1、方差分析 四川大學(xué)華西公共衛(wèi)生學(xué)院 流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)系 張強(qiáng) qiangzhang@scu.edu.cn,在

2、試驗研究中，將全部觀察對象隨機(jī)分為k個組，每個組給予不同的處理。 當(dāng)k＝2時，兩組總體均數(shù)是否相等的假設(shè)檢驗可采用前面介紹的t檢驗或Z檢驗； 當(dāng)k>2時，即檢驗兩組以上總體均數(shù)是否相等時，t檢驗已不能滿足要求，需采用本章介紹的方差分析(analysis of variance，簡稱ANOVA)。,方差分析的基本思想,例9.1 為研究大豆對缺鐵性貧血的恢復(fù)作用，某研究者進(jìn)行了如下實驗：選取已做成貧血

3、模型的大鼠 36 只，隨機(jī)等分為3組，每組12只，分別用三種不同的飼料喂養(yǎng)：不含大豆的普通飼料、含10%大豆飼料和含15%大豆飼料。喂養(yǎng)一周后，測定大鼠紅細(xì)胞數(shù)(×1012/L)，試分析喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠貧血恢復(fù)情況是否不同？,表9.1 喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)(×1012/L),總變異=組間變異+組內(nèi)變異,,,,,,,,,,,,完全隨機(jī)設(shè)計的單因素方差分析,1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn),：3個總體均

4、數(shù)相等，即喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)相同,：3個總體均數(shù)不全相等，即喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)不全相同,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,,,,,,,,,,,,表9.3 例9.1資料的方差分析表,隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的兩因素方差分析,例9.2 利用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計研究不同溫度對家兔血糖濃度的影響，某研究者進(jìn)行了如下實驗：將 24只家兔按窩別配成6個區(qū)組， 每組 4 只， 分別隨機(jī)分配到溫度15℃、 20℃、 25℃、 30℃的4個處理組中，測量家兔

5、的血糖濃度值(mmol/L)，結(jié)果如下表9.4所示，分析4種溫度下測量家兔的血糖濃度值是否不同？,表9.4 四種溫度下測量家兔的血糖濃度值(mmol/L),,1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)處理組：,：4個總體均數(shù)全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值相同,：4個總體均數(shù)不全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值不全相同區(qū)組：,：6個總體均數(shù)全相等，即不同窩別家兔血糖濃度相同,：6個總體均數(shù)不全相等，即不同窩別家兔血糖濃度不全相同,2. 計

6、算檢驗統(tǒng)計量,,,,,,,,,,,,,,,,,表9.6 例9.2資料的方差分析表,多個樣本均數(shù)間的多重比較,方差分析的結(jié)果提供了各組均數(shù)間差別的總的信息，但尚未提供各組間差別的具體信息，即尚未指出哪幾個組均數(shù)之間的差別具有或不具有統(tǒng)計學(xué)意義。 為得到這方面的信息，可進(jìn)行多個樣本均數(shù)間的兩兩比較，它又稱為樣本均數(shù)間的多重比較(multiple comparison)。,在檢驗多組均數(shù)差別的無效假設(shè)Ｈ0時，常見的有以下兩種

7、情況：檢驗?zāi)硯讉€特定的總體均數(shù)是否相等，其無效假設(shè)稱為部分無效假設(shè)，即部分組所對應(yīng)的總體均數(shù)相等，Ｈ0：?i=?j(i?j)。,2. 檢驗全部k個總體均數(shù)是否相等，其無效假設(shè)稱為完全無效假設(shè)，即所有各組所對應(yīng)的總體均數(shù)都相等，Ｈ0：?1=?2＝…＝?k。,1. SNK-q檢驗 SNK為Student-Newman-Keuls三人姓氏的縮寫，檢驗統(tǒng)計量為q值，又常稱為q檢驗。 一般在方差分析結(jié)果拒絕Ｈ0：?1=?2

8、＝…＝?k時，再用SNK-q檢驗進(jìn)行多重比較。,,例9.3 對例9.1資料三組總體均數(shù)進(jìn)行兩兩比較。 1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn),：任意兩對比組的總體均數(shù)相等,：任意兩對比組的總體均數(shù)不等,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,首先將3個樣本均數(shù)由大到小排列，并編組次：,表9.9 例9.1資料的SNK法檢驗計算表,在設(shè)計階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識而計劃好的某些均數(shù)間的兩兩比較，它常用于事先有明確假設(shè)的證實性研究，如多個處理組與對照組

9、的比較，某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間的比較等，這時可采用Dunnett-,檢驗。其公式為,,檢驗。,2. Dunnett-,檢驗,,,例9.4 對例9.2資料，問20℃、25℃和30℃(均為實驗組)分別與15℃(對照組)的總體均數(shù)是否不同？ 1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn),：任一實驗組與對照組的總體均數(shù)相同,：任一實驗組與對照組的總體均數(shù)不同,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,,,,表9.10 例9.2資料的Dunnett

10、-,,檢驗計算表,交叉設(shè)計的方差分析,交叉設(shè)計(cross-over design)可分為兩階段交叉設(shè)計和多階段交叉設(shè)計，醫(yī)學(xué)實際工作中應(yīng)用較多的是前者。,交叉設(shè)計(cross-over design)是一種特殊的自身對照設(shè)計。 它克服了實驗前后自身對照由于觀察期間各種非實驗因素對實驗結(jié)果的影響所造成的偏倚。,在進(jìn)行設(shè)計時，最好將條件相近的觀察對象配對，再用隨機(jī)分配的方法決定其中之一先采用處理方式 A，再用處理方式B；另一研究對

11、象則先用B再用A。 結(jié)果使得一半對象先接受A，再接受B；另一半對象先接受B，再接受A；兩種處理方式在研究過程中交叉進(jìn)行。,由于A、B兩種處理方式先后實驗的機(jī)會均等，因而平衡了實驗順序的影響，并且可以通過假設(shè)檢驗，對處理方式之間和時間先后之間的差別分別進(jìn)行分析。,可見，交叉設(shè)計要求樣本含量為偶數(shù)，最好并將條件相近的配對，隨機(jī)分配決定進(jìn)行處理方式A和B的順序。,交叉設(shè)計的優(yōu)點是： 1. 節(jié)約樣本含量； 2. 能夠

12、控制時間因素及個體差異對處理方式的影響(因而它優(yōu)于一般的自身對照實驗)； 3. 每一個實驗對象同時接受實驗因素和對照(如安慰劑)，從醫(yī)德的觀點出發(fā)，均等地考慮了每一個患者的利益。,使用交叉設(shè)計時應(yīng)當(dāng)注意：該設(shè)計的基本前提是兩種處理方式不能相互影響，即首先進(jìn)行的處理方式不應(yīng)對后者的效應(yīng)有所影響。 因此兩次實驗之間應(yīng)當(dāng)有必要的間隔，間隔時間的長短決定于藥物從體內(nèi)的排除時間(washout time)。研究者可以參照藥典

13、或預(yù)備實驗中藥物在血清中的衰減程度，決定其間隔期限。,2. 交叉設(shè)計不適用于病程較短的急性病治療效果的研究，如大葉肺炎、急性扁桃腺炎等，因為在第一階段給予實驗措施該病便已治愈，第二階段的措施則不可能反映出來。 因此，交叉設(shè)計只適用于某些病程相對較長的疾病。,3. 交叉設(shè)計實驗應(yīng)盡可能采用盲法，使研究者和患者都不知道有效藥物在哪一階段使用，以免產(chǎn)生偏倚。 特別是容易使患者在第一階段使用有效的藥物后，便退

14、出實驗，這將會嚴(yán)重的影響研究結(jié)果。 因此應(yīng)注意控制患者退出實驗的比例，盡可能使其降低到最低程度。,例9.5 某醫(yī)師研究A、B兩種藥物對失眠患者改善睡眠的效果，將12名患者按交叉設(shè)計方案隨機(jī)分為兩組，觀察兩種藥物、兩個階段睡眠時間增加量 (h)， 每個階段治療兩周，間隔兩周。第一組患者為A→B順序，即第一階段服用A藥，第二階段服用B藥；第二組為B→A順序，即第一階段服用B藥，第二階段服用A藥。結(jié)果見表9.11。,表9.1

15、1 失眠患者睡眠時間增加量(h),,,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表9.13 表9.11資料的方差分析表,析因設(shè)計的方差分析,析因設(shè)計(factorial design) 中最簡單的是兩因素方差分析。 此時觀察兩個因素(分別記為A與B)，每個因素兩個水平，共有2×2=4種不同的因素水平組合。,在臨床研究中，許多試驗因素之間往往是相互聯(lián)系、相互制約的，有時當(dāng)一種因素的質(zhì)和量改變時另一種現(xiàn)

16、象的質(zhì)和量也隨之改變。 例如，當(dāng)同時研究兩種試驗因素(如兩種藥物)的效果，每種因素又有兩個水平(如用藥和不用藥)時，某種藥物的水平變化有可能使另一種藥物的水平也隨之發(fā)生變化，此時析因設(shè)計(factorial design)是一種十分有用的設(shè)計。,它不僅可以檢驗兩因素各水平之間的差異有無統(tǒng)計學(xué)意義，而且可以檢驗兩因素間的交互作用。 若兩因素間存在交互作用，甲因素的水平改變時，乙因素的效應(yīng)也相應(yīng)有所改變；若無交互作用

17、，兩者是相互獨立的。,析因設(shè)計的優(yōu)點還在于可以節(jié)約樣本含量，若將兩種藥物分別進(jìn)行隨機(jī)對照試驗，析因設(shè)計將節(jié)約樣本含量的1/2，若用兩種藥物相互對比的設(shè)計，可節(jié)約1/3的樣本含量。,例9.6 為研究某降血糖藥物對糖尿病及正常大鼠心肌磺脲類藥物受體 SUR1 的 mRNA 的影響，某研究者進(jìn)行了如下實驗：將24只大鼠隨機(jī)等分成4組：兩組正常大鼠，另兩組制成糖尿病模型，糖尿病模型的兩組分別進(jìn)行給藥物和不給藥物處理，剩余兩組正常大鼠也分別進(jìn)行

18、給藥物和不給藥物處理，測得各組mRNA吸光度的值(%)結(jié)果見表9.14。,表9.14 4種不同處理情況下吸光度的值(%),單獨效應(yīng)、主效應(yīng)和交互效應(yīng),表9.15 例9.6資料吸光度均數(shù)的差別,AB兩因素的交互效應(yīng)的計算公式為：,,例9.6中,,圖9.1 2×2析因設(shè)計交互作用示意圖,,,表9.16 2×2析因設(shè)計方差分析計算表,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表9.17

19、例9.6資料方差分析表,如果交互作用無統(tǒng)計學(xué)意義，可直接采用表9.17對A、B兩因素的假設(shè)檢驗結(jié)果。,重復(fù)測量資料的方差分析,重復(fù)測量(repeated measure)是指對同一觀察對象的同一觀察指標(biāo)在不同時間點上進(jìn)行多次測量，用于分析該觀察指標(biāo)在不同時間上的變化規(guī)律。 這類資料在臨床和流行病學(xué)研究中比較常見，例如，藥效研究中常常要觀察給藥后不同時間點的血藥濃度。,其主要特點是同一受試對象在不同時點的觀察值之間彼此不獨立，往往

20、存在某種程度上的相關(guān)性。 因此，這類資料的方差分析具有一定的特殊性。,例9.7 臨床上為指導(dǎo)腦?；颊叩闹委熀皖A(yù)后，某研究人員對不同類型腦?；颊咚嵝粤字?AP)在不同時間點的變化，進(jìn)行了如下觀察：隨機(jī)選取三種不同類型的腦梗(TIA、腦血栓形成、腔隙性腦梗塞)患者各8例，分別于腦梗發(fā)生的第24小時、48小時、72小時、7天分別采血，測量血中AP的值，結(jié)果見表9.18。,表9.18 不同類型腦?；颊逜P的值(µmo

21、l/L),,表9.19 重復(fù)測量設(shè)計方差分析的計算表,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,表9.20 三組患者在不同時間點上AP值比較的方差分析表,3. 確定P值，作出統(tǒng)計推斷,根據(jù)表9.20的P值，時間與處理因素的交互項有統(tǒng)計學(xué)意義，可認(rèn)為三種不同類型的腦?；颊叩腁P值在不同時間點上的變化是不同的。若想進(jìn)一步了解三種不同類型的腦?；颊吆退膫€時間點之間的差別，可固定某一因素的水平分析另一因素的效應(yīng)。,重復(fù)測量資料方差分析的前提條件,進(jìn)行重復(fù)測量資

22、料的方差分析，除需滿足一般方差分析的條件外，還需特別滿足協(xié)方差陣(covariance matrix)的球形性(sphericity/circularity)或復(fù)合對稱性(compound symmetry)。 若球形對稱性質(zhì)不能滿足，方差分析的結(jié)果會增大I型錯誤的概率。球?qū)ΨQ性通常采用Mauchly檢驗(Mauchly’s test)來判斷，由于Mauchly檢驗的統(tǒng)計量的表達(dá)式較復(fù)雜，計算繁瑣，通常是運用統(tǒng)計軟件完成。

23、,,如果一個協(xié)方差陣主對角線的元素都相等而其他元素均為零，則稱這個協(xié)方差陣具有球性。 采用Mauchly球性檢驗，可以作出是否拒絕“H0：總體協(xié)方差陣具有球性”的結(jié)論。,表9.21 Mauchly檢驗和球?qū)ΨQ系數(shù),表9.22 自由度調(diào)整值,表9.23 三組患者在不同時間點上AP值比較的方差分析表(G-G校正),方差分析對數(shù)據(jù)的基本假設(shè)是： ① 各次觀察獨立，即任何兩個觀察值之間均不相關(guān)； ②

24、 每一水平下的觀察值xij分別服從總體均數(shù)為 的正態(tài)分布； ③ 各總體的方差相等，即具有方差齊性(homogeneity of variance)。 概括地表達(dá)為：任何觀察值xij都是獨立地來自具有等方差的正態(tài)總體。,,多個方差的齊性檢驗,方差分析要求各樣本的總體方差齊同。因此，在進(jìn)行方差分析之前，有必要對各樣本的總體方差進(jìn)行齊性檢驗。檢驗假設(shè)為H0：k個總體方差相等，即 H1：k個總體方差不等或

25、不全相等,Levene 檢驗法既可用于檢驗兩總體方差齊性，也可用于檢驗多個總體的方差齊性。用于多樣本方差齊性檢驗時，所分析的資料可不具有正態(tài)性。,,例9.8 對例9.1作方差齊性的Levene檢驗。,1. 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn),：三個總體方差全相等,：三個總體方差不全相等,=0.10,2. 計算檢驗統(tǒng)計量,表9.24 例9.1的Levene方差齊性檢驗結(jié)果,表9.25 幾種設(shè)計方案中,和,的分解,變量變換,,變量轉(zhuǎn)換是通過數(shù)

26、學(xué)函數(shù)將原數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成新數(shù)據(jù)。其目的是：① 改善方差齊性；② 使得轉(zhuǎn)換后的資料接近正態(tài)分布；③ 使得曲線關(guān)系直線化。經(jīng)過轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)有可能滿足方差分析、t檢驗或直線相關(guān)等統(tǒng)計學(xué)方法的應(yīng)用條件。常用的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法有：,變量變換的類型：1．對數(shù)變換2．平方根變換3．倒數(shù)變換4．平方根反正弦變換,1.對數(shù)變換(logarithmic transformation)： 即將原始數(shù)據(jù)x的對數(shù)值作為新的分析數(shù)據(jù)。,對數(shù)變換

27、常用于： ① 使服從對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化。如環(huán)境中某些污染物的分布，人體中某些微量元素的分布等，可用對數(shù)變換改善其正態(tài)性。 ② 使數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性，特別是各樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例或變異系數(shù)CV接近于一個常數(shù)時。,2. 平方根變換(square root transformation)： 即將原始數(shù)據(jù)x的平方根 作為新的分析數(shù)據(jù)。,平方根變換常用于： ① 使服從P

28、oisson分布的計數(shù)資料或輕度偏態(tài)的資料正態(tài)化，例如放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)的放射次數(shù)，某些發(fā)病率較低的疾病在時間或地域上的發(fā)病例數(shù)分布等，可用平方根變換使其正態(tài)化。 ② 當(dāng)各樣本的方差與均數(shù)呈正相關(guān)時，可使資料達(dá)到方差齊性。,3. 倒數(shù)變換(reciprocal transformation)： 即將原始數(shù)據(jù)x的倒數(shù)作為新的分析數(shù)據(jù)： x’＝1／x,倒數(shù)變換常用于數(shù)據(jù)兩端波動較大的資料，可使極端

29、值的影響減小。,4. 平方根反正弦變換(arcsine transformation)： 即將原始數(shù)據(jù)x的平方根反正弦值作為新的分析數(shù)據(jù)。變換公式有兩種： (1) 用角度表示：x＝sin-1 (2) 用弧度表示：,平方根反正弦變換常用于服從二項分布的率或百分比的資料，如流行病學(xué)研究中疾病的發(fā)病率、患病率，實驗研究中白細(xì)胞分類計數(shù)(%)、淋巴細(xì)胞轉(zhuǎn)變率(%)。 一般認(rèn)為，當(dāng)總體率較小(如＜3