1、1（20_20__屆）屆）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)上的完備性定理等價(jià)性與應(yīng)用2R3柯西準(zhǔn)則閉域套定理聚點(diǎn)定理有限覆蓋定理的方法去證明他們之間的等價(jià)性和以其中的一個(gè)定理為公理去證明其他三個(gè)定理的的方法去證明他們之間的等價(jià)性.2：循環(huán)論證2.1用柯西準(zhǔn)則證明閉域套定理在閉域套的每一個(gè)內(nèi)任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)互不相同的平面點(diǎn)列，則對(duì)一切自nDnDnPnP然數(shù)，由于，所以，因此pnpnDD??0()0()nnpnnnpnPPDPpdn?

2、????????.由定義，任給正數(shù)，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，對(duì)一切自然數(shù)，lim()0nnpnPp??????nN?p都有，則由柯西準(zhǔn)則收斂，記作.()nnpPp????nP0limnnPP???現(xiàn)證，我們?nèi)稳，對(duì)一切自然數(shù)都有0123...nPDn??123...p?.123...npnpnpPDD?????再令，由于是閉域，從而必定是閉集，因此作為的聚點(diǎn)必定屬于，即：p??nD0PnDnD.0lim12...npnpPPDn????

3、??最后證明的唯一性，若還有，則由0P012...nPDn??所以，.000()0()nPpdn??????00()0Pp??00PP?2.2用閉域套定理證明聚點(diǎn)定理因?yàn)镋是平面有界集合，因此存在一個(gè)閉正方形，連接正方形對(duì)邊的中點(diǎn)，把分成四個(gè)1D1D小的閉正方形，則在這四個(gè)小正方形中，至少有一個(gè)小閉正方形含有E中無(wú)限多個(gè)點(diǎn).記這個(gè)小閉正方形為，再對(duì)正方形如上法分成四個(gè)更小的閉正方形，其中又至少有一個(gè)閉正2D2D方形含有E的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，如