1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計,深圳大學(xué)信息工程學(xué)院 康莉2024/3/18,《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》,是一門數(shù)學(xué)課程是理工類、經(jīng)管類的重要學(xué)科與其他學(xué)科聯(lián)系緊密，如通信理論，信息論等應(yīng)用廣泛：工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中，如地震預(yù)測、空間技術(shù)、經(jīng)濟管理等,第一章 概率論的基本概念關(guān)鍵詞：樣本空間、隨機事件、頻率和概率條件概率、事件的獨立性,一些物理現(xiàn)象,向上拋一枚石子，結(jié)果是必定下落同性電荷必相互排斥太陽從東方升起確定性

2、現(xiàn)象！拋骰子拋硬幣射擊運動員的射擊效果隨機現(xiàn)象！,隨機現(xiàn)象——每次試驗中結(jié)果不確定，在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》——研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,§1.1 隨機試驗,自然界和日常生活中的兩類現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定,e.g.向上拋出的石頭會下落——確定明天天氣狀況——不確定買了彩票會中獎——不確定,概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)

3、象的數(shù)量規(guī)律對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗。它具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進行事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果進行試驗前并不知道哪個試驗結(jié)果會發(fā)生e.g.拋一枚硬幣，觀察試驗結(jié)果登記113路公交車在桂廟站的下車人數(shù)對期末考試成績進行一次登記,§1.2 樣本空間、隨機事件,一、樣本空間 定義：隨機試驗E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為 E的樣本空間

4、，記為S={e} 稱S中的元素e為基本事件或樣本點e.g.1.一枚硬幣拋一次，樣本空間S={正面，反面}2.記錄113路公交車在桂廟站的下車人數(shù)，S={0,1,2,…}3.記錄一批產(chǎn)品的壽命，S={x|a≤x≤b },二、隨機事件我們稱S的子集A為S的隨機事件A，當且僅當A所包含的一個樣本點發(fā)生，稱事件A發(fā)生。e.g.觀察113路公交車桂廟站的候車人數(shù)，S={0,1,2,…}，記 A={至

5、少有10人候車}={10,11,12,…} SA為隨機事件，A可能發(fā)生，也可能不會發(fā)生若將S也看做事件，則每次試驗S總是發(fā)生，∴S又稱為必然事件為方便起見，記Φ為不可能事件， Φ不包含任何樣本點！,三、事件的關(guān)系及運算事件的關(guān)系（包含、相等）e.g.記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面},事件的運

6、算A與B的和事件，記為A與B的積事件，記為當AB=Φ時，稱事件A與B是不相容的，或互斥的,“和” 、“交”關(guān)系式,e.g.：設(shè)A={ 甲來聽課 }，B={ 乙來聽課 } ，則：,{甲、乙至少有一人來},{甲、乙都來},{甲、乙都不來},{甲、乙至少有一人不來},§1.3 頻率與概率——研究事件發(fā)生的可能性,一、頻率定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗次數(shù)。稱

7、 為A在這n次試驗中發(fā)生的頻率。e.g.1. 中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了n次，其中成功了一 次，則在這n次試驗中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為2. 某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計”課，其中有15次遲到，記 A={聽課遲到}，則頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。,e.g. 拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率,表 1,表 2,歷史上的名人們做的相同實驗的結(jié)果,做頻率實驗的結(jié)論,頻率的性質(zhì)且

8、 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．,,二、概率定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p定義2：將概率視為測度，且滿足：稱P(A)為事件A的概率。,,概率的性質(zhì),,§1.4 等可能概型（古典概型）,定義：若試驗E滿足： 1. S中樣本點有限(有限性) 2. 出現(xiàn)每一樣本點的概率相等(等可能性),,稱這種試驗為等

9、可能概型(或古典概型)。,e.g.1 一袋中有8個球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4 －8號為黃球，設(shè)摸到每一球的可能性相等，從中隨機 摸一球，記A={ 摸到紅球 }，求P(A)．,解： S={1,2,…,8}, A={1,2,3},注：古典概型中概率的求法是概率論中最有技巧、困難的問題之一。 ★ 古典概型的重要基礎(chǔ)：加法原理、乘法原理、排列、組合。,加法

10、原理:,乘法原理,,,,,排列,組合,e.g.2 一口袋裝有6只球：4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機取一只。有兩種取法：（a）第一次取一只球，觀察顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，該法稱為放回抽樣；（b）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，該法稱為不放回抽樣；試分別就上述兩種情況求1）取到的兩只球都是白球的概率；2）取到的兩只球顏色相同的概率；3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率,解： 設(shè)

11、A={取到的兩只球都是白球}，B={取到的兩只球顏色相同}，C={取到的兩只球中至少有一只是白球}。D={取到的兩只球都是紅球}。,則 B=A D，且C=,e.g.3一袋中有8個球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4 －8號為黃球，設(shè)摸到每一球的可能性相等，從袋中不 放回的摸兩球，記A={恰是一紅一黃}， 求P(A)． 解：B=｛先紅后黃｝，C={

12、先黃后紅}A和B、C的關(guān)系？B和C只要發(fā)生一個，A即發(fā)生。∴ B發(fā)生的概率？先取到紅球，并且第二次取到黃球，同理， ∴,e.g.4 有N件產(chǎn)品，其中D件是次品，從中不放回的取n件， 記Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)．,,解：N件產(chǎn)品中抽取n件，所有可能的取法為 種D件次品中取k件，所有可能的取法為 種在N-D件正品中取n-k件，所有可能的取

13、法為 種,此為超幾何分布的概率公式!,e.g.5一袋中有8個球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4 －8號為黃球，設(shè)摸到每一球的可能性相等，從袋中不 放回的摸兩球，記A={恰是一紅一黃}， 求P(A)． 解：由上例，,結(jié)論：（1）P(B)與i無關(guān)，即與取球先后次序無關(guān)；（2）放回抽樣與不放回抽樣P(B)概率相同。,e.g.6 袋中有a只白球，

14、b只紅球，k個人依次在袋中取一只球， 1） 作放回抽樣； 2） 作不放回抽樣； 求事件B={第i (i=1,2,…,k) 人取到白球}的概率,解：基本事件數(shù)：事件B發(fā)生：a只白球任一只，其余在 中取 k-1只，因此：,e.g.7 將n個不同的球投入N個不同的盒中(n≤N)，設(shè)每一球落 入各盒的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限，

15、 記A＝{ 恰有n個盒子各有一球 }，求P(A),特別地，取n＝64，N＝365，,,,,,,1 2 N,,解： 每只球都可以放入N個盒子的任一個盒子，共有 種不同的放法 每個盒子中至多放一個球，共有 種不同放法 ∴所求概率為,可解析為，一個64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為

16、99.7%．,e.g.8 一單位有5個員工，一星期共7天，老板讓每位員工獨 立地挑一天休息，求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。,解：將5位員工看成5個不同的球，7天看成7個不同的盒子， 記A={ 無2人在同一天休息 }， 則由上例知：,e.g.9 某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?,解：假設(shè)接待站

17、的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3.,人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有