1、第七章 最 優(yōu) 控 制,,,,,,,,,,7.1 最優(yōu)控制問(wèn)題,7.2 求解最優(yōu)控制的變分方法,7.3 最大值原理,7.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃,7.5 線性二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制,7.6 快速控制系統(tǒng),最優(yōu)控制理論 現(xiàn)代控制理論的重要組成部分20世紀(jì)50年代 發(fā)展形成系統(tǒng)的理論研究的對(duì)象 控制系統(tǒng)中心問(wèn)題 給定一個(gè)控制系統(tǒng)，選擇控制規(guī)律，使系統(tǒng)在某種意義上是最優(yōu)的統(tǒng)一的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法最優(yōu)控制問(wèn)題

2、 研究者的課題，工程師們?cè)O(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的目標(biāo)最優(yōu)控制能在各個(gè)領(lǐng)域中得到應(yīng)用，效益顯著,1.1 兩個(gè)例子1.2 問(wèn)題描述,,,第1章 最優(yōu)控制問(wèn)題,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,5,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為

3、常數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,6,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為常數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,7,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃

4、料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,8,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點(diǎn)條件,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,9,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h

5、 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點(diǎn)條件,控制目標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,10,1.1 兩個(gè)例子,例1.1 飛船軟著陸問(wèn)題,m 飛船的質(zhì)量h 高度v 垂直速度g 月球重力加速度常數(shù)M 飛船自身質(zhì)量F 燃料的質(zhì)量,軟著陸過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻 t 為零,K 為常數(shù),初始狀態(tài),終點(diǎn)條件,控制目標(biāo),推

6、力方案,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,11,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,13,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,14,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,初始條件,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,15,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,初始條件,末端約束,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,16,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,初始條

7、件,末端約束,指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,17,例1.2 導(dǎo)彈發(fā)射問(wèn)題,初始條件,末端約束,指標(biāo),控制,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,19,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,20,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,21

8、,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,22,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,23,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),給定控制規(guī)律,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理

9、論,24,1.2 問(wèn)題描述,(1) 狀態(tài)方程 一般形式為,為n維狀態(tài)向量,為r 維控制向量,為n維向量函數(shù),給定控制規(guī)律,滿足一定條件時(shí)，方程有唯一解,(2) 容許控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,26,(2) 容許控制,：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,27,(2) 容許控制,：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,28,(2) 容許控制,：,有時(shí)控制域可為超方體,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控

10、制理論,29,(2) 容許控制,：,有時(shí)控制域可為超方體,(3) 目標(biāo)集,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,31,(3) 目標(biāo)集,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,32,(3) 目標(biāo)集,n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,33,(3) 目標(biāo)集,固定端問(wèn)題,n維向量函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,34,(3) 目標(biāo)集,固定端問(wèn)題,自由端問(wèn)題,n維向量函數(shù),(4) 性能指標(biāo),2024年3月

11、21日星期四,現(xiàn)代控制理論,36,(4) 性能指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,37,(4) 性能指標(biāo),對(duì)狀態(tài)、控制以及終點(diǎn)狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,38,(4) 性能指標(biāo),對(duì)狀態(tài)、控制以及終點(diǎn)狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,39,(4) 性能指標(biāo),對(duì)狀態(tài)、控制以及終點(diǎn)狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標(biāo),積分型性能指標(biāo)，表示對(duì)整個(gè)狀態(tài)和控制過(guò)程的要求

12、,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,40,(4) 性能指標(biāo),對(duì)狀態(tài)、控制以及終點(diǎn)狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標(biāo),積分型性能指標(biāo)，表示對(duì)整個(gè)狀態(tài)和控制過(guò)程的要求,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,41,(4) 性能指標(biāo),對(duì)狀態(tài)、控制以及終點(diǎn)狀態(tài)的要求，復(fù)合型性能指標(biāo),積分型性能指標(biāo)，表示對(duì)整個(gè)狀態(tài)和控制過(guò)程的要求,終點(diǎn)型指標(biāo)，表示僅對(duì)終點(diǎn)狀態(tài)的要求,2.1 泛函與變分法基礎(chǔ)2.2 歐拉方程2.3 橫截條件2.4 含有多個(gè)

13、未知函數(shù)泛函的極值2.5 條件極值2.6 最優(yōu)控制問(wèn)題的變分解法,,,第2章 求解最優(yōu)控制的變分方法,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎(chǔ),平面上兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度問(wèn)題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,44,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎(chǔ),平面上兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度問(wèn)題,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,45,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎(chǔ),平面上兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度問(wèn)題,一般來(lái)

14、說(shuō)，曲線不同，弧長(zhǎng)就不同，即弧長(zhǎng)依賴于曲線，記為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,46,求解最優(yōu)控制的變分方法,2.1 泛函與變分法基礎(chǔ),平面上兩點(diǎn)連線的長(zhǎng)度問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō)，曲線不同，弧長(zhǎng)就不同，即弧長(zhǎng)依賴于曲線，記為,稱為泛函,稱為泛函的宗量,泛函與函數(shù)的幾何解釋,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,48,泛函與函數(shù)的幾何解釋,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,49,泛函與函數(shù)的幾何解釋,宗量的變分,2024年

15、3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,50,泛函與函數(shù)的幾何解釋,宗量的變分,泛函的增量,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,51,泛函與函數(shù)的幾何解釋,連續(xù)泛函 宗量的變分趨于無(wú)窮小時(shí)，泛函的變分也趨于無(wú) 窮小線性泛函 泛函對(duì)宗量是線性的,宗量的變分,泛函的增量,泛函的變分,求解最優(yōu)控制的變分方法,,,,,,定理2.2 若泛函,有極值，則必有,上述方法與結(jié)論對(duì)多個(gè)未知函數(shù)的泛數(shù)同樣適用,

16、2.6 最優(yōu)控制問(wèn)題的變分解法,2.6.4 終值時(shí)間自由的問(wèn)題,2.6.3 末端受限問(wèn)題,2.6.2 固定端問(wèn)題,2.6.1 自由端問(wèn)題,2.6.1 自由端問(wèn)題,約束方程,新的泛函,令,有,哈米頓函數(shù),進(jìn)行變分,令,有,伴隨方程,必要條件,例2.5,哈米頓函數(shù),伴隨方程,邊界條件,必要條件,,,,,最優(yōu)控制,代入狀態(tài)方程并求解,令,2.6.2 固定端問(wèn)題,性能指標(biāo),分部積分,進(jìn)行變分,令變分為零,邊界條件,指標(biāo)泛函,例2.6 考慮如

17、下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問(wèn)題，求取最優(yōu)控制 和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標(biāo)泛函 J 取得極小值。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,60,哈米頓函數(shù),伴隨方程,由狀態(tài)方程,代入初始和終端條件，可求得,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,61,4. 考慮如下系統(tǒng)的終端固定的最優(yōu)控制問(wèn)題，求取最優(yōu)控制 和最優(yōu)狀態(tài)曲線，使指標(biāo)泛函J取得極小值。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

18、,其邊界條件為：,其指標(biāo)泛函為：,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,62,哈米頓函數(shù),伴隨方程,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,63,2.6.3 末端受限問(wèn)題,新的泛函,變分,必要條件,2.6.4 終值時(shí)間自由的問(wèn)題,T 有時(shí)是可變的，是指標(biāo)泛函，選控制使有 T 極小值,變分,必要條件,例2.7,指標(biāo)泛函,哈米頓函數(shù),伴隨方程,必要條件,3.1 古典變分法的局限性3.2 最大值原理3.3 變分法與極大值原理,,,第

19、3章 最大值原理,3.1 古典變分法的局限性,u(t)受限的例子,例3.1,伴隨方程,極值必要條件,矛盾!!,3.2 最大值原理,定理3.1 (最小值原理) 設(shè)為 容許控制， 為對(duì)應(yīng)的積分軌線，為使 為最優(yōu)控制， 為最優(yōu)軌線，必存在一向量函數(shù) ，使得 和 滿足正則方程,且,最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件。但對(duì)于線性系統(tǒng),最小值原理也是使泛函取最小值得

20、充分條件。,例3.2 重解例3.1,哈密頓函數(shù),伴隨方程,由極值必要條件，知,又,于是有,協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖,例3.3,性能指標(biāo)泛函,哈密頓函數(shù),伴隨方程,上有,協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖,整個(gè)最優(yōu)軌線,例3.4,把系統(tǒng)狀態(tài)在終點(diǎn)時(shí)刻轉(zhuǎn)移到,性能指標(biāo)泛函,終點(diǎn)時(shí)刻是不固定的,哈米頓函數(shù),伴隨方程,,,,H是u的二次拋物線函數(shù)，u在 上一定使H有最小值，可能在內(nèi)部，也可能在邊界上。,最優(yōu)控制可能且只能取三個(gè)

21、值,,此二者都不能使?fàn)顟B(tài)變量同時(shí)滿足初始條件和終點(diǎn)條件,,最優(yōu)控制,最優(yōu)軌線,最優(yōu)性能指標(biāo),例3.5,使系統(tǒng)以最短時(shí)間從給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài),哈米頓函數(shù),伴隨方程,最優(yōu)控制切換及最優(yōu)軌線示意圖,3.3 古典變分法與最小值原理,古典變分法適用的范圍是對(duì)u無(wú)約束，而最小值原理一般都適用。特別當(dāng)u不受約束時(shí)，條件,就等價(jià)于條件,4.1 多級(jí)決策過(guò)程與最優(yōu)性原理4.2 離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃4.3 連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃4.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與最大值原理的

22、關(guān)系,,,第4章 動(dòng)態(tài)規(guī)劃,動(dòng)態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)控制的又一種方法，特別對(duì)離散型控制系統(tǒng)更為有效，而且得出的是綜合控制函數(shù)。這種方法來(lái)源于多決策過(guò)程，并由貝爾曼首先提出，故稱貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃。,4.1 多級(jí)決策過(guò)程與最優(yōu)性原理,作為例子，首先分析最優(yōu)路徑問(wèn)題,(a) (b) (c),試分析(a),(b)和(c)三種情況的最優(yōu)路徑，即從 走到

23、 所需時(shí)間最少。規(guī)定沿水平方向只能前進(jìn)不能后退。,(a)中只有兩條路徑，從起點(diǎn)開(kāi)始，一旦選定路線，就直達(dá)終點(diǎn)，選最優(yōu)路徑就是從兩條中選一條，使路程所用時(shí)間最少。這很容易辦到，只稍加計(jì)算，便可知道，上面一條所需時(shí)間最少。(b)共有6條路徑可到達(dá)終點(diǎn)，若仍用上面方法，需計(jì)算6次，將每條路線所需時(shí)間求出，然后比較，找出一條時(shí)間最短的路程。(c)需計(jì)算20次，因?yàn)檫@時(shí)有20條路徑，由此可見(jiàn)，計(jì)算量顯著增大了。,逆向分級(jí)計(jì)算法,逆向是指計(jì)算從

24、后面開(kāi)始，分級(jí)是指逐級(jí)計(jì)算。逆向分級(jí)就是從后向前逐級(jí)計(jì)算。,以(c)為例,從倒數(shù)第一級(jí)開(kāi)始，狀態(tài)有兩個(gè)，分別為,和,在,處，只有一條路到達(dá)終點(diǎn)，其時(shí)間是,；在,處，也只有一條，時(shí)間為1。后一條時(shí)間最短，將此時(shí)間相應(yīng)地標(biāo)在 點(diǎn)上。,并將此點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑畫上箭頭。,然后再考慮第二級(jí),只有一種選擇，到終點(diǎn)所需時(shí)間是,有兩條路，比較后選出時(shí)間最少的一條，即4+1=5。用箭頭標(biāo)出,也標(biāo)出最優(yōu)路徑和時(shí)間,依此類推，最后計(jì)算初始位置,

25、求得最優(yōu)路徑,最短時(shí)間為 13,最優(yōu)路徑示意圖,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,91,5. 利用逆向分級(jí)計(jì)算法求解如下的最優(yōu)路徑問(wèn)題,從倒數(shù)第一級(jí)開(kāi)始，狀態(tài)有兩個(gè)，分別為,和,在,處，只有一條路到達(dá)終點(diǎn)，其時(shí)間是,；在,處，也只有一條，時(shí)間為3。后一條時(shí)間最短，將此時(shí)間相應(yīng)地標(biāo)在 點(diǎn)上。,并將此點(diǎn)到終點(diǎn)的最優(yōu)路徑畫上箭頭。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,92,然后再考慮第二級(jí)，亦即倒數(shù)第二級(jí),只有一種選

26、擇，到終點(diǎn)所需時(shí)間是,有兩條路，比較后選出時(shí)間最少的一條，即2+4=6。用箭頭標(biāo)出,也標(biāo)出最優(yōu)路徑和時(shí)間 3+3=6,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,93,然后再考慮第一級(jí)，亦即倒數(shù)第三級(jí),有兩種選擇，到終點(diǎn)所需時(shí)間是分別是，保留前者,有兩條路，比較后選出時(shí)間最少的一條，即 2+(2+4)=8 和 2+(3+3)=8。用箭頭標(biāo)出。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,94,最后再考慮第一級(jí)，亦即倒數(shù)第四級(jí),有兩種選擇，

27、到終點(diǎn)所需時(shí)間是分別是,或 2+(2+3+3)=10。于是，最短路經(jīng)有3條，時(shí)間為10。,求得最優(yōu)路徑,多級(jí)過(guò)程,多級(jí)決策過(guò)程,目標(biāo)函數(shù),控制目的,選擇決策序列,使目標(biāo)函數(shù)取最小值或最大值,實(shí)際上就是離散狀態(tài)的最優(yōu)控制問(wèn)題,最優(yōu)性原理,在一個(gè)多級(jí)決策問(wèn)題中的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì)，不管初始級(jí)、初始狀態(tài)和初始決策是什么，當(dāng)把其中任何一級(jí)和狀態(tài)做為初始級(jí)和初始狀態(tài)時(shí)，余下的決策對(duì)此仍是最優(yōu)決策。,,指標(biāo)函數(shù)多是各級(jí)指標(biāo)之和，即具有可加性,最

28、優(yōu)性原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式,4.2 離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃,階離散系統(tǒng),性能指標(biāo),求決策向量,使 有最小值（或最大值），其終點(diǎn)可自由，也可固定或受約束。,引進(jìn)記號(hào),應(yīng)用最優(yōu)性原理,可建立如下遞推公式,貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程,例4.2 設(shè)一階離散系統(tǒng)，狀態(tài)方程和初始條件為,性能指標(biāo),求使 有最小值的最優(yōu)決策序列和最優(yōu)軌線序列,指標(biāo)可寫為,,,代入,上一級(jí),,,代入狀態(tài)方程,,,最優(yōu)決策序列,最優(yōu)軌線,,4.3 連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃,性能指標(biāo),目標(biāo)集

29、,引進(jìn)記號(hào),,根據(jù)最優(yōu)性原理及,,由泰勒公式，得,由中值定理，得,,,連續(xù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程,實(shí)際上它不是一個(gè)偏微分方程，而是一個(gè)函數(shù)方程和偏微分方程的混合方程,,滿足連續(xù)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程，有,設(shè),邊界條件,動(dòng)態(tài)規(guī)劃 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的充分條件；解一個(gè)偏微分方程；可直接得出綜合函數(shù) ；動(dòng)態(tài)規(guī)劃要求 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)最大值原理 最大值原理是最優(yōu)控制函數(shù)滿足的必要條件；解一個(gè)常微分方程組；最大值原理則只

30、求得 。,,例4.3 一階系統(tǒng),性能指標(biāo),動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程,右端對(duì)u求導(dǎo)數(shù)，令其導(dǎo)數(shù)為零，則得,,,,,,4.4 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與最大值原理的關(guān)系,變分法、最大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃都是研究最優(yōu)控制問(wèn)題的求解方法，很容易想到，若用三者研究同一個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該得到相同的結(jié)論。因此三者應(yīng)該存在著內(nèi)在聯(lián)系。變分法和最大值原理之間的關(guān)系前面已說(shuō)明，下面將分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃和最大值原理的關(guān)系?？梢宰C明，在一定條件下，從動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程能求最大值原理的方程。,動(dòng)態(tài)

31、規(guī)劃方程,,令,哈米頓函數(shù),,,最大值原理的必要條件,,,,5.1 問(wèn)題提出　5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器　5.3 輸出調(diào)節(jié)器　5.4 跟蹤問(wèn)題　5.5 利用Matlab求解最優(yōu)控制,,,第5章 線性二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制,用最大值原理求最優(yōu)控制，求出的最優(yōu)控制通常是時(shí)間的函數(shù)，這樣的控制為開(kāi)環(huán)控制?！　‘?dāng)用開(kāi)環(huán)控制時(shí)，在控制過(guò)程中不允許有任何干擾，這樣才能使系統(tǒng)以最優(yōu)狀態(tài)運(yùn)行?！　≡趯?shí)際問(wèn)題中，干擾不可能沒(méi)有，因此工程上總希望

32、應(yīng)用閉環(huán)控制，即控制函數(shù)表示成時(shí)間和狀態(tài)的函數(shù)?！　∏蠼膺@樣的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)是很困難的?！　〉珜?duì)一類線性的且指標(biāo)是二次型的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，卻得了完全的解決。不但理論比較完善，數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，而且在工程實(shí)際中又容易實(shí)現(xiàn)，因而在工程中有著廣泛的應(yīng)用。,,5.1 問(wèn)題提法,動(dòng)態(tài)方程,指標(biāo)泛函,求,使之,有最小值,此問(wèn)題稱線性二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題,通常稱,為綜合控制函數(shù),,指標(biāo)泛函的物理意義積分項(xiàng)，被積函數(shù)由兩項(xiàng)組成，都是二次型。第一項(xiàng)

33、 過(guò)程　在控制過(guò)程中，實(shí)際上是要求每個(gè)分量越小越好，但每一個(gè)分量不一定同等重要，所以用加權(quán)來(lái)調(diào)整，當(dāng)權(quán)為零時(shí)，對(duì)該項(xiàng)無(wú)要求。第二項(xiàng)　控制能力　能量消耗最小。對(duì)每個(gè)分量要求不一樣，因而進(jìn)行加權(quán)。要求正定，一方面對(duì)每個(gè)分量都應(yīng)有要求，否則會(huì)出現(xiàn)很大幅值，在實(shí)際工程中實(shí)現(xiàn)不了；另一方面，在計(jì)算中需要有逆存在。指標(biāo)中的第一項(xiàng)　是對(duì)點(diǎn)狀態(tài)的要求，由于對(duì)每個(gè)分量要求不同，用加權(quán)陣來(lái)調(diào)整。,,5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器,5.2.1 末端自由問(wèn)題,5.2.

34、2 固定端問(wèn)題,5.2.3,的情況,狀態(tài)調(diào)節(jié)器選擇 或 使系統(tǒng)性能指標(biāo)有最小值,,,5.2.1 末端自由問(wèn)題,構(gòu)造哈密頓函數(shù),伴隨方程及邊界條件,最優(yōu)控制應(yīng)滿足,,,代入正則方程,線性二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制,,,,,,求導(dǎo),,,,,（矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠蹋?邊界條件,最優(yōu)控制,,令,最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的線性函數(shù)借助狀態(tài)變量的線性反饋可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制,對(duì)稱半正定陣,,例5.1,性能指標(biāo)泛函,

35、最優(yōu)控制,黎卡提微分方程,,,,,最優(yōu)軌線的微分方程,,解,最優(yōu)軌線,最優(yōu)控制,,,,黎卡提方程的解,隨終點(diǎn)時(shí)間變化的黎卡提方程的解,,5.2.2 固定端問(wèn)題,指標(biāo)泛函,（設(shè)　　　?。?采用“補(bǔ)償函數(shù)”法,補(bǔ)償函數(shù),懲罰函數(shù),邊界條件,,黎卡提方程,逆黎卡提方程,,,,求導(dǎo),黎卡提方程,乘以,,,,,,逆黎卡提方程,,,,解,逆,,5.2.3,的情況,性能指標(biāo),無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間調(diào)節(jié)器問(wèn)題,黎卡提方程,,邊界條件,最優(yōu)控制,最優(yōu)指標(biāo),,5.2.

36、4 定常系統(tǒng),完全可控,指標(biāo)泛函,矩陣代數(shù)方程,最優(yōu)控制,最優(yōu)指標(biāo),,例5.2,黎卡提方程,,5.3 輸出調(diào)節(jié)器,指標(biāo)泛函,輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題,,令,,5.4 跟蹤問(wèn)題,問(wèn)題的提法,已知的理想輸出,偏差量,指標(biāo)泛函,尋求控制規(guī)律使性能指標(biāo)有極小值。物理意義 在控制過(guò)程中，使系統(tǒng)輸出盡量趨近理想輸出，同時(shí)也使能量消耗最少。,,指標(biāo)泛函,,哈密頓函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,130,,,,,設(shè),并微分,20

37、24年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,131,,,,的任意性,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,132,,最優(yōu)軌線方程,最優(yōu)性能指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,133,,例5.3,,性能指標(biāo),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,134,,,,,,,,,,,,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,135,,,，,,,最優(yōu)控制,極限解,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,136,,

38、閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,137,6.1 快速控制問(wèn)題6.2 綜合問(wèn)題,,,第6章 快速控制系統(tǒng),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,138,在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常發(fā)生以時(shí)間為性能指標(biāo)的控制問(wèn)題。　　如，當(dāng)被控對(duì)象受干擾后，偏離了平衡狀態(tài)，希望施加控制能以最短時(shí)間恢復(fù)到平衡狀態(tài)?！　》彩且赃\(yùn)動(dòng)時(shí)間為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題稱為最小時(shí)間控制。,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,139,,

39、6.1 快速控制問(wèn)題,性能指標(biāo),時(shí)間上限,是可變的,從狀態(tài),轉(zhuǎn)移平衡狀態(tài),所需時(shí)間最短,構(gòu)造哈密頓函數(shù),,最小值原理,,,分段常值函數(shù),,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,140,,例6.1 有一單位質(zhì)點(diǎn)，在 處以初速度2沿直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)施加一力 ， ，使質(zhì)點(diǎn)盡快返回原點(diǎn)，并停留在原點(diǎn)上。力 簡(jiǎn)稱為控制。若其它阻力不計(jì)，試求此控制力。,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程,狀態(tài)方程,哈密頓函數(shù),伴隨方程

40、,,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,141,,最優(yōu)控制,協(xié)態(tài)變量與控制函數(shù)4種情況示意圖,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,142,,相軌線族示意圖,開(kāi)關(guān)曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,143,,開(kāi)關(guān)曲線,初始狀態(tài),最優(yōu)控制,狀態(tài)方程,,,相軌線,總時(shí)間,最優(yōu)控制,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,144,,6.2 綜合問(wèn)題,綜合是將最優(yōu)控制函數(shù)表示為狀態(tài)和時(shí)間的函數(shù),即,上例之最優(yōu)綜合控制

41、函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,145,,例6.2,,求快速返回原點(diǎn)的開(kāi)關(guān)曲線和最優(yōu)綜合控制函數(shù),構(gòu)造哈密頓函數(shù),伴隨方程,,,,最優(yōu)控制,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,146,,最優(yōu)控制與協(xié)態(tài)變量的變化情況,控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在　和　上的停留時(shí)間均為,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,147,,備選最優(yōu)軌線族,兩族同心圓方程,,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,148,,相點(diǎn)

42、沿軌線順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，其速度為,開(kāi)關(guān)曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,149,,第二段開(kāi)關(guān)曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,150,,整個(gè)開(kāi)關(guān)曲線,2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,151,,最優(yōu)綜合控制函數(shù),2024年3月21日星期四,現(xiàn)代控制理論,152,,最優(yōu)控制理論,上世紀(jì)50年代初,問(wèn)題比較簡(jiǎn)單,二階定常系統(tǒng),方法比較特殊,借助于幾何圖形,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題乃是一個(gè)變分問(wèn)題,變分法,開(kāi)集,