1、第一章函數(shù)與極限習題詳解1第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限習題11111求下列函數(shù)的自然定義域：求下列函數(shù)的自然定義域：（1）；2121yxx????解：依題意有解：依題意有，則函數(shù)定義域，則函數(shù)定義域21020xx?????????()|2x1Dxxx?????且（2）；221arccos36xyxx????解：依題意有解：依題意有，則函數(shù)定義域，則函數(shù)定義域2211360xxx??????????()Dx??（3）；2ln(32)y

2、xx????解：依題意有解：依題意有，則函數(shù)定義域，則函數(shù)定義域2320xx??????()|12Dxxx???（4）；312xxy??解：依題意有解：依題意有，則函數(shù)定義域，則函數(shù)定義域30xx????()|x01Dxxx?????????且（5）1sin1121xyxx?????????，解：依題意有定義域解：依題意有定義域??()|Dxxx???????（6）.1arctan3yxx???解：依題意有解：依題意有，則函數(shù)定義域，則

3、函數(shù)定義域030xx????????()|3x0Dxxx???且2已知已知定義域為定義域為，求，求()fx[01]2()(sin)()()()fxfxfxafxafxa????()的定義域的定義域0a?解：因為解：因為定義域為定義域為，所以當，所以當時，得函數(shù)時，得函數(shù)的定義域為的定義域為；()fx[01]201x??2()fx[11]?當時，得函數(shù)時，得函數(shù)定義域為定義域為；0sin1x??(sin)fx[2π(21)π]kk?當時，

4、得函數(shù)時，得函數(shù)定義域為定義域為；01xa???()fxa?[1]aa???當時，得函數(shù)時，得函數(shù)定義域為：（定義域為：（1）若）若，0101xaxa?????????()()fxafxa???12a?；（；（2）若）若，；（；（3）若）若，??1xaa??12a?12x?12a?x??3設設其中其中求函數(shù)值求函數(shù)值2221()12axfxxaaxx???????????0a?(2)(1)faf解：因為解：因為，則，則2221()12a

5、xfxxaaxx???????????，2211(2)142afaaaa??????????20111(1)120111aafaa????????????????第一章函數(shù)與極限習題詳解3既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)22cossin1yxxx????（4）.2xxaay???解：因為解：因為，所以函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)()()2xxaafxfx????2xxaay???9設設是定義在是定義在上的任意函數(shù)，證明：上

6、的任意函數(shù)，證明：()fx[]ll?（1）是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；()()fxfx??()()fxfx??（2）可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式.()fx證明：（證明：（1）令）令，則，則()()()()()()gxfxfxhxfxfx??????，所以，所以是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，()()()()()()()()gxfxfxgxhxfxfxhx???????????()()fxfx??是奇函

7、數(shù)是奇函數(shù)()()fxfx??（2）任意函數(shù)）任意函數(shù)，由（，由（1）可知）可知是偶函是偶函()()()()()22fxfxfxfxfx??????()()2fxfx??數(shù)，數(shù)，是奇函數(shù)，所以命題得證是奇函數(shù)，所以命題得證()()2fxfx??1010證明：函數(shù)在區(qū)間證明：函數(shù)在區(qū)間上有界的充分與必要條件是：函數(shù)在上有界的充分與必要條件是：函數(shù)在上既有上界又有下界上既有上界又有下界.II證明：（必要性）若函數(shù)證明：（必要性）若函數(shù)在區(qū)間

8、在區(qū)間上有界，則存在正數(shù)上有界，則存在正數(shù)，使得，使得，都有，都有()fxIMxI?成立，顯然成立，顯然，即證得函數(shù)，即證得函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上既有上界又有下界上既有上界又有下界()fxM?()MfxM???()fxI（充分性）設函數(shù)（充分性）設函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上既有上界上既有上界，又有下界，又有下界，即有，即有()fxI2M1M，取，取，則有，則有，即函數(shù)，即函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上12()()fxMfxM??且12maxMMM?()fxM?

9、()fxI有界有界1111下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)指出其周期：下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)指出其周期：（1）；|sin|yx?周期函數(shù)，周期為周期函數(shù)，周期為π（2）；1sinπyx??周期函數(shù)，周期為周期函數(shù)，周期為2（3）；tanyxx?不是周期函數(shù)不是周期函數(shù)（4）.2cosyx?周期函數(shù)，周期為周期函數(shù)，周期為π1212求下列函數(shù)的反函數(shù)：求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；331xxy??解：依題意，解：依題意，，