1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：1通過(guò)學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題的全面分析，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的意識(shí)。2通過(guò)比較與辨析，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握“最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應(yīng)用題的解題規(guī)律。3培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念與想像力。教學(xué)過(guò)程：教學(xué)過(guò)程：一、基本概念知識(shí)一、基本概念知識(shí)1.1.公約數(shù)和最大公約數(shù)公約數(shù)和最大公約數(shù)①如果一個(gè)自然數(shù)如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)能

2、被自然數(shù)b整除，那么稱整除，那么稱a為b的倍數(shù)，的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。的約數(shù)。②如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，1218的約數(shù)有：1，2，3

3、，6，9，18。自然數(shù)的最大公約數(shù)通常用符號(hào)（）表示，例如，12和18的公約naaa21?naaa21?數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)③如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一

4、個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…自然數(shù)的最小公倍數(shù)通常用符號(hào)[]表示，例如12和18的公倍數(shù)有：naaa21?naaa21?36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。[8，12]=24，[6，9，15]=90。3

5、.3.互質(zhì)數(shù)互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。，那么這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：用短除法求若干個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)：n（1）必須每次都用個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除；n（2）一直除到個(gè)數(shù)的商

6、互質(zhì)（但不一定兩兩互質(zhì)）；n（3）個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。n求個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：n（1）必須先用（如果有）個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到個(gè)數(shù)沒(méi)有除去1以外的公約數(shù)后，在nn用個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除，除到個(gè)數(shù)沒(méi)有除1以外的公約數(shù)后，再用個(gè)數(shù)的1n?1n?2n?公約數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2）只要有兩個(gè)數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到個(gè)數(shù)的商兩兩互n質(zhì)為止；（3）個(gè)數(shù)的最小公倍

7、數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。n所以，對(duì)角線共經(jīng)過(guò)格點(diǎn)（30，24）1=5（個(gè)）。例5甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競(jìng)走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(zhǎng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？分析與解分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時(shí)間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時(shí)間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）。例

8、6爺爺對(duì)小明說(shuō)：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？分析與解分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說(shuō)明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。[6，5，4，3，2]=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)