1、基于基于BurgBurg算法的算法的ARAR模型功率譜估計簡介模型功率譜估計簡介摘要：在對隨機信號的分析中，功率譜估計是一類重要的參數(shù)研究，功率譜估計的方法分為經(jīng)典譜法和參數(shù)模型方法。參數(shù)模型方法是利用型號的先驗知識，確定信號的模型，然后估計出模型的參數(shù)，以實現(xiàn)對信號的功率譜估計。根據(jù)wold定理AR模型是比較常用的模型，根據(jù)Burg算法等多種方法可以確定其參數(shù)。關(guān)鍵詞：功率譜估計；AR模型；Burg算法隨機信號的功率譜反映它的頻率成分

2、以及各成分的相對強弱能從頻域上揭示信號的節(jié)律是隨機信號的重要特征。因此用數(shù)字信號處理手段來估計隨機信號的功率譜也是統(tǒng)計信號處理的基本手段之一。在信號處理的許多應(yīng)用中常常需要進(jìn)行譜估計的測量。例如在雷達(dá)系統(tǒng)中為了得到目標(biāo)速度的信息需要進(jìn)行譜測量在聲納系統(tǒng)中為了尋找水面艦艇或潛艇也要對混有噪聲的信號進(jìn)行分析。總之在許多應(yīng)用領(lǐng)域中例如雷達(dá)、聲納、通訊聲學(xué)、語言等領(lǐng)域都需要對信號的基本參數(shù)進(jìn)行分析和估計以得到有用的信息其中譜分析就是一類最重要的

3、參數(shù)研究。1功率譜估計簡介功率譜估計簡介一個寬平穩(wěn)隨機過程的功率譜是其自相關(guān)序列的傅里葉變換，因此功率譜估計就等效于自相關(guān)估計。對于自相關(guān)各態(tài)遍歷的過程，應(yīng)有：)()()(121limkrnxknxNNxNNn??????????????如果所有的)(nx都是已知的，理論上功率譜估計就很簡單了，只需要對其自相關(guān)序列取傅里葉變換就可以了。但是，這種方法有兩個個很大的問題：一是不是所有的信號都是平穩(wěn)信號，而且有用的數(shù)據(jù)量可能只有很少的一部分

4、；二是數(shù)據(jù)中通常都會有噪聲或群其它干擾信號。因此，譜估計就是用有限個含有噪聲的觀測值來估計)(jwxeP。譜估計的方法一般分為兩類。第一類稱為經(jīng)典方法或參數(shù)方法，它首先由給定的數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列)(krx，然后對估計出的)(?krx進(jìn)行傅里葉變換獲得功率譜估計。第二類稱為非經(jīng)典法，或參數(shù)模型法，是基于信號的一個隨機模型來估計功率譜。非參數(shù)譜估計的缺陷是其頻率分辨率低，估計的方差特性不好而且估計值沿頻率軸的起伏甚烈，數(shù)據(jù)越長這一現(xiàn)象越嚴(yán)重

5、。為了改善譜分辨率，研究學(xué)者對基于模型的參數(shù)方法進(jìn)行了大量研究。參數(shù)方法的第一步是對信號選擇一個合適的模型，這種選擇可能是基于有關(guān)信號如何產(chǎn)生的先驗知識，也可能是多次試驗后獲得的結(jié)果。通常采用的模型包括AR、MA、ARMA模型和諧波模型（噪聲中含有復(fù)指數(shù)）。一旦模型選擇好后，下一步就是計算模型的參數(shù)。最后將計算得到的參數(shù)帶入模型中就可以獲得估計功率譜。mr?2()asafjfmTfPfedfπ??這個優(yōu)化結(jié)果可以用來計算最小二乘估計，它

6、涉及觀測數(shù)據(jù)前向和后向預(yù)測的MSE之和。計算中，預(yù)測系數(shù)必須滿足LenvinsonDurbin遞推關(guān)系，并且可直接計算而無需首先計算自相關(guān)系數(shù)。這種方法的優(yōu)點就是對未知數(shù)據(jù)不需要做任何假設(shè)，估計精度較高。其缺點是在分析噪聲中的正弦信號時，會引起譜線分裂，且譜峰的位置和正弦信號的相位有很大的關(guān)系。Burg算法是使前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差均方誤差之和最小來求取Km的，它不對已知數(shù)據(jù)段之外的數(shù)據(jù)做認(rèn)為假設(shè)。計算m階預(yù)測誤差的遞推表示公式如下

7、：x(n)(n)(n)(n)1)(n(n)1)(n(n)(n)0f0f1mm1bm1mf1mmeeee??????ekeekebbmbmf求取反射系數(shù)的公式如下：1)](n[(n)][1)](n(n)[22b1m2f1mb1mf1mmeeee??EEk對于平穩(wěn)隨機過程，可以用時間平均代替集合平均，因此上式可寫成：??????????p211)(n(n)1)(n(n)2121211mn11，????????mNmnbmfmNbmfmmee

8、eek這樣便可求得AR模型的反射系數(shù)。將m階AR模型的反射系數(shù)和m1階AR模型的系數(shù)代入到Levinson關(guān)系式中，可以求得AR模型其他的p1個參數(shù)。Levinson關(guān)系式如下：1m12ii)(m(i)(i)1m1mm，????akaamm階AR模型的第m1個參數(shù)G，其中是預(yù)測誤差功率，可由遞推公式2mGρ?mρmρ?求得。21(1)mmKρ??易知為進(jìn)行該式的遞推，必須知道0階AR模型誤差功率，0ρ20()(0)xEXnRρ?????