1、遵義師范學(xué)院 2012—2013學(xué)年度第二學(xué)期 《數(shù)學(xué)文化》公共選修課第 7 講 數(shù)學(xué)與人類思想解放,1,數(shù)學(xué)不僅僅為各門(mén)科學(xué)提供方法和工具，而且對(duì)于人類的思想解放產(chǎn)生過(guò)極大的影響，數(shù)學(xué)史上幾次重大進(jìn)展，在很大程度上打破了人類的思想局限，拓展了人類思想的視野。,以下幾例可以說(shuō)明：一、解析幾何與微積分的發(fā)明——突破了初等數(shù)學(xué)的 限制，推動(dòng)了科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的飛速發(fā)展；二、非歐幾何的誕生與相對(duì)論的問(wèn)世——破除了

2、“眼 見(jiàn)為實(shí)” 的局限，促成物理學(xué)和宇宙觀的革命；三、哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明——說(shuō)明了追求絕對(duì) 真理是不現(xiàn)實(shí)的，應(yīng)該客觀看待真理；四、選票分配問(wèn)題——揭示不可能有真正的公平,一、解析幾何與微積分的發(fā)明,古希臘曾產(chǎn)生過(guò)著名的三大幾何難題: 1.化圓為方問(wèn)題；2.三等分角問(wèn)題；3.倍立方體問(wèn)題。 都是借助于代數(shù)方法進(jìn)行討論并得到了部分成果，說(shuō)明那時(shí)候，“數(shù)”與“形”就已經(jīng)產(chǎn)生了聯(lián)系，當(dāng)然后來(lái)的數(shù)學(xué)理論證

3、明這三個(gè)問(wèn)題都是不可能解決的。但從公元前到公元16世紀(jì)，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關(guān)于形的科學(xué)而與數(shù)無(wú)關(guān)，代數(shù)似乎是關(guān)于數(shù)的科學(xué)而與形無(wú)關(guān)。,代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線等圖形。而對(duì)于形來(lái)說(shuō)，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長(zhǎng)度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。 人們從“運(yùn)動(dòng)”的角度來(lái)聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標(biāo)系，點(diǎn)對(duì)應(yīng)于數(shù)。點(diǎn)的

4、運(yùn)動(dòng)形成了線，線的運(yùn)動(dòng)形成了體...... 數(shù)與形的充分結(jié)合才產(chǎn)生了解析幾何。,解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)始人是笛卡兒。在笛卡兒之前，就已經(jīng)出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，即解析幾何的萌芽. 笛卡爾首先用代數(shù)方法解決了求給定長(zhǎng)度AB與AC的比例中項(xiàng)問(wèn)題——從幾何得到了一個(gè)代數(shù)方程.另一方面,又將方程的根通過(guò)幾何上表示出來(lái)(尺規(guī)作圖). 反過(guò)來(lái),笛卡兒對(duì)幾何問(wèn)題應(yīng)用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問(wèn)題.,解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程

5、來(lái)表示,同時(shí)又用代數(shù)的研究方法來(lái)研究幾何.這種方法顯示了其強(qiáng)大的生命力:代數(shù)是純演算的和推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對(duì)千變?nèi)f化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質(zhì)性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類.,,,通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，首先用最簡(jiǎn)單方程——“標(biāo)準(zhǔn)方程”表示處于特殊位置——以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心或頂點(diǎn)的幾種常見(jiàn)曲線：直線、圓、橢圓、雙曲線，拋物線：,而對(duì)于不是特殊位置的曲線，它們的方程就不是這么簡(jiǎn)單，而是所謂的

6、“一般方程”： 則通過(guò)代數(shù)方法(平移和旋轉(zhuǎn))我們可以把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程. 它們是二次曲線的本質(zhì)—三類:橢圓、雙曲線和拋物線。 而且還有三個(gè)不變量.,難以想象,沒(méi)有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質(zhì)性的東西.,,解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了?？梢哉f(shuō)，微積分不僅是數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學(xué)開(kāi)辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀(jì)的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。 微積分的

7、來(lái)源是科學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)要求的必然：瞬時(shí)速度、曲邊形面積、重心、極值等僅僅用初等數(shù)學(xué)難以解決的問(wèn)題等等。,微積分的偉大意義在于： 1、微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、方式和方法，帶來(lái)了數(shù)學(xué)空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。 2、突破了初等數(shù)學(xué)的局限，解決了初等數(shù)學(xué)不能解決的問(wèn)題，推動(dòng)了自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語(yǔ)言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等學(xué)科都得到了無(wú)限的推動(dòng)力

8、。近代的生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。,3、對(duì)人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過(guò)其他學(xué)科對(duì)人類的進(jìn)步產(chǎn)生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經(jīng)濟(jì)規(guī)律、金融運(yùn)作等等。 4、對(duì)人類文化產(chǎn)生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也是如此。哲學(xué)（馬克思、恩格斯）、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、法學(xué)......它們直接影響著人們的世界觀和文化結(jié)構(gòu)

9、。,,微積分證實(shí)了“日心說(shuō)”，改變了天文學(xué) 天圓地方是我們的祖先對(duì)宇宙認(rèn)知的基本概念。從亞里士多德直到托勒密，人類一直以為地球靜止不動(dòng)地位于有限宇宙的中心，宇宙是由天球殼層組成，行星和恒星鑲嵌在殼層上。 1543年，天文學(xué)家哥白尼改變了傳統(tǒng)世界，他宣布太陽(yáng)是宇宙的中心，所有行星包括地球圍繞著太陽(yáng)運(yùn)行 。,,哥白尼的挑戰(zhàn)，引起中世紀(jì)傳統(tǒng)宗教勢(shì)力的激烈抵抗，熊熊烈焰焚毀了布魯諾的軀體，終身軟禁囚困了伽利略的心魂。 50多年后，

10、開(kāi)普勒通過(guò)科學(xué)觀測(cè)和歸納，于1619年公布了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，為哥白尼“日心說(shuō)”提供了有力的證據(jù)。 1687年，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家牛頓應(yīng)用他發(fā)明的最新數(shù)學(xué)工具──微積分，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，推演出了太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為哥白尼“日心說(shuō)”取得決定性勝利立下了汗馬功勞。,,英國(guó)的亞當(dāng)斯和法國(guó)的勒維烈根據(jù)牛頓基于微積分開(kāi)創(chuàng)的天體力學(xué)原理和相關(guān)數(shù)據(jù)，從數(shù)學(xué)上推算出一顆未知行星──海王星在太空中的位置。1846年9月23日晚，德國(guó)天文學(xué)家加勒在亞

11、當(dāng)斯和勒維烈計(jì)算的位置只差一度之處找到了海王星。 雄辯的事實(shí)強(qiáng)有力地證實(shí)了哥白尼的“日心說(shuō)”，數(shù)學(xué)成為人類思想解放的有力武器！ ——《絢麗的數(shù)學(xué)之花》解說(shuō)詞,二、非歐幾何的建立——“眼見(jiàn)為虛” 歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，起特征是建立了公理化方法：即從幾個(gè)概念和幾個(gè)命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運(yùn)用這種方法的學(xué)科被認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)和成熟的科學(xué)。遺憾的是：

12、很多人不知道影響和改變世界的非歐幾何，甚至數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生（包括部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師）也是如此。,公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(生卒年不詳，鼎盛期約在公元前300年)寫(xiě)了一本劃時(shí)代的巨著《幾何原本》，這本書(shū)在科學(xué)上開(kāi)創(chuàng)了公理化方法的先河，它最早用公理化方法去建立演繹數(shù)學(xué)體系?！稁缀卧尽饭?3卷，它的開(kāi)頭是23個(gè)定義，諸如點(diǎn)沒(méi)有大小、線有長(zhǎng)度沒(méi)有寬度線的界是點(diǎn)、面只有長(zhǎng)度和寬度、面的界是線等等。,定義的后面是5個(gè)公設(shè)， 前4

13、個(gè)公設(shè)分別是：兩點(diǎn)間可連一條直線、直線可無(wú)限延長(zhǎng)、以任一點(diǎn)為圓心以任一半徑可作一圓、凡直角都相等。 公設(shè)之后是個(gè)公理，分別是：等于同量的量相等、等量加等量和相等、等量減等量差相等、可重合的圖形全等、整體大于部分。 《幾何原本》就是從定義、公設(shè)、公理出發(fā)，通過(guò)邏輯推理從而得出一系列的定理。《幾何原本》后來(lái)成為后世學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教材，它記載的幾何學(xué)也被稱為歐氏幾何。,《幾何原本》的第五公設(shè)是“如果一條直線與兩條直線相交，所

14、形成的同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角和，那么這兩條直線延長(zhǎng)以后必在內(nèi)角和小于兩直角和的這一側(cè)相交?！边@條公設(shè)又被稱為平行公設(shè)，它比前面四條公設(shè)復(fù)雜，看起來(lái)很像一條定理。于是自《幾何原本》問(wèn)世以后，數(shù)學(xué)家們企圖由其它公設(shè)和公理推出第五公設(shè)，或者用更加自明的公設(shè)來(lái)代替它，如現(xiàn)在中學(xué)幾何課本中的“過(guò)直線外一點(diǎn)可作且僅能作一條直線平行于已知直線”就是這樣替代的一種努力。這樣一直到18世紀(jì)末，二千多年過(guò)去了，耗盡了無(wú)數(shù)的聰明才智，但均以失敗而告終。,失敗使

15、有些數(shù)學(xué)家對(duì)第五公設(shè)能否被證明產(chǎn)生了懷疑，一些人猜測(cè)到第五公設(shè)本身可能是獨(dú)立的，有人則認(rèn)識(shí)到如果一組假設(shè)不矛盾則可能推出一種幾何學(xué)。這種思想上的轉(zhuǎn)變，后來(lái)導(dǎo)致了非歐幾何的產(chǎn)生。 在創(chuàng)立非歐幾何的過(guò)程中，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯、俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約是先驅(qū)人物并發(fā)揮了重要作用。,高斯深信有一種不同于歐氏幾何的幾何的存在，他稱之為非歐幾何。不過(guò)他生前一直沒(méi)有發(fā)表這方面的研究成果，一方面是因?yàn)樗螌W(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，工作一定要非常成熟

16、才公布出來(lái);另一方面是高斯深知幾何學(xué)傳統(tǒng)觀念的保守，他不想因此而招來(lái)非議。,波爾約當(dāng)過(guò)奧地利軍隊(duì)的軍官，他的父親是一位數(shù)學(xué)家，并且與高斯有密切往來(lái)。波爾約受他父親的影響，也致力于對(duì)第五公設(shè)的證明。在研究過(guò)程中，他逐漸認(rèn)識(shí)到第五公設(shè)的不可證明性，于是決心創(chuàng)造新的幾何。波爾約關(guān)于非歐幾何的工作，1832年作為他父親的一本初等數(shù)學(xué)著作的附錄發(fā)表了。當(dāng)他父親把附錄寄給高斯時(shí)，高斯稱贊了波爾約，并說(shuō)和自己40年來(lái)的思考相合。波爾約感到喪失了優(yōu)先權(quán)

17、，以后再也沒(méi)有數(shù)學(xué)論文問(wèn)世。但波爾約僅24頁(yè)的附錄，足以使他載入數(shù)學(xué)史冊(cè)。,堅(jiān)定地進(jìn)行非歐幾何研究，并發(fā)表系統(tǒng)著作的當(dāng)推俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。1816年起羅巴切夫斯基也試圖去證明第五公設(shè)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)行不通。于是他嘗試用反證法，即先否定第五公設(shè)，而假定過(guò)直線外一點(diǎn)至少可作兩條直線與已知直線在同一平面上而又不相交，然后據(jù)此推出一系列的命題，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些命題前后一貫并無(wú)矛盾。,羅巴切夫斯基意識(shí)到這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，他把這套與歐氏幾何不同的體系

18、稱之為“虛幾何學(xué)”，并在1826年2月23日公開(kāi)宣讀了他關(guān)于非歐幾何的論文。以后，他又發(fā)表了多篇論文，并用法文和德文向國(guó)外加以介紹。然而他的工作不被人們理解，反而招來(lái)了譏笑和攻擊。但是羅巴切夫斯基沒(méi)有動(dòng)搖，他一生都在為非歐幾何獲得承認(rèn)而奮斗。他的學(xué)說(shuō)在他死后被稱為羅巴切夫斯基幾何，他也被譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。,在羅巴切夫斯基等人之后，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼于1854年建立了不同于羅巴切夫斯基幾何的非歐幾何學(xué)———黎曼幾何。黎曼是高斯晚年的學(xué)

19、生，他用“同一平面上的任何兩條直線一定相交”來(lái)代替歐氏幾何的第五公設(shè)，并對(duì)歐氏幾何的公理作了部分改動(dòng)。他引入了n維流形(流形是一類特殊的拓?fù)淇臻g)的曲率的概念，用它去描述歐幾里得空間和更一般的空間。他指出曲率為零的空間是歐幾里得空間，而黎曼空間的曲率大于零。,1868年意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米證明了羅巴切夫斯基幾何能夠在負(fù)常曲率的曲面上實(shí)現(xiàn)。于是三種幾何學(xué)在曲率的概念下統(tǒng)一起來(lái)。歐氏幾何是描述曲率為零的空間的幾何，而非歐幾何則刻劃曲率為非

20、零常數(shù)的空間，其中曲率為負(fù)常數(shù)的空間幾何是羅巴切夫斯基幾何，而曲率為正常數(shù)的空間幾何是黎曼幾何。至此，非歐幾何開(kāi)始被人們認(rèn)可和接受。,非歐幾何與歐氏幾何的確有很大的不同，如在羅巴切夫斯基幾何中三角形內(nèi)角和小于180°，在黎曼幾何中三角形內(nèi)角和大于180°，而眾所周知?dú)W氏幾何中三角形內(nèi)角和等于180°。又如過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，歐氏幾何中可以作一條，羅巴切夫斯基幾何中可以作無(wú)數(shù)條，而黎曼幾何中卻是零

21、條。非歐幾何還有很多與歐氏幾何不同的地方，但這些不同與現(xiàn)實(shí)世界并不矛盾，只不過(guò)它們描述不同的空間而已。,非歐幾何的產(chǎn)生是幾何學(xué)上的一次革命，它徹底地變革了幾何學(xué)的傳統(tǒng)觀念，打破了歐氏幾何是現(xiàn)實(shí)空間唯一反映的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。 這樣，人們可以對(duì)一個(gè)幾何學(xué)的理論體系任意的修改其中的一部分，保留其余部分，在經(jīng)過(guò)邏輯演繹，只要不出現(xiàn)矛盾，就得到一種新的幾何學(xué)。 于是，就出現(xiàn)了形形色色的新幾何學(xué)，使人目不暇接，眼花繚亂，沒(méi)有一條清晰地脈絡(luò)

22、。,1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在就任埃爾朗根大學(xué)教授時(shí)提出了著名的埃爾朗根綱領(lǐng)，這個(gè)綱領(lǐng)用變換群的觀點(diǎn)把當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道的幾種幾何學(xué)統(tǒng)一起來(lái)。 根據(jù)“埃爾朗根綱領(lǐng)”，幾何學(xué)被定義為研究在變換群的變換下圖形不變性質(zhì)的學(xué)科，其中運(yùn)動(dòng)變換下的幾何就是歐氏幾何和非歐幾何。埃爾朗根綱領(lǐng)對(duì)后世幾何的發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義。 前面提到的“二次曲線的不變量”就是坐標(biāo)變換（屬于“剛體變換”的一種）的不變量。,非歐幾何的產(chǎn)生促使人們對(duì)幾何學(xué)的基

23、礎(chǔ)進(jìn)行深入的研究。1899年德國(guó)數(shù)學(xué)大師希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本著作中，用結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續(xù)公理等五組公理，建立了完備的歐氏幾何公理體系。如果把五組公理中的平行公理?yè)Q成羅巴切夫斯基平行公理，再結(jié)合另外四個(gè)公理，就可以推出非歐幾何的內(nèi)容，這樣希爾伯特賦予了非歐幾何以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。希爾伯特的方法的意義越出了幾何學(xué)的范圍，在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化方法的基礎(chǔ)。,非歐幾何的產(chǎn)生具有以下重大

24、意義: 1.解決了平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題。推動(dòng)了一般公理體系的獨(dú)立性、相容性、完備性問(wèn)題的研究，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。 2.非歐幾何提供了各門(mén)科學(xué)理論在整理完善時(shí)普遍學(xué)習(xí)的公理化方法，推動(dòng)了科學(xué)理論的系統(tǒng)化和對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，從而推動(dòng)了社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步。 3.非歐幾何將人類的視野從“中觀”拓展到宏觀和微觀，揭示了“眼見(jiàn)未必為實(shí)”，是人類看問(wèn)題更加客觀全面。,4.非歐幾何的產(chǎn)生還對(duì)2

25、0世紀(jì)初物理學(xué)革命關(guān)于時(shí)間和空間的物理觀念的變革奠定了基礎(chǔ)。愛(ài)因斯坦在創(chuàng)立廣義相對(duì)論時(shí)，運(yùn)用了黎曼幾何，他在研究中引入了黎曼張量運(yùn)算，并把平直空間的張量運(yùn)算推廣到彎曲的黎曼空間。廣義相對(duì)論認(rèn)為時(shí)空整體上不是均勻的，只在充分小的區(qū)域近似均勻，這與黎曼空間相合。根據(jù)廣義相對(duì)論，反映宇宙結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)不是歐氏幾何，而是非歐幾何。 非歐幾何還推動(dòng)了數(shù)學(xué)其它分支的發(fā)展。如黎曼幾何是微分幾何的基礎(chǔ)，并在微分方程、復(fù)變函數(shù)論等方面有重要應(yīng)用。正

26、如希爾伯特所說(shuō)：“19世紀(jì)最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)?！?20世紀(jì)最重要的科學(xué)理論是愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，它改變了人們現(xiàn)存的時(shí)空觀。在創(chuàng)立相對(duì)論的過(guò)程中，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)引人注目。為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，愛(ài)因斯坦花費(fèi)了3年時(shí)間，尋找必需的數(shù)學(xué)工具，最后在數(shù)學(xué)家格羅斯曼的介紹下，他掌握了以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對(duì)微分學(xué)，1915年11月25日，愛(ài)因斯坦發(fā)表了一篇論文，終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程，建立了廣義相對(duì)論。

27、 愛(ài)因斯坦運(yùn)用數(shù)學(xué)工具改變了宇宙的圖象！ ——《絢麗的數(shù)學(xué)之花》解說(shuō)詞,現(xiàn)在，擺在我們面前的是一個(gè)全新的宇宙全圖：空間是彎曲的，由此產(chǎn)生一個(gè)有限的宇宙，但是我們永遠(yuǎn)不能夠接近其邊界。它生成于150億年前的一次大爆炸，那次爆炸把宇宙送上了現(xiàn)在的膨脹歷程。最初宇宙如豌豆一樣大小，10億年前，第一批銀河系誕生，50億年前太陽(yáng)系出現(xiàn)，200億年后宇宙將達(dá)到最大膨脹，350億年后奇點(diǎn)快速激增，400億年后宇宙大擠壓，

28、最后收縮至原來(lái)的奇點(diǎn)。以后又開(kāi)始一個(gè)新的大爆炸，產(chǎn)生一個(gè)新的宇宙…… 這正是宇宙的無(wú)窮之旅！ ——《絢麗的數(shù)學(xué)之花》解說(shuō)詞,三、哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?在20世紀(jì)數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家行列中有一個(gè)具有傳奇色彩的偉大人物——哥德?tīng)?。他在短短幾年間使數(shù)理邏輯發(fā)生了革命，為我們這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究規(guī)定了思維內(nèi)涵，并為現(xiàn)代邏輯的幾乎所有分支奠定了基礎(chǔ)。他的思想對(duì)數(shù)學(xué)、哲學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及算法信息

29、論等領(lǐng)域都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，而且其潛在的科學(xué)價(jià)值還在日益彰顯。人們將哥德?tīng)柖ɡ砼c愛(ài)因斯坦的相對(duì)論、玻爾的互補(bǔ)原理、海森伯的不確定性原理、凱恩斯的經(jīng)濟(jì)學(xué)、弗洛依德的精神分析學(xué)、以及DNA 雙螺旋基因結(jié)構(gòu)理論并稱世紀(jì)影響人類思想最偉大的貢獻(xiàn)。,在19世紀(jì)80年代至20世紀(jì)30年代，圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，出現(xiàn)了數(shù)學(xué)哲學(xué)三大學(xué)派：以羅素為代表的邏輯主義學(xué)派、以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派和以布勞威爾為代表的直覺(jué)主義學(xué)派。 這三大學(xué)派的觀點(diǎn)

30、如下：,邏輯主義建立之初就有一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)：企圖建構(gòu)對(duì)全部數(shù)學(xué)都通用的形式公理系統(tǒng)。 《 初等數(shù)論基礎(chǔ)》中希爾伯特的一段名言顯然表達(dá)了形式主義的基本主張：“我的目標(biāo)是使用純粹數(shù)學(xué)方法對(duì)所有基礎(chǔ)問(wèn)題獲得最終解。”即所有定理必須有有窮證明，用有窮方法一舉建立整個(gè)數(shù)學(xué)的一致性。 以布勞威爾等人為代表的直覺(jué)主義批評(píng)形式系統(tǒng)的不恰當(dāng)性，主張對(duì)邏輯算子重新加以解釋并強(qiáng)調(diào)證明的可構(gòu)造性，他們反對(duì)將一致性作為存在性的充分條件，

31、其最終目的是要以構(gòu)造性方法重建整個(gè)數(shù)學(xué)。,另外，除了這三個(gè)著名的數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派之外，還有一個(gè)以漢斯·哈恩和卡爾納普為代表的邏輯實(shí)證主義學(xué)派，他們則否認(rèn)數(shù)學(xué)中包含任何內(nèi)容，主張將一切數(shù)學(xué)都化歸為語(yǔ)法的約定，數(shù)學(xué)定理的有效性僅僅由某些使用符號(hào)的語(yǔ)法約定來(lái)確定，正如卡爾納普所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是不含內(nèi)容和對(duì)象的輔助語(yǔ)言的系統(tǒng)?！?20世紀(jì)初，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中，這四大派基礎(chǔ)綱領(lǐng)競(jìng)爭(zhēng)激烈，無(wú)分軒輊，“哪一派也不能說(shuō)服另外幾派”，但共同之點(diǎn)都是企圖

32、一勞永逸地為數(shù)學(xué)尋求一個(gè)統(tǒng)一的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。哥德?tīng)栵@然清楚這幾大綱領(lǐng)的共同目標(biāo)及其在哲學(xué)上的根本分歧，但他并未卷入當(dāng)時(shí)的論戰(zhàn)，而是潛心于大的元數(shù)學(xué)問(wèn)題研究，希望為這場(chǎng)基礎(chǔ)研究訟案作出裁決。哥德?tīng)柍鰣?chǎng)時(shí)，數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)上與世紀(jì)已完全不同，集合論和超窮數(shù)理論已被數(shù)學(xué)家普遍接受，自弗雷格初等邏輯形式系統(tǒng)之后又有了羅素廣博的大邏輯系統(tǒng)和策梅羅的ZF公理集合論系統(tǒng)，從嚴(yán)格有窮主義到嚴(yán)格超窮主義的整個(gè)方法論譜系業(yè)已形成。,同時(shí)，到了20世紀(jì)20年代末，命

33、題邏輯、一階謂詞邏輯、只有加法和乘法的一階算術(shù)這些相對(duì)貧乏的系統(tǒng)陸續(xù)被證明是完全的，即在這些系統(tǒng)中一切真命題都是可證的。甚至塔爾斯基1930年2月還曾估計(jì)，一切已知豐富的包括PM和ZF的系統(tǒng)，即使不完全大概也是可完全的，希爾伯特及其他數(shù)學(xué)家的理想似乎可以實(shí)現(xiàn)了。 然而，此后不久，哥德?tīng)柧驮?931 年1月發(fā)表的《論〈數(shù)學(xué)及有關(guān)系統(tǒng)中的形式原理不可判定命題》中以驚人的結(jié)論向世人宣告，這一理想無(wú)異于一枕黃粱！,哥德?tīng)栕C明了，對(duì)每個(gè)豐

34、富而可靠的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)S，第一，在S中存在既不可證也不可否證，即不可判定的命題（第一不完全性定理）；第二,，在S中不可證S的一致性（第二不完全性定理）。 兩個(gè)定理所揭示的事實(shí)是極端殘酷的，即當(dāng)形式系統(tǒng)S豐富到足以包括初等數(shù)論，S 中就存在真的卻不可證的命題。即使添加更強(qiáng)的公理和推理規(guī)則將系統(tǒng)S擴(kuò)張到S'，在S‘ 中仍存在真的但不可證的命題，繼續(xù)擴(kuò)張到'S’、S” …情 形依然如此。實(shí)際上，除非把這種擴(kuò)張過(guò)程持續(xù)到

35、可觀的超窮序數(shù)，使其滿足一個(gè)不可公理化的真理集，這種豐富而可靠的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)甚至連算術(shù)的真理都不能窮盡。,哥德?tīng)柺箶?shù)學(xué)家猛然醒悟：數(shù)學(xué)不但是不完全的 ，而且是不可完全的 。這一事實(shí)的本質(zhì)所在是，“形式系統(tǒng)中的可證命題與數(shù)學(xué)真理集之間永遠(yuǎn)有一超窮距離，不用超窮手段不但填不滿這一距離，甚至也沒(méi)有希望去逼近”。 這些驚人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不僅大大改變了邏輯學(xué)的面貌，也是哥德?tīng)柕陌乩瓐D主義數(shù)學(xué)觀賴以建立的堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。更為有趣的是，按照哥德?tīng)?/p>

36、手稿中的說(shuō)法，數(shù)學(xué)柏拉圖主義既是他的數(shù)學(xué)結(jié)果的哲學(xué)推論，又是獲得這些數(shù)學(xué)結(jié)果的助探原則，同時(shí)這種柏拉圖主義又能從以上兩點(diǎn)獲得合理性證據(jù)支持，而且在各種哲學(xué)爭(zhēng)論中哥德?tīng)柖家赃@一哲學(xué)意蘊(yùn)空前深刻的數(shù)學(xué)結(jié)果為自己的立場(chǎng)提供辯護(hù)。,四、選票分配問(wèn)題 選票分配問(wèn)題屬于民主政治的范疇．選票分配是否合理是選民最關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題．這一問(wèn)題早已引起西方政治家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并進(jìn)行了大量深入的研究．那么，選票分配的基本原則是什么呢？首先是公平

37、合理．要做到公平合理，一個(gè)簡(jiǎn)單的辦法是，選票按人數(shù)比例分配．但是會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題：人數(shù)的比例常常不是整數(shù)．怎么辦？一個(gè)簡(jiǎn)單的辦法是四舍五入．四舍五入的結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)名額多余，或名額不足的情況．因?yàn)橛羞@個(gè)缺點(diǎn)，美國(guó)喬治·華盛頓時(shí)代的財(cái)政部長(zhǎng)亞歷山大·漢密爾頓在1790年提出一個(gè)解決名額分配的辦法，并于1792年為美國(guó)國(guó)會(huì)所通過(guò)．,美國(guó)國(guó)會(huì)的議員是按州分配．假定美國(guó)的人口數(shù)是 ，各州的人口數(shù)分別是 ， ，…，

38、 ，再假定議員的總數(shù)是 ．記 為第 個(gè)州分配的份額．漢密爾頓方法的具體操作如下： (1)取各州份額 的整數(shù)部分[ ]，讓第 個(gè)州先擁有[ ]個(gè)議員． (2)然后考慮各個(gè) 的小數(shù)部分{ }，按從大到小的順序?qū)⒂嘞碌拿~分配給相應(yīng)的州，直到名額分配完為止．,,,,,,,,,,,,,我們舉例來(lái)說(shuō)明這一情況．假定某學(xué)院有三個(gè)系，總?cè)藬?shù)是200，學(xué)生會(huì)需要選舉20名委員．表1是按漢密爾頓

39、方法進(jìn)行分配的結(jié)果． 表 1,漢密爾頓方法看起來(lái)十分合理，但是仍存在問(wèn)題．按照常規(guī)，假定各州的人口比例不變，議員名額的總數(shù)由于某種原因而增加的話，那么各州的議員名額數(shù)或者不變，或者增加，至少不應(yīng)該減少．可是漢密爾頓方法卻不能滿足這一常規(guī)．這里還以校學(xué)生會(huì)的選舉為例給以說(shuō)明．由于考慮到20個(gè)委員在表決提案時(shí)會(huì)出現(xiàn)10：10的結(jié)局，所以學(xué)生會(huì)決定增加1名委員．按照漢密爾頓方法分配名額得到表2．

40、,表 2,表2的反映出，委員的名額增多了，丙系反而減少一名．令人驚奇！1880年，亞拉巴馬州曾面臨這種狀況．人們把漢密爾頓方法產(chǎn)生的這一矛盾叫作亞拉巴馬悖論．漢密爾頓方法侵犯了亞拉巴馬州的利益．其后，1890年，1900年人口普查后，緬因州和克羅拉多州也極力反對(duì)漢密爾頓方法．所以，從1880年起，美國(guó)國(guó)會(huì)就針對(duì)漢密爾頓方法的公正合理性展開(kāi)了爭(zhēng)論．因此，必須改進(jìn)漢密爾頓方法，使之更加合理．新的方法不久就提出來(lái)了，并消除了亞拉巴馬悖

41、論．但是新的方法引出新的問(wèn)題，新的問(wèn)題又需要消除．于是更新的方法，當(dāng)然是更加公正合理的方法又出現(xiàn)了．人們當(dāng)然會(huì)問(wèn)，有沒(méi)有一種一勞永逸的解決辦法呢？,這個(gè)問(wèn)題從誕生之日起，就一直吸引著眾多政治家和數(shù)學(xué)家去研究．這里要特別提出的是，1952年數(shù)學(xué)家阿羅證明了一個(gè)令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個(gè)公平合理的選舉系統(tǒng)，這就是說(shuō)，只有更合理，沒(méi)有最合理．原來(lái)世上無(wú)真正的“公”！阿羅不可能定理是數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的一個(gè)里程碑．

42、 阿羅不可能定理不僅是一項(xiàng)數(shù)學(xué)成果，也是十分重要的經(jīng)濟(jì)成果．因此，作為一名數(shù)學(xué)家，阿羅于1972年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．選舉問(wèn)題吸引經(jīng)濟(jì)學(xué)家的因素主要有兩個(gè)方面：策略與公平性．而策略的研究又引出了博弈論． 這兩個(gè)例子說(shuō)明，通過(guò)數(shù)學(xué)的分析糾正觀念和直覺(jué)上的誤解和遮蔽，是一種用數(shù)據(jù)和事實(shí)進(jìn)行問(wèn)題探究的記性的科學(xué)態(tài)度和方法．,以上幾個(gè)例子說(shuō)明，數(shù)學(xué)中的新的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，不但對(duì)于科學(xué)發(fā)展和生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)化能產(chǎn)生重大影響和促進(jìn)，而且對(duì)于人類