的前沿課題。,,目前將將混沌理論應(yīng)用到經(jīng)濟理論上的研究也十分活躍，但混沌理論最現(xiàn)實應(yīng)用的應(yīng)屬于美國一交通工程師小組，他們在1988年把混沌與錯綜復(fù)雜的交通圖形聯(lián)系了起來，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把責(zé)任推給混沌。,（二）漁網(wǎng)的幾何規(guī)律,用數(shù)學(xué)方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：

61、 V + F – E = 1,多面體的歐拉公式,V + F – E = 2,數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來復(fù)雜的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律。,（三）四色問題,四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的

62、弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。,一百多年來許多數(shù)學(xué)家對四色問題進行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對于不超過25個國家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數(shù)目提高到27個。1936年弗蘭克林將國家的數(shù)目提高到31個。1968年挪威數(shù)學(xué)家奧雷證明了,不超過40個國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四

63、色猜想”。,四色問題的解決,直到1972年，美國依利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，開始用計算機進行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺IBM360型超高速電子計算機,耗時1200小時,終于證明了四色猜想。,這是一個驚人之舉。當(dāng)這項成果在1977年發(fā)表時,當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOUR COLORS SUFFICE)，加蓋在當(dāng)時的信件上。,拓展了人們對“證明”的理解

64、,由于這是第一次用計算機證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從根本上拓展了人們對“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對“證明”的思考。,（四）“韓信點兵”的故事 韓信閱兵時，讓一隊士兵5人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊士兵6人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊士兵7人一行排隊從他面前走過

65、，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊士兵11人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。 韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊士兵的總?cè)藬?shù)。思考怎樣求出？,（五）哥尼斯堡七橋問題,連通的“點線圖”能夠一筆畫的充要條件：“奇結(jié)點”不多于兩個。,反觀“七橋問題”,94,七、數(shù)學(xué)史上的三次危機（一）第一次數(shù)學(xué)危機,這一危機發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機來源于：當(dāng)時認為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比，但突

66、然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。 其實質(zhì)是： 是無理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴充，需要添加無理數(shù)。,,,（二）第二次數(shù)學(xué)危機,第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機是由畢達哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓 “無窮小量”說法的質(zhì)疑引起。,危機的引發(fā) 牛頓的“無窮小” 牛頓的微

67、積分是一項劃時代的科學(xué)成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。 微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。,例如，設(shè)自由落體在時間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時速度，先求 ?！?

68、 （*）,,,,,,,當(dāng) 變成無窮小時，右端的 也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是 ，這就是物體在 時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。,,,,,貝克萊的發(fā)難 英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓