1、畢業(yè)論文第0頁共12頁柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及推廣[摘要]本文主要介紹著名不等式——柯西不等式的幾種證明方法及其在初等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.同時(shí)對(duì)其在其他領(lǐng)域的推廣進(jìn)行了簡要論述，并且對(duì)其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些問題進(jìn)行討論，對(duì)柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的取證并得到了證明，從而肯定了其在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.[關(guān)鍵詞]柯西（Cauchy）不等式；應(yīng)用函數(shù)最值；三角函數(shù)證明；不等式教學(xué)1引言中學(xué)教材和教輔讀物中有不少地方

2、都有一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)的雛形和影子.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的教學(xué)一直是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用不等式同時(shí)，都會(huì)覺得解題中困難重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解.柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題具有重要的應(yīng)用.基于此，本文擬以柯西不等式為出發(fā)點(diǎn)，從其證明方法到推廣及應(yīng)用技巧等方面進(jìn)行總結(jié)和歸納，并簡談其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.2柯西不等式的證明本文所說的柯西

3、不等式是指(1)??nibabaniiniiniii???????????????21121221當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.122ninaaabbb????2.12.1構(gòu)造二次函數(shù)證明構(gòu)造二次函數(shù)證明首先當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立.120naaa?????120nbbb?????令22111nnniiiiiiiABCaabb?????????當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知構(gòu)造二次函數(shù)12naaa?0?A展開得??222fxAxBxC???????

4、??22221120nniiiiiiiifxaxabxbaxb??????????故的判別式移項(xiàng)得得證.??fx2440BAC????2ACB?2.22.2向量法證明向量法證明令畢業(yè)設(shè)計(jì)第2頁共12頁當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.于是n=k1時(shí)不等式成立.1111212111kkkkkkkkabbaabbaabba??????????由a)b)c)d)可得對(duì)于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立.2.42.4利用恒等式證明利用恒等式證明先用數(shù)學(xué)歸納法證

5、明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對(duì)于兩組實(shí)數(shù)有柯西—拉格朗日恒等式1212nnaaabbb????????22223322211nnnnnnabababababab??????????由實(shí)數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立.??20R????以上給出了柯西不等式的四種證法.利用四種不同的方法全面論證柯西不等式，能加深我們對(duì)柯西不等式的認(rèn)識(shí)和理解，為其在數(shù)學(xué)解題方面的研究提供了更完備的參考理論.3柯西不等式的推廣命題命題1若級(jí)數(shù)與收斂，則有不等式

6、.21niia??21niib???????????????niiniiniiibaba121221證明證明由，收斂，可得??niia12??niib12??????????????????????????niiniiniiibaba1212210因?yàn)槭諗浚?，從而有不等??niia12???????????????????niinniinniiinbaba121221limlimlim成立.?????????????niiniini

7、iibaba121221命題命題2若級(jí)數(shù)與收斂，且對(duì)有，則對(duì)定義在21niia??21niib??nN??222111nnniiiiiiiabab?????????????上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式.??ab????fxgx????????dxxgdxxfdxxgxfbababa??????????222證明證明因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)與、????fxgx??ab??fx??gx在上可積，將區(qū)間等分，取n每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為，由積分