1、費(fèi)爾巴赫定理費(fèi)爾巴赫定理費(fèi)爾巴赫定理三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切，而與旁切圓外切。此定理由德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾巴赫（KWFeuerbach，1800—1834）于1822年提出。費(fèi)爾巴赫定理的證明費(fèi)爾巴赫定理的證明在不等邊△ABC中設(shè)OHIQIa分別表示△ABC的外心，垂心，內(nèi)心，九點(diǎn)圓心和∠A所對(duì)的旁切圓圓心.sRrra分別表示△ABC的半周長(zhǎng)，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑和∠A所對(duì)的旁切圓半徑BC=aCA=bAB=c.易得∠HAO=|BC|∠HA

2、I=∠OAI=|BC|2AH=2RcosAAO=RAI=√[(sa)bcs]AIa=√[sbc(sa)]在△AHI中，由余弦定理可求得:HI^2=4R^24Rr3r^2s^2在△AHO中，由余弦定理可求得:HO^2=9R^28Rr2r^22s^2在△AIO中，由余弦定理可求得:OI^2=R(R2r).∵九點(diǎn)圓心在線段HO的中點(diǎn)∴在△HIO中，由中線公式可求得.4IQ^2=2(4R^24Rr3r^2s^2)2(R^22Rr)(9R^28R

3、r2r^22s^2)=(R2r)^2故IQ=(R2r)2.又△ABC的九點(diǎn)圓半徑為R2所以九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓的圓心距為d=R2r=(R2r)2=IQ.因此三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切。在△AHIa中，由余弦定理可求得:IaH^2=4R^24Rrr^2s^22(ra)^2在△AOIa中，由余弦定理可求得:IaO^2=R(R2ra).在△HIaO中，由中線公式可求得.4IaQ^2=2(4R^24Rrr^2s^22ra^2)2(R^22Rra)(9

4、R^28Rr2r^22s^2)=(R2ra)^2故IaQ=(R2ra)2.九點(diǎn)圓與∠A的旁切圓的圓心距為d=R2ra=(R2ra)2=IaQ.故三角形的九點(diǎn)圓與∠A的旁切圓外切。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK=∠CBD；因?yàn)椤螦BK∠CBK=∠ABC=∠CBD∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD~

5、△KBC。因此AKAB=CDBD，且CKBC=DABD；因此AKBD=ABCD，且CKBD=BCDA；兩式相加，得(AKCK)BD=ABCDBCDA；但AKCK=AC，因此ACBD=ABCDBCDA。證畢。三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD＝ABCD＋ADBC證明：如圖1，過(guò)C作C

6、P交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD②。①＋②得AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC即ACBD=ABCD＋ADBC推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積