1、第七章 電容元件和電感元件,前幾章討論了電阻電路，即由獨(dú)立電源和電阻、受控源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實(shí)際電路的分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對(duì)時(shí)間的微分或積分，稱為動(dòng)態(tài)元件。含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路，描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種儲(chǔ)能元件—電容元件和電感元件。再介紹簡(jiǎn)單動(dòng)態(tài)電路微分方程的建立。

2、以后兩章討論一階電路和二階電路的時(shí)域分析，最后一章討論線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路的頻域分析。,常用的幾種電容器,§7－1 電容元件,一、  電容元件 集總參數(shù)電路中與電場(chǎng)有關(guān)的物理過(guò)程集中在電容元件中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需的一種理想電路元件。 電容元件的定義是：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。,圖7-1,(a)

3、 電容元件的符號(hào) (c) 線性時(shí)不變電容元件的符號(hào) (b) 電容元件的特性曲線 (d) 線性時(shí)不變電容元件的特性曲線,電容元件的符號(hào)和特性曲線如圖7-1(a)和(b)所示。,其特性曲線是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。,圖7-1,線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)與特性曲線如圖(c)和(d)所示，它的特性曲線是一條通過(guò)原點(diǎn)不隨時(shí)間變化的直線，其數(shù)學(xué)

4、表達(dá)式為,式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電容，單位是法[拉],用F表示。,圖7-1,實(shí)際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，可以用一個(gè)電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時(shí)，則需要用一個(gè)電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。 在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電感來(lái)構(gòu)成電容器的電路模型，如圖7-2所示。,圖7-2 電容器的幾種電路模型,二、電容元件

5、的電壓電流關(guān)系 對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來(lái)說(shuō)，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式,此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒(méi)有確定的約束關(guān)系。 在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)路(i=0)。,在已知電容電壓u(t)的條件下，用式(6-2)容易

6、求出其電流i(t)。例如已知C=1?F電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，其波形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為,圖7-3,,例7-1 已知C=0.5?F電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示， 試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的電流iC(t),并畫 出波形圖。,圖7－4 例7－1,2.當(dāng)1s?t?3s時(shí)，uC(t)=4-2t，根據(jù)式7－2可以得到,1.當(dāng)0?t

7、?1s 時(shí)，uC(t)=2t，根據(jù)式7－2可以得到,解：根據(jù)圖7－4(a)波形，按照時(shí)間分段來(lái)進(jìn)行計(jì)算,圖7－4 例7－1,3.當(dāng)3s?t?5s時(shí)，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式7－2可以得到,4.當(dāng)5s?t時(shí)，uC(t)=12-2t，根據(jù)式7－2可以得到,圖7－4 例7－1,根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出圖7－4(b)所示的矩形波形。,在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為,其中,稱為電容電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0

8、時(shí)間范圍內(nèi)流過(guò)電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。,式(7－3)表示t>0某時(shí)刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時(shí)刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電壓源uc(0)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián) 如圖7－5所示。,圖7－5,從上式可以看出電容具有兩個(gè)基本的性質(zhì) (1)電容電壓的記憶性。 從式（7－3）可見(jiàn)，任意時(shí)刻T電容電

9、壓的數(shù)值uC(T)，要由從-?到時(shí)刻T之間的全部電流iC(t)來(lái)確定。也就是說(shuō)，此時(shí)刻以前流過(guò)電容的任何電流對(duì)時(shí)刻T 的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說(shuō)電容是一種記憶元件。,例7－2 電路如圖7－6(a)所示，已知電容電流波形如圖7－6(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。,圖7-6,解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時(shí)間分段來(lái)進(jìn)行計(jì)算 1．當(dāng)t?0時(shí)，iC

10、(t)=0，根據(jù)式7-3可以得到,2．當(dāng)0?t<1s時(shí)，iC(t)=1?A，根據(jù)式7-3可以得到,圖7-6,3．當(dāng)1s?t<3s時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到,4．當(dāng)3s?t<5s時(shí)，iC(t)=1?A，根據(jù)式7－3可以得到,5．當(dāng)5s?t時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到,根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見(jiàn)任意時(shí)刻電容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。

11、 例如，當(dāng)1s<t<3s時(shí)，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時(shí)間內(nèi)電流作用的結(jié)果。,圖7-6,圖7－7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形[如圖(b)中實(shí)線所示]保持輸入電壓uin(t)波形[如圖(b)中虛線所示]中的峰值。,圖7－7 峰值檢波器電路的輸入輸出波形,(2)電容電壓的連續(xù)性 從例7－2的計(jì)算結(jié)果可以看出

12、，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個(gè)平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即電容電流在閉區(qū)間[t1,t2]有界時(shí)，電容電壓在開(kāi)區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明。 將t=T和t=T+dt代入式(6－3)中，其中t1<T<t2和t1<T+dt<t2得到,當(dāng)電容電流有界時(shí)，電容電壓不能突變的性質(zhì)，常用下式表示,對(duì)于初始

13、時(shí)刻t=0來(lái)說(shuō)，上式表示為,利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開(kāi)關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說(shuō)明。,例7－3 圖7－8所示電路的開(kāi)關(guān)閉合已久，求開(kāi)關(guān)在t=0時(shí)刻 斷開(kāi)瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。,解：開(kāi)關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時(shí)間變化的恒定 值，造成電容電流等于零，即,圖7－8,電容相當(dāng)于開(kāi)路。此時(shí)電容電壓為,當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，在電阻R2和R3不為零的情況下，電容電流為有

14、限值，電容電壓不能躍變，由此得到,圖7－8,例7－4 電路如圖7－9所示。已知兩個(gè)電容在開(kāi)關(guān)閉合前一瞬間的電壓分別為uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，試求在開(kāi)關(guān)閉合后一瞬間，電容電壓uC1(0＋),uC2(0＋) 。,解： 開(kāi)關(guān)閉合后，兩個(gè)電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個(gè)電容電壓必須相等，得到以下方程,圖7－9,再根據(jù)在開(kāi)關(guān)閉合前后結(jié)點(diǎn)的總電荷相等的電荷守恒定律，可以得到以下方程,聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，代入數(shù)據(jù)后得到,兩個(gè)電容

15、的電壓都發(fā)生了變化，uC1(t)由0V升高到3V，uC2(t)則由6V降低到3V。從物理上講，這是因?yàn)殡娙軨2上有3μC的電荷移動(dòng)到C1上所形成的結(jié)果，由于電路中電阻為零，電荷的移動(dòng)可以迅速完成而不需要時(shí)間，從而形成無(wú)窮大的電流，造成電容電壓可以發(fā)生躍變。,三、電容的儲(chǔ)能 在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電容的吸收功率為,由此式可以看出電容是一種儲(chǔ)能元件，它在從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t 時(shí)間內(nèi)得到的能量為,當(dāng)C>

16、;0時(shí)，W(t)不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于它儲(chǔ)存的能量，這說(shuō)明電容是一種儲(chǔ)能元件。由于電容電壓確定了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。 從式(7－5)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因?yàn)殡娙蓦妷旱能S變要伴隨電容儲(chǔ)存能量的躍變，在電流有界的情況下，是不可能造成電場(chǎng)能量發(fā)生躍變和電容電壓發(fā)生躍變的。,若電容的初始儲(chǔ)能為零，即u(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電容中的能量為,此式說(shuō)明某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于該時(shí)

17、刻電容的電壓值，與電容的電流值無(wú)關(guān)。 電容電壓的絕對(duì)值增大時(shí)，電容儲(chǔ)能增加；電容電壓的絕對(duì)值減小時(shí)，電容儲(chǔ)能減少。,1. 兩個(gè)線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電容，其等效電容的計(jì)算公式推導(dǎo)如下：,四、電容的串聯(lián)和并聯(lián),圖7－10,列出圖7－10(a) 的KCL方程，代入電容的電壓電流關(guān)系，得到端口的電壓電流關(guān)系,其中,,2. 兩個(gè)線性電容串聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，等效于一個(gè)線性電容，其等效電容