1、第7章 樣條函數(shù)(Spline),7.1 二次樣條函數(shù)7.2 三次樣條函數(shù),概述,樣條函數(shù)的實(shí)質(zhì)：是分段的低階插值多項(xiàng)式。高階易產(chǎn)生Runge現(xiàn)象。“樣條”的來(lái)源：工程繪圖人員為了將一些指定點(diǎn)連接成一條光順曲線所使用的工具，即富有彈性的細(xì)木條或薄鋼條。由這樣的樣條形成的曲線在連接點(diǎn)處具有連續(xù)的坡度與曲率。分段低次多項(xiàng)式、在分段處具有一定光滑性的函數(shù)插值就是模擬以上原理發(fā)展起來(lái)的，它克服了高次多項(xiàng)式插值可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象，

2、具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性。,概述,樣條函數(shù)的分類：B(Basis-基)樣條函數(shù)典型：貝塞爾曲線（也稱貝茲曲線）一般樣條函數(shù)二次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù),7.1 二次樣條函數(shù),它是分段的二次插值多項(xiàng)式7.1.1 二次樣條函數(shù)的定義和特性1、定義,7.1 二次樣條函數(shù),2、特性(1) 插值特性，即：Si(xi)的函數(shù)值 = 節(jié)點(diǎn)值yi(2) S(x)是連續(xù)函數(shù)；特別地，在節(jié)點(diǎn)處有：(3) 是一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函

3、數(shù),7.1 二次樣條函數(shù),7.1.2 二次樣條函數(shù)系數(shù)的確定1、系數(shù)的個(gè)數(shù)：,7.1 二次樣條函數(shù),2、系數(shù)的計(jì)算：(1) ci的計(jì)算(2) bi的計(jì)算(3) ai的計(jì)算,7.1 二次樣條函數(shù),3、等距節(jié)點(diǎn)的系數(shù)計(jì)算公式,7.1 二次樣條函數(shù),7.1.3 二次樣條計(jì)算過(guò)程和算例7.1.4 插值余項(xiàng),7.2 三次樣條函數(shù),是分段的三次插值多項(xiàng)式7.2.1 三次樣條函數(shù)的定義,7.2 三次樣條函數(shù),三次樣條函數(shù)的一般

4、形式：,7.2 三次樣條函數(shù),7.2.2 邊界條件和邊界條件類型三次樣條的系數(shù)個(gè)數(shù)：4n個(gè)可列方程的個(gè)數(shù)：---(4n-2)個(gè)插值特性：n+1個(gè)函數(shù)連續(xù)性：n-1個(gè)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性：n-1個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性：n-1個(gè),7.2 三次樣條函數(shù),邊界條件必須增加2個(gè)條件，由于這些條件通常是在邊界處產(chǎn)生，故稱為邊界條件。邊界條件的類型：(1)給出兩個(gè)端點(diǎn) 的一階導(dǎo)數(shù)值(2)給出兩個(gè)端點(diǎn) 的二

5、階導(dǎo)數(shù)值(3)若被逼近函數(shù)f(x)是 以T=b-a為周期的函數(shù),7.2 三次樣條函數(shù),7.2.3 三次樣條函數(shù)的構(gòu)造為什么要構(gòu)造?若三次樣條函數(shù)取一般的三次多項(xiàng)式，則其4n個(gè)系數(shù)并不容易求得。因此，通常需要構(gòu)造三次樣條函數(shù)的解析式，目的就是為了更容易求得系數(shù)。如何構(gòu)造?先構(gòu)造三次樣條函數(shù)S(x)的二階導(dǎo)數(shù)；再通過(guò)積分推導(dǎo)出S(x)的形式；并獲得求解系數(shù)的方法,7.2 三次樣條函數(shù),構(gòu)造過(guò)程：,,7.2 三次樣條