1、1用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程【主體知識歸納】【主體知識歸納】1因式分解法若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，例如，x2－9＝0，這個方程可變形為(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必須并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相當于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通過解這兩個一次方程就可得到原方程的解這種解一元二次方程的方法叫做

2、因式分解法2因式分解法其解法的關(guān)鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是：若AB＝0A＝0或B＝0【基礎(chǔ)知識講解】【基礎(chǔ)知識講解】1只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應用因式分解法解一元二次方程分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法2在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法，即能解任何一個一元二次方程但對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便，有

3、的用因式分解法簡便因此，在遇到一道題時，應選擇適當?shù)姆椒ㄈソ馀浞椒ń庖辉畏匠淌潜容^麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法而在以后的學習中，會常常用到因式分解法，所以要掌握這個重要的數(shù)學方法【例題精講】【例題精講】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1解：(1)方程可變形為(y＋1)(y＋6)＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2

4、＝－6(2)方程可變形為t(2t－1)－3(2t－1)＝0，(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝，t221＝3(3)方程可變形為2x2－3x＝0x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0∴x1＝0，x2＝23說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般地要把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就

5、是原方程的兩個解了(2)應用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所以應轉(zhuǎn)化為形如(x－e)(x－f)＝0的形式，這時才有x1＝e，x2＝f，否則會產(chǎn)生錯誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯解：3(2)直接因式分解就能轉(zhuǎn)化成兩個一次因式乘積等于零的形式，對于這種形式的方程就不必要整理成一般式了例3:解關(guān)于x的方程：(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2解：(1)當a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b

6、｜時，方程為－4abx＝0當a＝b＝0時，x為任意實數(shù)當｜a｜＝｜b｜≠0時，x＝0(2)當a2－b2≠0，即a＋b≠0且a－b≠0時，方程為一元二次方程分解因式，得［(a＋b)x＋(a－b)］［(a－b)x－(a＋b)］＝0，∵a＋b≠0且a－b≠0，∴x1＝，x2＝baab??baba??說明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解本題實際上是分三種情況，即①a＝b＝0；②｜a｜＝｜b｜≠0；③｜a｜≠

7、｜b｜例4:已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代數(shù)式的值22225252yxyxyxyx????剖析：要求代數(shù)式的值，只要求出x、y的值即可，但從已知條件中顯然不能求出，要求代數(shù)式的分子、分母是關(guān)于x、y的二次齊次式，所以知道x與y的比值也可由已知x2－xy－2y2＝0因式分解即可得x與y的比值解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y當x＝2y時，135y

8、13y5y5yy22)y2(y5yy22)y2(y5xy2xy5xy2x2222222222?????????????????當x＝－y時，21y4y2y5y)y(2)y(y5y)y(2)y(y5xy2xy5xy2x222222222??????????????????????說明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”“化歸”的數(shù)學思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程組及有關(guān)代數(shù)式的計算、證明中也有著廣泛的應用【