1、110[文件]sxjsck0006.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二判別式韋達定理方程[標題]判別式與韋達定理[內(nèi)容]判別式與韋達定理判別式與韋達定理根的判別式和韋達定理是實系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識，利用它們可進一步研究根的性質(zhì)，也可以將一些表面上看不是一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來討論.1判別式的應(yīng)用例1（1987年武漢等四市聯(lián)賽題）已知實數(shù)a、b、c、R、P滿足條件PR＞1，Pc2bRa=0.求證：一元二次方程ax22

2、bxc=0必有實根.證明△=（2b）24ac.①若一元二次方程有實根，必須證△≥0.由已知條件有2b=（PcRa），代入①，得△=（PcRa）24ac=（Pc）22PcRa（Ra）24ac=（PcRa）24ac（PR1）.∵（PcRa）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）當ac≥0時，有△≥0；（2）當ac＜0時，有△=（2b）24ac＞0.（1）、（2）證明了△≥0，故方程ax22bxc=0必有實數(shù)根.例2（1985年寧波初中數(shù)學(xué)競賽題

3、）如圖211，k是實數(shù)，O是數(shù)軸的原點，A是數(shù)軸上的點，它的坐標是正數(shù)a.P是數(shù)軸上另一點坐標是xx＜a，且OP2=kPAOA.（1）k為何值時，x有兩個解x1，x2（設(shè)x1＜x2）；此處無圖（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按從小到大的順序排列，并用不等號“＜”連接.解（1）由已知可得x2=k（ax）a，即x2kaxka2=0，當判別式△＞0時有兩解，這時△=k2a24ka2=a2k（k4）＞0.∵a＞0，∴k（k4）＞0，故k＜4

4、或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3（1982年湖北初中數(shù)學(xué)競賽題）證明不可能分解為兩個一次因式y(tǒng)xyxyx????22之積.分析若視原式為關(guān)于x的二次三項式，則可利用判別式求解.證明).()1(2222yyxyxyxyxyx?????????將此式看作關(guān)于x的二次三項式，則判別式△=.163)(4)1(222???????yyyyy顯然△不是一個完全平方式，故原式不能分解為兩個一次因式之積.例3（1957年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）已

5、知x，y，z是實數(shù)，且xyz=a，①112證明由已知條件可以推出a≠0，因為若a=0，則方程組至少有?????????????cbxyxycbxyxy一個有實數(shù)解.進一步可知，方程ax2bxc=x無實根，因此判別式△=＜0，acb4)1(2??于是（b1）2（b1）8ac＜0.即4acb2＞1.∴????????????????????2222442||||abacabxacbxax＞.||41412aaa??2韋達定理的應(yīng)用例7（18

6、99年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題）假設(shè)x1、x2是方程x2（ad）xadbc=0的根.證明這時是方程的根.3231xx0)()33(3332???????bcadybcdadcday證明由已知條件得.2121bcadxxdaxx??????∴)(3)(21213213231xxxxxxxx?????=a3d33abc3bcd，.)()(33213231bcadxxxx?????由韋達定理逆定理可知，、是方程31x32x的根.0)()33(

7、3332???????bcadybcdabcday例8已知兩個系數(shù)都是正數(shù)的方程a1x2b1xc1=0，①a2x2b2xc2=0，②都有兩個實數(shù)根，求證：（1）這兩個實數(shù)根都是負值；（2）方程a1a2x2b1b2xc1c2=0③③也有兩個負根.證明∵方程①有兩個實數(shù)根，∴＞0.④11214cab?同理＞0.⑤22224cab?又a1、b1、c1都是正數(shù)，∴＞0，＜0.11ac11ab?由此可知方程①的兩根是負值.同樣可證方程②的兩根也是