1、第八章 復合材料細觀力學基礎,,§8-1 引言,,復合材料至少由兩種材料構成，微觀性質是不均勻的。,前幾章中復合材料“模量”和“強度”的含義是什么？,,平均值，等效——均勻材料,復合材料細觀力學就是在研究如何用一個均勻材料的響應來代替非均勻復合材料的平均響應。,,復合材料的結構分析涉及兩個尺度：,,,宏觀的，平均意義的量,微觀的，涉及組分屬性和微結構分布,,,,,,模量、強度,組分的含量、形狀、結合狀態(tài)等,,,細觀力學建立二者

2、之間的關聯(lián),§8-2 有效模量理論,一、有效模量理論,1、宏觀均勻、代表性體積單元,,復合材料中的增強體的幾何分布可以是規(guī)則的（如圖），也可以是不規(guī)則的。,總體來看，復合材料是宏觀均勻的，因此研究其某些性能時，只須取其一代表性體積單元（representative volume element）來研究即可代表總體，見圖。,,RVE的要求：,1、RVE的尺寸<<整體尺寸，則宏觀可看成一點；,2、RVE的尺寸>纖

3、維直徑；,3、RVE的纖維體積分數(shù)=復合材料的纖維體積分數(shù)。,,纖維體積分數(shù)：,—纖維總體積；,—復合材料體積,注意：只有當所討論問題的最小尺寸遠大于代表性體積單元時，復合材料的應力應變等才有意義。,,,二、復合材料的應力、應變及有效模量,（復合材料） （均勻等效體）,按體積平均，定義復合材料的應力、應變?yōu)椋?平均應力,平均應變,則等效體的本構方程（即應力-應變關系）為：,,,三、有效模量理論,1

4、、邊界條件：（不能隨意?。?①均勻應變邊界條件：,②均勻應力邊界條件：,,,2、可證明的兩個特性：,①在給定均勻應變邊界下，有：,②在給定均勻應力邊界下，有：,證明可見《復合材料力學》（周履等）P223。,,,,,,3、有效模量理論,1）給定均勻應變邊界條件,而,其應變能為：,此時，復合材料的應變能也為：,,,2）給定均勻應力邊界條件,而,3）有效模量的嚴格理論解,只有按上述兩種均勻邊界條件算得的有效彈性模量一致，并可由RVE的解向鄰近

5、單元連續(xù)拓展到整體時，所得的有效彈性模量才是嚴格的理論解。,則只有滿足上述條件的復合材料的宏觀彈性模量才能通過體積平均應力、應變進行計算；或按應變能計算。,一、長纖維復合材料,§8-3 有效模量的材料力學半經(jīng)驗解法,,,（一）縱向有效模量,采用平面假設，在P力作用下，對RVE有：,（下標f、m表示纖維和基體）,,,所以有,而,利用,稱為縱向有效模量的混合律。,（二）縱向泊松比,RVE的縱向應變關系式：,,（三）縱橫（面內）剪切

6、模量,在剪應力作用下，RVE的剪應變有如下關系：,,（倒數(shù)混合律）,,,,,（四）橫向有效模量,設,而由平均值關系有：,（倒數(shù)混合律）,,（五）Halpin-Tsai方程,單向纖維增強的單層的五個有效模量分別由下式計算：,,其中：,：纖維增強效果的一種度量參數(shù)，依賴于 相幾何和載荷條件。,*,另外，*式還可以用于沿直線排列的短纖維增強單層的縱向和橫向有效模量的計算：,計算E1時，?。?計算E2時，?。?,二、短纖維復合材料,（一

7、）單向短纖維復合材料,,1、修正復合法則（修正混合定律）,,,,,2、Halpin-Tsai方程,此時，對?L?。?對?T?。?,（二）隨機分布短纖維復合材料,1、修正混合律：,2、基于halpin-Tsai的經(jīng)驗公式：,§8-4 有效模量的其他力學模型解,,,一、復合圓柱模型,,,,可在復合圓柱模型上施加不同的均勻應力邊界條件，利用彈性力學方法進行求解而得到有效模量，結果為：,1、,2、,3、,（平面應變體積模量）,4、,,

8、具體見《復合材料力學》（周履等）P250-256！,二、Eshelby夾雜模型,1、Eshelby等效夾雜理論,,,同質等效夾雜,：特征應變,設整個系統(tǒng)在無窮遠邊界處受均勻應力邊界條件，如沒有夾雜?，則D內的應力應變?yōu)?,而實際的應力應變場還應該加上由夾雜引起的擾動應力和擾動應變，即：,則夾雜中的應力場可表示為,,,由Eshelby的研究得出擾動應變和特征應變的關系為：,其中四階張量Sijkl稱為Eshelby張量，僅與基體的材料性能和

9、夾雜物的形狀和尺寸有關。如果夾雜物的形狀為橢球，則夾雜內的應變和應力場是均勻的。關鍵在于如何求得特征應變的值。利用等效夾雜理論有：,（*）,將（*）代入該式則可求得特征應變，進而求得夾雜內外的彈性場。,2、單向短纖維復合材料的彈性性能預測,,,設沿1方向作用均勻應力,因為材料內部有：,表示平均值。,,由Eshelby夾雜理論可得：,,,為基體材料的彈性張量；,為夾雜的彈性張量。,由此可得：,,2、斜向纖維情況：,,（方法同前）,然后利用

10、坐標變換求得,（為θ角的函數(shù)）,求有效模量，注意此時的模量為θ角的函數(shù)。,3、隨機分布短纖維復合材料：,,對不同的θ角，按前述方法求得其,然后對其求對于θ得平均值：,在,作用下可求得,和,，進而求得,和,。最后可得：,注意：上述計算均未計及纖維之間的互相作用。,,,,由前面的分析可知,,,,,三、數(shù)值計算方法（有限元法）,；而,該積分的值可由FEM進行數(shù)值計算，即有：,p為離散的單元號，n為單元總數(shù)。,對復合材料有效性能的計算均需要建立

11、一定的體積代表性單元，如：,,,單向短纖維復合材料的理想化模型,,,三維代表性體積單元,所有的計算都是基于上述代表性體積單元。對隨機分布短纖維復合材料的處理方法與前一致。,不同的方法得到的結果不同，見下表。,,,,,,,§8-5 復合材料強度的細觀力學分析,§8-5-1 長纖維復合材料的強度材料力學分析,、縱向拉伸強度X,,,（*）,,,由圖c可見：,復合材料強度由基體控制,復合材料強度由纖維控制,3、當,時，,說明

12、復合材料強度低于基體本身強度，纖維未增強。,,說明復合材料強度高于基體本身強度，纖維增強。,,復合材料的強度總由纖維控制。,二、縱向壓縮強度,,壓縮時可能的破壞形式：,①因纖維屈曲而導致破壞；,②因橫向界面拉裂而破壞；,③基體和/或纖維剪切破壞；,④纖維與基體壓壞；,⑤纖維彎壞等等；,下面只介紹根據(jù)纖維屈曲理論得到的結果：,兩種模型：,a）橫向型（拉壓型）：“異向”屈 曲，基體橫向受拉壓作用；,,b）剪切型：“同相”屈曲，基

13、體受剪切作用。,,,（1）橫向型,可求得：,其中：l為纖維長度，h為纖維直徑，2c為纖維間距，m為屈曲時的半波數(shù)目。由于m為一很大的數(shù)，可對上式進行連續(xù)函數(shù)求解最小值，可得：,最后有：,,,（2）剪切型：,同理可得：,,三、橫向拉伸強度,理論計算可得：,,四、橫向壓縮強度,其破壞原因為基體剪切破壞，經(jīng)驗公式為：,五、面內剪切強度,,§8-5-2　短纖維復合材料強度的細觀力學分析,一、單向短纖維復合材料,一般采用修正混合律公式

14、進行研究。,對長纖維復合材料應力有：,,,對短纖維復合材料，由于必須計及纖維端部效應，所以上式應寫為：,其中,（需要知道纖維中的應力分布）,由COX提出的剪切滯后理論，通過圖b的平衡有：,,則,則纖維的應力,沿z方向是,線性分布的,,將能達到最大纖維應力的最小纖維長度定義為載荷傳遞長度,（d ：纖維直徑）,上式中,短纖維最大纖維應力發(fā)生在纖維長度中點處,,,,,則,（臨界載荷傳遞長度）,臨界載荷傳遞長度是載荷傳遞長度的最大值。,,又因

15、為,,,,,,此即為長纖維復合材料的強度公式。,,,其中,二、隨機分布短纖維復合材料的強度模型,1、纖維長度隨機分布的單向短纖維復合材料,,,,,2、纖維位向隨機分布的短纖維復合材料,1）修正混合律：,,2）統(tǒng)計積分法,由Tsai-Hill判據(jù)可得單向短纖維復合材料的偏軸拉伸強度為：,,,,,,為橫向拉伸強度，等于,為剪切破壞強度，等于,即：,§8-6 單層板熱、濕脹系數(shù)的預測,1、平衡方程：,,2、幾何方程：,（平面假設）,

16、,,,3、物理方程：,對單層板：,對纖維：,對基體：,由上面各式可得：,,,,則,,為纖維與基體橫向應變,,,二、橫向熱膨脹系數(shù)?2的確定,由前圖有：,從細觀上看：,則有：,而：,可由前節(jié)所得。,,,進而可得：,又因為,所以有：,,,三、縱向濕膨脹系數(shù)?1的確定,由于濕度效應與溫度效應在宏觀上是類似的，故可以仿照?1的推導求解?1：,平衡方程：,幾何方程：,物理方程：,對單層板：,對纖維：,對基體：,,,,吸水濃度C表示材料吸水分多少的