1、1如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點(diǎn)；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【分析】（1）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；（2）取AD中點(diǎn)G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG

2、⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大?。唬?）求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，設(shè)AC∩BD=O，∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點(diǎn)，連接OM，∵PD

3、∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，則，即M為PB的中點(diǎn)；（2）解：取AD中點(diǎn)G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，可得OG∥DC，則OG⊥ADA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二

4、面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)【分析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，由已知可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE得到平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N

5、的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；（Ⅲ）設(shè)AH=t，則H（0，0，t），求出的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長(zhǎng)【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE∵N為BC中點(diǎn)，∴NF∥AC，又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，則NF∥DE∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE又MF∩NF=F∴平面M