1、1‘、第五章、第五章大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)第一節(jié)大數(shù)定律大數(shù)定律在第一章中我們已經(jīng)指出，人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐認(rèn)識(shí)到，雖然個(gè)別隨機(jī)事件在某次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率在某一固定值附近擺動(dòng).這就是所謂的頻率具有穩(wěn)定性.同時(shí)，人們通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.而這些穩(wěn)定性如何從理論上給以證明就是本節(jié)介紹的大數(shù)定律所要

2、回答的問(wèn)題.在引入大數(shù)定律之前，我們先證一個(gè)重要的不等式——契比雪夫（Chebyshev）不等式.設(shè)隨機(jī)變量X存在有限方差D（X），則有對(duì)任意ε＞0，P｜XE（X）｜≥ε≤.(5.1)2)(?XD證如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)X的概率密度為f(x)則有P|XE（X）|≥ε=???????????)(22)()()()(XExXExxxfXExxxfdd≤??.)()()(1222?????????XDxxfXExd請(qǐng)讀者自己證明X是離散

3、型隨機(jī)變量的情況.契比雪夫不等式也可表示成P｜XE（X）｜＜ε≥1.（5.2）2)(?XD這個(gè)不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下事件｜XE（X）｜＜ε的概率的下限估計(jì)，例如，在契比雪夫不等式中，令ε=3，4分別可得到)(XD)(XDP｜XE（X）｜＜3≥0.8889)(XDP｜XE(X)｜＜4≥0.9375.)(XD例5.1設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定ε=12，實(shí)際計(jì)算P|XE（X）|≥ε，并驗(yàn)證契比雪夫不等式成立.解

4、因?yàn)閄的概率函數(shù)是PX=k=16（k=1，2，…，6），所以E（X）=72D（X）=3512P|X72|≥1=PX=1PX=2PX=5PX=6=23P|X72|≥2=PX=1PX=6=13.ε=1：=3512232)(?XDε=2：=143512=354813.2)(?XD3因此.1)(1111lim????????????????niniiinXEnXnP契比雪夫大數(shù)定律說(shuō)明：在定理的條件下，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)

5、隨機(jī)變量的離散程度是很小的.這意味，經(jīng)過(guò)算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量將nXnii??1比較密的聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，它與數(shù)學(xué)期望之差依概率收斂到0.nXEnii??1)(定理定理5.2（契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:E（Xk）=μ，D（Xk）=σ2（k=1，2，…）.作前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均則對(duì)于任意正數(shù)ε有???nkknXnY11.(5

6、.4)??1lim???????nnYP定理定理5.3（貝努里貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律大數(shù)定律）設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù).p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε0，有，（5.5）1lim????????????pnnPAn或.0lim????????????pnnPAn證引入隨機(jī)變量Xk=????2110?k，Ak，Ak不不不不不不不不不不不不不不不不不不不顯然nA=.??nkkX1由于Xk只依