1、§6.1 工程中的彎曲變形問(wèn)題,第六章 彎曲變形,在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。,搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。,橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。,但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的疊板彈簧，要求有

2、足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。,1.撓曲線,一、彎曲變形的基本概念,撓曲線,§6.2 撓曲線的微分方程,2.撓度和轉(zhuǎn)角,規(guī)定：向上的撓度為正 逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正,撓曲線方程：,轉(zhuǎn)角方程：,:是度量彎曲變形的兩個(gè)基本量,二、撓曲線的近似微分方程式,純彎曲梁中性層的曲率公式：,對(duì)橫力彎曲（l / h >5），剪力對(duì)彎曲變形的影響很小，上式近似成立，即,二、撓曲線的近似微分方程式,平面曲線

3、 上任意點(diǎn)的曲率為,平面曲線 上任意點(diǎn)的曲率,,,——撓曲線的近似微分方程式,,§6.3 用積分法求彎曲變形,兩邊對(duì) x 變量積分一次，有,（a）,—— 截面轉(zhuǎn)角方程,對(duì) x 變量再次積分,（b）,—— 梁的撓曲線方程,1.撓度與轉(zhuǎn)角方程,§6.3 用積分法求彎曲變形,對(duì)等截面梁，EI =常數(shù)，有,C、D為積分常數(shù)，由邊界條件或變形連續(xù)性條件確定。,2.邊界條件,,,

4、,,桿BC 的伸長(zhǎng)量,3.連續(xù)性條件,如：對(duì)C截面有,撓曲線的任意點(diǎn)上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角,—— 稱為梁變形的連續(xù)性條件,3.連續(xù)性條件,撓曲線的任意點(diǎn)上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。,—— 稱為梁變形的連續(xù)性條件。,A,兩種不可能變形情況,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,由邊界條件：,? 例題,解：,解：,梁的轉(zhuǎn)角方程,梁的撓曲線方程,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：

5、,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,解：,由邊界條件：,? 例題,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,? 例題,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,圖示簡(jiǎn)支梁，EI=常數(shù)。試討論該簡(jiǎn)支梁的彎曲變形。,? 例題,分段寫(xiě)彎矩方程：,AC段,CB段,AC段,CB段,帶入撓曲線近似微分方程，分段積分,確定積分常數(shù)

6、：,邊界條件,變形連續(xù)性條件,AC段,CB段,轉(zhuǎn)角方程，撓曲線方程,確定最大值：,§6.4 用疊加法求彎曲變形,圖示梁，任意橫截面的彎矩為：,一、疊加法思想,單獨(dú)作用下的彎矩,令 為 單獨(dú)作用下的撓度,當(dāng)梁上同時(shí)作用有幾種載荷時(shí)，可分別求出每一種載荷單獨(dú)作用下的變形，然后將各個(gè)載荷單獨(dú)引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時(shí)的變形。,疊加法：,二、梁的剛度條件,剛度條件：,、

7、 是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們 決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。,用疊加法求,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,,,,M,兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁Ⅰ、Ⅱ如圖示，Ⅱ梁的最大撓度是Ⅰ梁的多少倍？,16倍,簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上受均布載荷 q 作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？,16倍,M,,,,,,,,,,,,P,,,,,,,,,A,B,C,若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角θB=0，則力偶矩M等

8、于多少？,欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,,P,,,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度 wB 、 wC,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,EI,2EI,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,2EI,M,,,,,,用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度

9、wB 、 wC,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,EI,2EI,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,2EI,M,,,,,,,,,,,,,,,,B,,C,,P,EI,,用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。,解除多余約束，代之相應(yīng)的反力；變靜不定梁為形式上的靜定梁系統(tǒng),§6.5 簡(jiǎn)單超靜定梁,一、靜不定梁的概念,不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁,—— 靜不定梁 或超靜定梁,二、相當(dāng)系統(tǒng)的建立,方法步驟：,

10、—— 該梁稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求出解除約束處的變形，并與實(shí)際變形比較，得補(bǔ)充方程；,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解除多余約束，代之相應(yīng)的反力；變靜不定梁為形式上的靜定梁系統(tǒng),—— 該梁稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng),三、用變形比較法解靜不定梁,求圖示靜不定梁的支反力。,將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：

11、,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,另解：將支座A對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：,用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。,用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θB（k為彈簧系數(shù)）。,解：彈簧縮短量,梁AB，橫截面為邊長(zhǎng)為a的正方形，彈性模量為E1；桿BC，橫截面為直徑為d的圓形，彈性模量為E2。試求BC桿的伸長(zhǎng)及AB梁中點(diǎn)的撓度。,§6.6 提高彎曲剛度的一些措施