1、《高觀點下的幾何學》練習題一一、填空題一、填空題1設共線三點，則??02(20)(11)ABC()ACB?2如果兩個向量線性相關，則它們的位置關系是（），夾角為（）。3空間中三個向量線性相關當且僅當它們（），空間中的四個向量一定（）4設與是兩個非零向量，若與線性相關，則。a?b?a?b???ab????5已知向量，則與之間的內積。????123123axxxbyyy????a?b???ab????二、選擇題二、選擇題1下列性質或量中哪些

2、是仿射的()（1）線段的中點；（2）角的平分線；（3）交比；（4）點偶的調和共軛性（5）角度（6）三角形的面積（7）兩相交線段的比（8）兩平行線段的比（9）對稱軸（10）對稱中心2設與是兩個非零向量，若，則（）。a?b?0ab????與平行與垂直與線性相關與的夾角為??Aa?b???Ba?b???Ca?b???Da?b??3設與是兩個非零向量，則下列結論正確的是（）。a?b???Aabab????????Babab????????Cab

3、ab????????Dabab??????4下列說法錯誤的是（）A平面上兩個向量線性無關當且僅當它們不共線；B平面上兩個向量線性無關當且僅當它們垂直C平面上兩個向量線性無關當且僅當它們平行D平面上的三個向量一定線性相關5設與是兩個非零向量，若，則（）a?b?0ab?????與平行與交角為銳角與線性相關與的夾角為??Aa?b???Ba?b???Ca?b???Da?b?2?三、計算與證明題三、計算與證明題1設平面上的點變換和分別由和表示，1

4、?2????????????15232:1yxyyxx??????????2:2xyyxx?求；；；。12(1)??11(2)??21(3)??12(4)??2求線坐標所表示的直線方程。??1013求線坐標所表示的直線方程。??111?4求線坐標所表示的直線方程。??222?5求線坐標所表示的直線方程。??0116試用向量法證明：等腰三角形的中線垂直于底邊。7證明：使向量內積不變的仿射變換是正交變換。8試用向量法證明：半圓的圓周角是直角

5、。9若存在，求下列各點的非齊次坐標。(1)(353)??(2).(010)10若存在，求下列各點的非齊次坐標，。(1)(056)?(2)(180)11若存在，求下列各點的非齊次坐標，。(1)(010)(2)(086)?12將二次曲線化簡成標準型。22220xxyyxy?????6求證：相交于影消線的二直線必射影成兩平行線?！陡哂^點下的幾何學》練習題（一）參考答案一、填空題。1公理法的三個基本問題是（相容性相容性問題問題）、）、（獨立性獨

6、立性問題問題）和（）和（完備性問題問題）。2公理法的結構是（原始概念的列（原始概念的列舉）、）、（定（定義的敘述的敘述）、）、（公理的敘述）和（定理的敘述和（公理的敘述）和（定理的敘述和證明）明）。3仿射變換把矩形變成平行四平行四邊形4仿射變換把平行線變成平行平行線5仿射變換把正三角形變成三角形三角形二、簡答題。1試給一個羅氏幾何的數(shù)學模型。答：答：羅氏幾何的（氏幾何的（CayleyF.kLein）模型）模型在歐氏平面上任取一個在歐氏平

7、面上任取一個圓，把，把圓內部的點所構成的集合看成是內部的點所構成的集合看成是羅氏“平面平面”。羅氏平面幾何的原始概念解氏平面幾何的原始概念解釋成：成：羅氏點：氏點：圓內的點；內的點；羅氏直氏直線：圓內的開弦（兩個端點除外，它內的開弦（兩個端點除外，它們可稱可稱為無窮遠窮遠點）。點）。結合關系：合關系：圓內原來的點和內原來的點和線的結合關系；合關系；介于關系：介于關系：圓內弦上三點的介于關系；內弦上三點的介于關系；運動關系：歐氏平面上，將

8、關系：歐氏平面上，將圓K變成自身的射影成自身的射影變換變換。羅氏平行公理（在氏平行公理（在羅氏平面上）氏平面上）通過直線外一點至少存在兩直外一點至少存在兩直線與已知直與已知直線不相交。不相交。2試給一個黎曼幾何的數(shù)學模型答：黎曼幾何的（答：黎曼幾何的（F.KLein）模型）模型黎曼幾何的原始概念解黎曼幾何的原始概念解釋成：成：黎氏點：歐氏球面上的點，但把每黎氏點：歐氏球面上的點，但把每對對對對徑點看成一點；徑點看成一點；黎氏直黎氏直線：

9、球面上的大：球面上的大圓；黎氏平面：改造后的球面。黎氏平面：改造后的球面。黎氏點與黎氏直黎氏點與黎氏直線的基本關系：的基本關系：(1)通過任意兩個黎氏點存在一條黎氏直任意兩個黎氏點存在一條黎氏直線；(2)通過任意兩個黎氏點至多存在一條黎氏直任意兩個黎氏點至多存在一條黎氏直線；(3)每條黎氏直每條黎氏直線上至少有兩個黎氏點；至少存在三個黎氏點不在同一條黎氏直上至少有兩個黎氏點；至少存在三個黎氏點不在同一條黎氏直線上。上。黎曼幾何平行公理：

10、黎氏平面上任意兩條直黎曼幾何平行公理：黎氏平面上任意兩條直線相交。相交。3簡述公理法的基本思想。答：若干個原始概念（包括元素和關系）、定答：若干個原始概念（包括元素和關系）、定義和公理一起叫做一個公理體系，構成了一種幾何的基和公理一起叫做一個公理體系，構成了一種幾何的基礎。全部。全部元素的集合構成了元素的集合構成了這種幾何的空種幾何的空間。在。在這個公理體系的基個公理體系的基礎上，每個概念都必上，每個概念都必須給須給出定出定義，每個命，