1、2024/3/19,1,《近世代數(shù)》課程,課程代碼： 173034 適用專業(yè)： 數(shù)學教育、基礎數(shù)學。學 時 數(shù)： 36。 學 分 數(shù)： 2,主講人: 游泰杰,2024/3/19,2,第一講 引言,一 代數(shù)學簡介,二 群、環(huán)、域的定義及簡單性質(zhì),2024/3/19,3,一、抽象代數(shù)的研究對象,１、研究的對象: 有運算的系統(tǒng)(把所要研究的對象組織成一個有運算的系

2、統(tǒng))。,代數(shù)學簡介,4、本課程主要介紹群、環(huán)、域三個代數(shù)系統(tǒng)。,2、研究內(nèi)容: 它的運算性質(zhì)。,3、研究目的: 用來解決問題。 對一類問題利用運算性質(zhì)求出所有可能的解答.,2024/3/19,4,二、課程主要特點,代數(shù)學簡介,抽象性高、邏輯性強,理論證明多、構造性強 (經(jīng)常需要考慮“具有某些運算性質(zhì)的代數(shù)體系是否存在？”這樣的構造性問題). 例如，在實數(shù)域中，關于數(shù)的加、減、乘、除運算都封閉，但又不連續(xù)的數(shù)系是否

3、存在？,概念多、結論多,2024/3/19,5,三、產(chǎn)生代數(shù)學的必然性,代數(shù)學是人類認識自然和改造世界的必然產(chǎn)物:,人類的基本需求: 計量和計數(shù) 一切有意識、有目的實踐活動都離不開計量和計數(shù)。,必須從抽象的高度去揭示和把握自然規(guī)律,經(jīng)驗是處理不了復雜問題 簡單的計量問題可以憑經(jīng)驗處理，大量的計量問題是很復雜的、僅靠經(jīng)驗是處理不了的。,2024/3/19,6,三、產(chǎn)生代數(shù)學的必然性,代數(shù)學是人類認識自然和改造世界的必然產(chǎn)

4、物:,人類的基本需求: 計量和計數(shù),必須從抽象的高度去揭示和把握自然規(guī)律,經(jīng)驗是處理不了復雜問題,計量規(guī)律: 數(shù)量關系 人們必須分析和總結計量問題，尋找數(shù)量關系，即運算規(guī)律。,代數(shù)學逐漸形成 探索樹量關系,有了表示量的數(shù)字和數(shù)的運算法則，就誕生了最基本的數(shù)域。,2024/3/19,7,四、學習抽象代數(shù)的意義,１、運算性質(zhì)的重要性：印度國王獎勵麥粒的失敗說明:了解數(shù)的運算性質(zhì)是很重要的；２、高維空間的幾何學問題：現(xiàn)實空

5、間的幾何問題可以作圖描繪，觀察研究。四維以上空間是存在的，其中的幾何問題如何研究？用代數(shù)方法來研究幾何問題不受維數(shù)的限制 在解析幾何學中，我們已經(jīng)知道，笛卡爾坐標系架起了幾何與代數(shù)之間的一座偉大的橋梁，使得規(guī)則的幾何問題可以用代數(shù)方法來研究。,代數(shù)學簡介,2024/3/19,8,四、學習抽象代數(shù)的意義,３、復數(shù)域的存在性問題：可以根據(jù)數(shù)的運算性質(zhì)實實在在地構造出來。４、在現(xiàn)代科學技術中有著廣泛應用。抽象代數(shù)學的三個應用典范

6、:⑴ 為解方程 x2+1=0 而創(chuàng)建復數(shù)域；⑵ 對稱群理論確定了晶體結構的完全分類；⑶ 二元域為現(xiàn)代通訊解決難題。,代數(shù)學簡介,2024/3/19,9,五、抽象代數(shù)的學習方法,１、以數(shù)系、多項式運算系統(tǒng)、矩陣運算系統(tǒng)等為背景來理解絕大部分概念和結論，甚至模仿許多問題的求解和推證。,代數(shù)學簡介,2024/3/19,10,五、抽象代數(shù)的學習方法,２、及時復習，細讀詳解。由于抽象代數(shù)學中的概念多、結論多，抽象度高，邏輯性特別強，初學

7、一遍兩遍時，很難深入理解和掌握概念、結論的內(nèi)涵與外延，不易理解和掌握概念之間、結論之間、概念與結論之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。當然也就不容易記住那么多的概念與結論，通常表現(xiàn)為對簡單的問題都感到無從著手。最好的辦法就是,代數(shù)學簡介,2024/3/19,11,五、抽象代數(shù)的學習方法,苦練內(nèi)功，及時復習，反復研讀，不斷強化自己的抽象思維能力和邏輯推理能力。,３、積極認真地做習題。,代數(shù)學簡介,2024/3/19,12,六、教材及主要參考書目,石生

8、明，近世代數(shù)初步，高等教育出版社，200５年胡冠章，應用近世代數(shù)（第二版），清華大學出版社，1999。袁秉成等：近世代數(shù)，東北師大出版社，1995。靈沼，丁石孫：《代數(shù)學引論》，高等教育出版社，1988。張禾瑞：《近世代數(shù)基礎》， 高等教育出版社，19 8 8。,2024/3/19,13,群、環(huán)、域的定義,及簡單性質(zhì),2024/3/19,14,群的定義,設非空集S上有一個運算 · ,1. 如果運算滿足結合律，則稱(S

9、,·)是半群。2. 如果半群S中有一個元素 e 滿足?a∈S有　　　　　　　 e · a = a · e = a，則稱(S,·, e) 是幺半群，稱e為單位元 或幺元。3. 如果幺半群S滿足：對a∈S若有ｂ∈S使得 a ·ｂ=ｂ· a = e則稱 a 是可逆元，并稱ｂ是 a 的一個逆元。注：通常用 1 表示單位元。

10、,2024/3/19,15,群定義,4. 如果幺半群S的每個元素都有逆元，則稱Ｓ是一個群 (group)。運算滿足交換律的群Ｓ稱為交換群. 注意：記住驗證運算的封閉性！,2024/3/19,16,5. 命題 （1）可逆元 的逆元是唯一的， a 的逆元記為 a－１。（2）單位元是唯一的。證明：若 a 有兩個逆元ｂ和ｃ，即有 ab=ba=1, ac=ca=1 ? b=1b=cab=c1=

11、c. ■6. 對群G中的元 a 和正整數(shù) n ． an 表示 n 個 a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 17. 驗證： amn =(am)n ; am+n =am an.8. 群的運算滿足消去律： ab= ac ? b=c。,2024/3/19,17,幾個問題:(1)、為什么要求群的運算滿足結合律? (2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性

12、有何運算意義?,2024/3/19,18,,環(huán)的定義：環(huán)R是具有兩個運算的代數(shù)系統(tǒng) (R,+, ·), 其運算滿足:,(I) (F,+)是交換群, 單位元叫零元，記0; a 的逆元叫負元,記 ?a.,(II) (F, ·，1)是幺半群。,(III) 兩個運算之間的聯(lián)系: 乘法對加法滿足左、右分配律;,乘法滿足交換律的環(huán)叫交換環(huán).,2024/3/19,19,基本運算性質(zhì),?a,b∈R,1)

13、 ?(a+b)= ?a ?b,2) a0=0=0a,3) ab=(?a)(?b),定義 對環(huán) R 中的元 a ? 0，若有b ? 0使得 ab = 0 ，則稱 a 是 R 的一個左零因子， b 是 R 的一個右零因子。,2024/3/19,20,數(shù)集關于數(shù)的加法和乘法運算作成的環(huán)，叫數(shù)環(huán)。,,,,例1 復數(shù)集C、實數(shù)集R、有理數(shù)集Q、整數(shù)集Z關于數(shù)的加法和乘法運算都是環(huán)。,例2 域F上的全體多項式集合F[x]關

14、于多項式的加法和乘法運算是一個環(huán).,,例3 域F上的全體 n 階方陣Mn(F)關于矩陣的加法和乘法運算是一個環(huán)。,?2.3 環(huán)的定義及例子,2024/3/19,21,?2.1 域的例子及典型應用,,域的定義：域是具有兩個運算的代數(shù)系統(tǒng) (F,+, ·), 其運算滿足:,(I) (F,+)是交換群, 單位元叫零元，記0; a的逆元叫負元,記 ?a.,(II) (F*, ·)是交換群;單位元記為 1。