1、,,概率論與數(shù)理統(tǒng)計第十四講,主講教師：柴中林副教授,中國計量學(xué)院理學(xué)院,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。,所以，要從隨機現(xiàn)象中去尋求統(tǒng)計規(guī)律,就應(yīng)該對隨機現(xiàn)象進行大量的觀測。,第五章 極限定理,隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量的重復(fù)試驗才能呈現(xiàn)出來。,,研究隨機現(xiàn)象的大量觀測， 常采用極限形式，由此導(dǎo)致了極限定理的研究。 極限定理的內(nèi)容很廣泛, 最重要的有兩種:,,“大數(shù)定律”和“中心極限定理”。

2、,對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)觀測，各種結(jié)果的出現(xiàn)頻率具有穩(wěn)定性。,§5.1 大數(shù)定律,大量地擲硬幣正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中廢品率,5.1.1 切比雪夫不等式,定理1: 設(shè)隨機變量X有期望μ和方差σ2，則對任給的ε> 0, 有,或,證明：只對X 是連續(xù)型情況加以證明。,設(shè)X 的概率密度函數(shù)為 f(x)，則有,放大被積函數(shù),放大積分域,5.1.2 大數(shù)定律,首先引入隨機變量序列相互獨立的概念。,定義

3、1：設(shè) X1, X2, …是一隨機變量序列。如果對任意的 n>1， X1, X2, …, Xn相互獨立,則稱X1, X2, …相互獨立。,幾個常見的大數(shù)定律,定理2 (切比雪夫大數(shù)定律):,設(shè)隨機變量序列 X1, X2, … 相互獨立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=μ, Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。,則對任意的ε>0，有,證明：,令 n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。,定理證畢。,該大

4、數(shù)定律表明：無論正數(shù)ε 怎樣小, 只要 n充分大，事件 發(fā)生 的概率均可任意地接近于 1。,即當 n充分大時， 差不多不再是隨機變量， 取值接近于其數(shù)學(xué)期望μ 的概率接近于 1。,在概率論中，將(1) 式所表示的收斂性稱為隨機變量序列 依概率收斂于μ ，記為

5、 。,下面再給出定理2的一種特例——貝努里大數(shù)定律。,設(shè)nA 是 n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)，p是每次試驗中A發(fā)生的概率。,引入,,于是, 有下面定理。,設(shè) nA是 n 重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù)， p是 A 發(fā)生的概率，對任給的ε> 0，有,定理3 (貝努里大數(shù)定律):,或,貝努里大數(shù)定律表明：當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA / n與事件A發(fā)生的概率 p 有一定偏差的概率很小。,下面給出獨立同分布條

6、件下的大數(shù)定律,它不要求隨機變量的方差存在。,設(shè)隨機變量序列 X1, X2, … 獨立同分布，有有限的數(shù)學(xué)期 E(Xi)=μ, i=1,2,…， 則對任給 ε > 0 ，有,定理4 (辛欽大數(shù)定律):,,中心極限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世紀首先提出的，到現(xiàn)在內(nèi)容已十分豐富。在這里，我們只介紹其中兩個最基本的結(jié)論。,§5.2 中心極限定理,當 n 無限增大時，獨立同分布隨機變量之 和

7、的極限分布是正態(tài)分布；,2. 當 n 很大時，二項分布可用正態(tài)分布近似。,由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究 n 個隨機變量之和本身，而只考慮其標準化的隨機變量,的極限分布。,的極限分布。,可以證明：當{ Xn } 滿足一定條件時, Zn的極限分布是標準正態(tài)分布。,考慮,概率論中，常把隨機變量之和標準化后的分布收斂于正態(tài)分布的定理稱為中心極限定理。,中心極限定理的幾種簡單情形。,下面給出獨立同分布隨機變量序列和的中心極限定

8、理，稱作 列維——林德伯格(Levy —— Lindberg) 定理。,定理1 (列維——林德伯格定理)：,設(shè) X1, X2, … 是獨立同分布隨機變量序列，且 E(X1) =μ, Var(X1)=σ2，對任給 x ∈(-∞, ∞), 均有,其中 Φ(x) 是標準正態(tài)分布 N(0, 1) 的分布函數(shù)。,還有另一記法:,定理2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):,定理 2 表明: 當 n 很大時，二項分布 Yn 標準化后的分布近似于標準正態(tài)

9、分布 N(0, 1) 。,設(shè)隨機變量 Yn 服從參數(shù)為 (n, p) 的二項分布(0<p<1) ，則對任意 x∈(-∞,∞)，均有,例1：設(shè)一批產(chǎn)品的強度服從期望為14, 方差為4的分布。每箱中裝有這種產(chǎn)品100件。求(1).每箱產(chǎn)品的平均強度超過14.5的概率； (2).每箱產(chǎn)品的平均強度超過期望14的概率。,解：n=100,設(shè) Xi 是第 i 件產(chǎn)品的強度，則 E(Xi)=14, Var(Xi)=

10、4, i =1,2,…,100。每箱產(chǎn)品的平均強度為,根據(jù)定理1，有,μ,σ/n0.5,例2：某公司有200名員工參加一種資格證書考試。按往年經(jīng)驗，考試通過率為0.8。試計算這200名員工至少有150人考試通過的概率。,解: 令,依題設(shè)，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160，np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考試通過人數(shù),因Xi 滿足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的條件，故依此定理

11、，近似地有,于是,例3：某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù)。被保人每年需交付保費160元。若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬獲賠付金2萬元。己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005，現(xiàn)有5000人參加此項保險。求:保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬元到40萬元之間的概率。,解: 令,由 Xi ～ B(1, p), p=0.005, X1, X2 , ? , X5000 相互獨立, 得,P{20萬元≤總收益≤40

12、萬元}= P{20萬元≤(0.016萬元?參保人數(shù) -2萬元?一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故人數(shù)) ≤ 40萬元}= P{20≤0.016?5000-2(X1+X2+?+X5000)≤40},所以，,近似服從標準正態(tài)分布,,,小結(jié),本講首先介紹了三個大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定律，貝努里大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律。,切比雪夫大數(shù)定律如下: 設(shè)隨機變量序列 X1, X2, …相互獨立，且有相同的期望和方差: E(Xi)=

13、μ, Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。則對任意的ε>0，有,貝努里大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例:,設(shè) nA是 n 重貝努里試驗中事件A發(fā)生的頻數(shù), p 是 A 發(fā)生的概率，對任給的ε> 0，有,辛欽大數(shù)定律條件較寬：,設(shè)隨機變量序列 X1, X2, …獨立同分布，有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ, i=1,2,…，則對任給 ε > 0 ，有,,其后介紹了兩個中心極限定理: 列維—林德伯