1、競(jìng)賽試題及參考答案第1頁(yè)共6頁(yè)廣東第二師范學(xué)院第三屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽廣東第二師范學(xué)院第三屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題及參考解答試題及參考解答一、最大收益一、最大收益某食品廠(chǎng)生產(chǎn)Ⅰ型和Ⅱ型餅干.在每種餅干的生產(chǎn)過(guò)程中，都需要使用攪拌機(jī)（A）、成型機(jī)（B）和烘箱（C）三種設(shè)備.已知每生產(chǎn)一噸Ⅰ型餅干需要在A、B、C上工作的時(shí)間分別為4、5、8小時(shí).對(duì)Ⅱ型餅干，相應(yīng)的時(shí)間為6、4、3小時(shí).每生產(chǎn)一噸Ⅰ、Ⅱ型餅干均可獲得利潤(rùn)7百元.這些餅干在市場(chǎng)上都很暢銷(xiāo).

2、但由于條件限制，A、B、C每天可供利用的工時(shí)不能超過(guò)24、20、24小時(shí)，試問(wèn)應(yīng)如何安排每天Ⅰ、Ⅱ型餅干的生產(chǎn)量，才能使該廠(chǎng)獲得最大的收益？解：解：設(shè)每天Ⅰ、Ⅱ型餅干的生產(chǎn)量分別為噸，每天的利潤(rùn)為，則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模12xxZ型為：12maxZ77xx??s.t.（10分）121212124624542083240xxxxxxxx??????????????這是一個(gè)整線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€(xiàn)，，以及112:4624

3、lxx??212:5420lxx??312:8324lxx??組成的凸五邊形區(qū)域.直線(xiàn)在可行域內(nèi)平行移動(dòng).00xy??12:77lxxc??（18分）易知：當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值.l1l2lZ競(jìng)賽試題及參考答案第3頁(yè)共6頁(yè)①開(kāi)始于頂點(diǎn)1，組成閉回路11，在下一階段最鄰近1的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)3，建立閉回路131，頂點(diǎn)4最鄰近頂點(diǎn)3，建立閉回路1341.②將頂點(diǎn)2插入上面閉回路，得到6個(gè)閉回路是13421、13241、14321、14231、1

4、2341、12431，它們的長(zhǎng)度分別為41、45、38、45、38、41.在這些閉回路中長(zhǎng)度最短的回路14321、12341為最佳線(xiàn)路，即C3—A2—C1—E2—C3或C3—E2—C1—A2—C3，距離均為3800m.按所給數(shù)據(jù)，騎車(chē)和派件耽誤時(shí)間共(min)2.303560150003800????故從出發(fā)算起半小時(shí)內(nèi)該快遞員不能回到出發(fā)地點(diǎn).（25分）三、雪球融化三、雪球融化設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過(guò)程中它

5、始終為球體，該雪球在開(kāi)始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，試推導(dǎo)雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系式，并求3個(gè)小時(shí)后雪球的體積.解：解：設(shè)t時(shí)刻雪球的體積為表面積為s(t)則，（10分）()vt)()(tksdttdv??根據(jù)球體的體積(=)和表面積(s=42=)的關(guān)系得s(t)=，v334R?R?32)43(4??v3232313)4(v?引入新常數(shù)r=，再利用題中的條件得v(0)=288v(2)=36，k32313)4(?

6、32rvdtdv????（15分）分離變量積分得方程的通解為v(t)=(c－rt)（20分）2713利用條件v(0)=288和v(2)=36得c=36，r=9.代入得雪球體積隨時(shí)間變化的??36?36?關(guān)系式為v(t)=（實(shí)際問(wèn)題要求t∈[04]）.3個(gè)小時(shí)后雪球的體積為：(3)3)312(6t??v=.（25分）92?四、寵物食譜四、寵物食譜一名獸醫(yī)推薦寵物狗每天的食譜中應(yīng)該包含100個(gè)單位的蛋白質(zhì)，200個(gè)單位的卡路里，50個(gè)單位的