1、第十章第十章常微分方程和差分方程常微分方程和差分方程在實際問題中，我們研究的對象――變量往往是以函數(shù)關系的形式建立了變量間的客觀聯(lián)系，但卻很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關系，反而更容易建立這些變量、它們的導數(shù)或微分之間的關系，即得到一個關于未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，我們稱此方程為微分方程.通過求解這樣的微分方程，我們同樣可以建立所研究的變量之間的函數(shù)關系，這樣的過程稱為解微分方程.現(xiàn)實世界中的許許多多問題都可以在一定的條件下抽象為

2、微分方程，例如人口的增長問題、經(jīng)濟的增長問題等等都可歸結(jié)為微分方程的問題；這時的微分方程習慣上稱為所研究問題的數(shù)學模型數(shù)學模型，如人口模型、經(jīng)濟增長模型等.因此微分方程是數(shù)學聯(lián)系實際并應用于實際的重要途徑和橋梁，是數(shù)學及其他學科進行科學研究的強有力的研究工具.微分方程是一門獨立的數(shù)學學科，有完整的理論體系.我們在這一章主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的一階、二階微分方程的求解方法，線性微分方程的解的理論及求解方法.但是在經(jīng)濟管理

3、和許多的實際問題中已知的數(shù)據(jù)大多數(shù)是按等時間間隔周期統(tǒng)計的，因而相關變量的取值是離散變化的.如何尋求它們之間的關系及變化規(guī)律呢？差分方程是研究這樣的離散型數(shù)學問題的有力工具，本章在最后介紹差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.10.110.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念先看一個例子.例1設有某種新產(chǎn)品要推向市場，時刻的銷量為，由于產(chǎn)品性t)(tx能良好，每個產(chǎn)品都是一個宣傳品，因而時刻產(chǎn)品的銷售的增長率與tdtdx成正比；同時

4、考慮到市場的容量是有限的，假設市場的容量為，統(tǒng))(txN計數(shù)據(jù)表明與尚未購買產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量也成正比；則dtdx)(txN?可建立如下的微分方程：，)(xNkxdtdx??其中為比例系數(shù).可以求出該微分方程的解為，其中kkNtCeNtx???1)(為積分常數(shù).C的微分方程的解稱為該微分方程的特解微分方程的特解.例如：（是任意常數(shù)）是微分方程Cxxy???1022C的通解，是微分方程的通104???xyxCxCycossin21??0

5、????yy解；而，，是微分方程的特xxy1022??51022???xxy104???xy解，是微分方程的特解.xxycos5sin3??0????yy10.1.510.1.5微分方程的通解與特解的關系微分方程的通解與特解的關系微分方程的通解通過一定的條件確定其中的每一個任意常數(shù)的數(shù)值，這時的微分方程的解即為特解；確定每一個任意常數(shù)的值的條件稱為微分微分方程的初始條件方程的初始條件；微分方程與初始條件合稱微分方程的初始問題微分方程的初

6、始問題.例如是微分方程的通解；加上條件xCxCycossin21??0????yy，可確定，從而得到10???xy10???xy11?C12??C是微分方程的特解；其中條件，xxycossin??0????yy10???xy是微分方程的初始條件；把10???xy0????yy?????????????11000xxyyyy稱為微分方程的初值問題.微分方程的解的圖形是一條曲線稱為微分方程的積分曲線積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線特解是這