概率與隨機變量_第1頁
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1、應用數(shù)學與統(tǒng)計,喬德禮,信息科學技術(shù)學院,dlqiao@ce.ecnu.edu,基本信息,辦公室: 信息樓245Email: dlqiao@ce.ecnu.edu.cn辦公電話:021-54345492答疑時間:周二、周四 12:30~13:30,相關(guān)教材,《Probability and Random Processes》,G. R. Grimmett and D. R. Stirzaker,Oxford U

2、niversity Press,出版時間:2004。 《Stochastic Processes: Theory for Applications 》,R. G. Gallager,Cambridge University Press,出版時間: 2013。 An Exploration of Random Processes for Engineers, B. Hajek, 在線:http://www.ifp.illinoi

3、s.edu/~hajek/Papers/randomprocJan14.pdf。《An Introduction to Probability and Its Applications - Vols. I (and II)》, W. Feller, Wiley, 1968。,相關(guān)教材,周蔭清,隨機過程導論,1987。 林元烈,應用隨機過程,2002。 陸大絟,隨機過程及其應用,2006。,成績統(tǒng)計,平時成績 (40%)隨堂測

4、試 (5~10次,20%)課后作業(yè) (2~4次,20%)期末考試 (60%)課堂提問(Bonus),基本要求,上課時請關(guān)閉手機!課后及時復習、練習!必要時補充大學的高數(shù)、線代等知識!,,聲吶、語音、圖像分析、生物醫(yī)學、自動控制。。。,,,,,,,,信源,傳輸機,信道,接收機,輸出信號,不確定性,噪聲,干擾,統(tǒng)計處理,,,,,熱噪聲電壓,,課程目標,鞏固本課程相關(guān)的線性代數(shù)與分析的理論基礎(chǔ)(特別是向量、矩陣及極限方面

5、的背景),以及概率與隨機變量的基礎(chǔ); 全面了解隨機變量與隨機過程的關(guān)系,掌握一些生活中常見的簡單且重要的隨機過程的特性,并為其他隨機過程的分析提供方法; 熟悉馬爾可夫鏈相關(guān)的理論以及特性; 了解隨機游走及大偏差理論,以及在現(xiàn)實生活中的應用,大綱,概率與隨機變量概率模型與理論隨機變量與分布隨機變量的收斂特性隨機過程隨機過程性質(zhì)泊松隨機過程高斯隨機過程馬爾可夫鏈有限狀態(tài)區(qū)分馬爾可夫鏈矩陣表示隨機矩陣特性隨機游走

6、和大偏差理論簡單隨機游走大偏差特性,檢測與估計 檢測:MAP, MiniMax, Neyman Pearson 估計:MSE, LLSE,,概率與隨機變量,事件 : , 性質(zhì):,概率空間 ,,樣本空間(試驗的所有可能結(jié)果),不為空; 為 所有子集的集合,為事件的組合, ;概率測度

7、 ,不相交 ,,概率與隨機變量,事件 : 條件概率 相互獨立 不相交事件序列 ,,概率與隨機變量,貝葉斯公式:不相交事件序列 , , 任意事件 ,,概率與隨機變量,隨機變量:從樣本空間 到實

8、值的映射 一般縮寫為 可以為離散或連續(xù),概率與隨機變量,累計分布函數(shù)(CDF)為 非減函數(shù),,概率與隨機變量,概率分布函數(shù)(pdf)為 因此,,離散型隨機變量用概率質(zhì)量函數(shù)(pmf)表示,概率與隨機變量,隨機變量 的概率分布函數(shù)? 可通過如下方式求出 計算 的累計分布函數(shù) 若 可導,求導可得,概率與隨機變量,

9、統(tǒng)計平均 假設 ,則,離散:,連續(xù):,概率與隨機變量,均值: n階矩(n-th moment): n階中心矩(n-th central moment): n=2,方差 特征函數(shù):,概率與隨機變量,特征函數(shù):類似于連續(xù)時間傅里葉變換有益于處理隨機變量之和,因為其概率分布為單獨pdf的卷積,概率與隨機變量,矩生成函數(shù): 類似于連續(xù)時間拉普拉斯變換 泰勒展開可得

10、 若已知所有n階矩,那么通過拉普拉斯逆變換可得到pdf 若矩生成函數(shù)已知,,概率與隨機變量,伯努利分布 pmf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 傳輸31 bit的序列,假設接收端可以最多糾正3 bit的錯誤,每bit誤差概率為 ,那么接收序列出現(xiàn)誤差的概率?,概率與隨機變量,泊松分布 pmf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 銀行到達的客戶時間間隔的建模為泊松分布

11、。,概率與隨機變量,幾何分布 pmf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 頭一次出現(xiàn)硬幣正面所需的次數(shù)。,概率與隨機變量,均勻分布 pdf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 正弦信號的相位一般建模為 的均勻分布。,概率與隨機變量,高斯分布 pdf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 噪聲信號一般建模為均值為0,方差為1的高斯分布。,概率與隨機變量,瑞利分布 pdf:

12、 均值 方差,例. 為相互獨立的均值為0,方差為 的高斯分布,則 為瑞利分布,概率分布為 。,概率與隨機變量,指數(shù)分布 pdf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 兩個高斯信號之和的模的平方。,概率與隨機變量,伽馬分布 pdf: 均值 方差 矩生成函數(shù),例. 多徑信道的衰落Nakagami-m分

13、布, 。,概率與隨機變量,考慮兩個隨機變量 和 ,其聯(lián)合分布函數(shù)為 聯(lián)合pdf為,概率與隨機變量,邊緣分布函數(shù)為 邊緣概率分布函數(shù)為 和 相互獨立,概率與隨機變量,條件概率分布函數(shù)為 給定 下 的條件均值 因此,概率與隨機變量,兩個隨機變量的相關(guān)為 Schwarz不等式協(xié)方差為 如果

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