1、第2章微分和微分法導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用68682222微分和導(dǎo)數(shù)的幾何解釋和物理解釋微分和導(dǎo)數(shù)的幾何解釋和物理解釋1.1.微分和導(dǎo)數(shù)的幾何解釋微分和導(dǎo)數(shù)的幾何解釋萊布尼茨當(dāng)初是借助幾何直觀定義函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù).近代微積分是借助極限定義函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù).如圖24，因為比值是弦的斜率，當(dāng)yx??PA時，點沿曲線無限接近點，0??xAP所以曲線在點處切線的)(xyy?PPT斜率就是導(dǎo)數(shù)000d()limdxxxyyyxxx????????根據(jù)直線方

2、程的點斜式，切線的方程PT就是000()()yyyxxx????其中，和為切線上流動點00()yyx?xy的坐標(biāo).我們可以得出下面的結(jié)論：曲線曲線在點在點處有不垂直于處有不垂直于軸的切線軸的切線，充分必要條件是函數(shù)充分必要條件是函數(shù)在點在點()yyx?00()xyOx()yx可微分可微分；當(dāng)很小時，曲線很小時，曲線接近它在點接近它在點處的切線處的切線0x0||||hxx??()yyx?xy00()[其中其中]000()()yyyxxx?

3、???00()yyx?這就是說，在點這就是說，在點近旁，曲線段近旁，曲線段看作直線段（切線）是合理的看作直線段（切線）是合理的.00()Pxy()yyx?【注】當(dāng)（無窮導(dǎo)數(shù)）時，說明曲線在點處有垂直于軸的切00()limxyyxx????????()yyx?00()xyOx線.0xx?在點處垂直于切線的直線，稱為曲線在點處的法線(圖24).因此，當(dāng)PPQ)(xyy?P時，曲線在點處法線的斜率為（相互垂直兩直線斜率的0()0yx??)(x

4、yy?00()Pxy01()yx??乘積等于），從而法線方程就是1?(點斜式)0001()()yyxxyx?????其中和為法線上流動點的坐標(biāo).xy其次，在圖24中，從初等數(shù)學(xué)的角度說，把“微分三角形”和“增量三角形”PBT看作全等當(dāng)然是不對的.但從變量數(shù)學(xué)的觀點來說，把和看作“相等”是合理的PBAydy?[因為]，所以三角形和三角形“全等”(這里說的“全等”是指對)0(d????xyyPBTPBA應(yīng)邊為等價無窮小量).于是，把弧的長度

5、、弦長和微分三角形的斜邊長APAs?||PAPBT都看作“相等”是合理的.因此，在微積分中就認(rèn)為或||PT222)d()d()(dyxs??(24))0d(d1)d()d(d222??????xxyyxs我們就稱式(24)為弧長的微分形式微分形式或弧微分弧微分.函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)的這些幾何解釋，是微積分能夠應(yīng)用于幾何學(xué)的基礎(chǔ)函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)的這些幾何解釋，是微積分能夠應(yīng)用于幾何學(xué)的基礎(chǔ).y?圖24法線x??BTdyAN0x?x切線P()y

6、yx?Oy0yQ第2章微分和微分法導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用70700dlim()dtssvttt??????稱為質(zhì)點在時刻的瞬時速度是合理的.而當(dāng)很小時，微分(看作有限量)就是質(zhì)t||t?ttvs??)(d點在時間間隔內(nèi)實際經(jīng)過路程的近似值(圖27).例如，從靜止點自由落下的物體t?s?vt?O(圖28)，從中學(xué)物理中知道，路程公式為(其中為重力加速度)221)(gtts?g所以它在時刻的瞬時速度為t00()()()limlimttssttstv

7、ttt????????????22011()22limtgttgtgtt????????而在時刻的微分是物體在時間間隔內(nèi)實際經(jīng)過路程(圖29中梯形ttgts??dt?s?的面積)的近似值(圖29中矩形的面積).ABCDEABCE根據(jù)同樣的道理，若質(zhì)點沿直線運動的速度為，則它運動的加速度是速度對時間)(tvv?的變化率，即00()()d()()limlim()dttvvttvtvtatvtttt???????????????于是，作用到物

8、體上的力為(牛頓第二定律)ttvmtmatfd)(d)()(??因此，物理學(xué)中說，作用到物體上的力是物體產(chǎn)生加速度的原因作用到物體上的力是物體產(chǎn)生加速度的原因.再如質(zhì)點在常力的作用下移動的距離為，則這個常力(恒力)所做的功為.可fssfw??是，若這個力是沿某軸方向的變力(圖210)，而某物體在這個力的作用下沿軸移Ox)(xfOx動的距離為，則當(dāng)很小時，可以認(rèn)為變力所做的功為(合理假設(shè)).x?||x?)(xfxxfw???)(因此，變力