1、 極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題 極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考題 1.在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 1 : 2 C x ? ? ，圓 ? ? ? ?2 22 : 1 2 1 C x y ? ? ? ? ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （I）求 1 2 , C C 的極坐標(biāo)方程. （II）若直線 3 C 的極坐標(biāo)方程為 ? ? π R 4 ? ? ? ? ，設(shè) 2 3 , C C 的交點(diǎn)為 , M N ，求 2 C MN ?的面

2、積. 解 ： （ Ⅰ ） 因 為 cos , sin x y ? ? ? ? ? ? ， ∴ 1 C 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為 cos 2 ? ? ? ? ， 2 C 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為2 2 cos 4 sin 4 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . （Ⅱ） 將 = 4? ? 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 得2 3 2 4 0 ? ? ? ? ? ， 解得 1 ?

3、=2 2 ， 2 ? = 2 ， |MN|= 1 ?－ 2 ? = 2 ，因?yàn)?2 C 的半徑為 1，則 2 C MN 的面積 o 1 2 1 sin 45 2 ? ? ? = 12. 2.已知曲線 1 9 4 :2 2? ? y x C ，直線? ? ?? ?? ?t yt x l 2 22 : （t 為參數(shù)） （1）寫出曲線C 的參數(shù)方程，直線l 的普通方程； （2）過曲線C 上任意一點(diǎn) P 作與l 夾角為 30°的直線，

4、交l 于點(diǎn) A ，求 PA 的最大值與最小值. 解：(1)曲線 C 的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).直線 l 的普通方程為 2x+y-6=0. (2)曲線 C 上任意一點(diǎn) P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距離為 d= 15|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且 tan α= 43. 當(dāng) sin(θ+α)=-1 時(shí),|PA|取得最大值,最大值為11 55.當(dāng) sin(θ+α)=

5、1 時(shí),|PA|取得最小值,最小值為 55. 3.在直角坐標(biāo)系 xOy 中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓 C 的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ0 2? ? ? ? ?? ? ? ?， , (1)求 C 的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn) D 在 C 上,C 在 D 處的切線與直線 l:y= 3 x+2 垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定 D 的坐標(biāo). 解：(1)C 的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得

6、 C 的參數(shù)方程為: x 1 cossin y??? ? ? ? ? ?(0≤θ≤π). (2)由? ? ? ? ?x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0 得? ? ? ? ?x＝0，y＝1. 故直線 l 與圓 O 公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1，π2 )． 7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 求過橢圓? ? ? ? ?x＝5cos φ，y＝3sin φ (φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)， 且與直線? ? ? ? ?x＝4－2t，y＝3－t (t 為參

7、數(shù))平行的直線的普通方程． 解：由題設(shè)知，橢圓的長半軸長 a＝5，短半軸長 b＝3，從而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0. 故所求直線的斜率為12，因此其方程為 y＝12(x－4)，即 x－2y－4＝0. 8.在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為? ? ? ? ?x＝3－ 22 t，y＝ 5＋ 22 t(t 為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系 xOy取相同的長

8、度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸)中，圓 C 的方程為ρ＝2 5sin θ. (1)求圓 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓 C 與直線 l 交于點(diǎn) A，B.若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3， 5)，求|PA|＋|PB|. 解：(1)ρ＝2 5sin θ，得 x2＋y2－2 5y＝0，即 x2＋(y－ 5)2＝5.(4 分) (2)將 l 的參數(shù)方程代入圓 C 的直角坐標(biāo)方程，得(3－ 22 t)2＋( 22 t)2＝5，即 t2

9、－3 2t＋4＝0.由于Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可設(shè) t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以? ? ?t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4.又直線 l 過點(diǎn) P(3， 5)，故由上式及 t 的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2. 9.在直角坐標(biāo)版權(quán)法 xOy 呂，直線l 的參數(shù)方程為1 3 2 (32x tty t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為參數(shù)） ，以原點(diǎn)為

10、極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， C 的極坐標(biāo)方程為 2 3sin ? ? ? . (I)寫出 C 的直角坐標(biāo)方程；(II) P 為直線l 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) P 到圓心C 的距離最小時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 解：(I)由 2 3sin ? ? ? ，得 2 2 3 sin ? ? ? ? ，從而有 2 2 2 3 x y y ? ? ，所以 ? ?2 2 3 3 x y ? ? ?(II)設(shè) 1 3 3 , 2 2 P t t ? ?