1、第3章 幾何元素的投影,3.1 點(diǎn)的投影,采用多面投影,過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。,,點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。,點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影,,a?,●,3.1.1 點(diǎn)在兩面投影體系中的投影,1.兩面投影體系,如圖所示的兩個(gè)互相垂直的投影面，處于正面直立位置的投影面為正投影面，以V表示，簡(jiǎn)稱V面。處于水平位置的投影面稱為水平投影面，以H表示，簡(jiǎn)稱H面。,V面與H面的交線稱為OX投影軸，簡(jiǎn)稱

2、X軸。,兩個(gè)互相垂直的投影面把空間分為4個(gè)分角，依次為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。,2.點(diǎn)的兩面投影圖,a— 點(diǎn) A的水平投影,a’— 點(diǎn)A的正面投影,展開方法：將H面繞X軸向 下旋轉(zhuǎn)90°,3. 點(diǎn)的兩面投影規(guī)律,1） 點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于X軸，即a?a⊥X軸;,2） 點(diǎn)的水平投影到X軸的距離等于空間點(diǎn)到V面的距離，即 aax=Aa’;,3) 點(diǎn)的正面投影到X軸

3、的距離等于空間點(diǎn)到H面的距離,即 a’ax=Aa.,3.1.2 點(diǎn)在三投影面體系中的投影,投影面,◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）,◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）,◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）,投影軸,OX軸 V面與H面的交線,OZ軸 V面與W面的交線,OY軸 H面與W面的交線,,三個(gè)投影面互相垂直,1. 點(diǎn)的三面投影,投影軸的交點(diǎn)稱為原點(diǎn),空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影,空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母或加

4、“，”表示。,,,,,,,,●,●,,●,●,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a?,a?,向后翻,向下翻,不動(dòng),投影面展開,Y軸分解為兩部分——YH、YW,點(diǎn)的三面投影和坐標(biāo)的關(guān)系為：,畫出A點(diǎn)投影圖和舉例,水平投影 a 反映了 A點(diǎn)X和Y的坐標(biāo)；,正面投影 a’反映了 A點(diǎn)X和Z的坐標(biāo)；,側(cè)面投影a”反映了 A點(diǎn)Y和Z的坐標(biāo)。,,點(diǎn)的投影規(guī)律:,① a?a⊥OX軸,② a?a?⊥OZ軸,③ aax= a?a

5、z,,2. 點(diǎn)的坐標(biāo)和三面投影規(guī)律,點(diǎn)的坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系,Aa"=a'az=aay=axO=xAAa'=aax=a"az=ayO= yAAa=a'ax=a"ay=azO=zA,綜合點(diǎn)的坐標(biāo)和三面投影的投影規(guī)律如下：,1、a'a⊥OX，a'az=aayH=xA2、a'a"⊥OZ，a'ax=a"ayw=zA3、aax=a&

6、quot;az=yA,Z,az,X,Y,具體作圖時(shí)用45°輔助線幫助作圖,【例】已知A（20、15、15），作出A點(diǎn)的三面投影。,1)作OX、OY和OZ軸，并作 ∠YHOYW的角平分線45º線。,2) 自O(shè)點(diǎn)沿OX軸量取20，即 XA = 20，得ax點(diǎn)。,3) 過ax點(diǎn)作OX軸的垂線，在此 垂線上沿OYH軸方向量取15， 即YH = 15，得a點(diǎn)；在此垂線 上沿OZ軸方向量取15，得a＇點(diǎn)。,4

7、) 由a‘作OZ軸的垂線，交OZ軸 于az , 在此垂線上沿OYW軸 方向量取aza″= axa = YA = 15，得a″。,,,,例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。,,,●,●,,,a?,a,ax,az,az,解法一:,通過作45°線使a?az=aax,解法二:,用分規(guī)直接量取a?az=aax,,,3. 特殊投影點(diǎn)：,,,,,,d ?,,,,,,,d,e,e ?,f’,f ?,,,,,,,,,

8、,,e ?,f,d ?,,z,x,YW,YH,0,例：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影,,,d,,a,a ?,a ?,,3.1.3 兩點(diǎn)的相對(duì)位置,兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,判斷規(guī)律：,▲ x 坐標(biāo)大的在左,▲ y 坐標(biāo)大的在前,▲ z 坐標(biāo)大的在上,B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。,1. 兩點(diǎn)的相對(duì)位置的確定,例題2 已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。,,,,,,2.

9、 重影點(diǎn),重影點(diǎn)：,空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。,A、C為H面的重影點(diǎn),被擋住的投影加( ),圖1—9 重影點(diǎn)的投影,一點(diǎn)的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點(diǎn)的一個(gè)投影到某投影軸的距離等于空間點(diǎn)到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。即a'a⊥0X ；a'a"⊥0Z；aax =a”az,點(diǎn)的三面投影規(guī)律,點(diǎn)的一個(gè)投影反映了點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)。已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，則點(diǎn)的X、Y、Z

10、三個(gè)坐標(biāo)就可確定，即空間點(diǎn)是唯一確定的。因此已知一個(gè)點(diǎn)的任意兩個(gè)投影即可求出其第三投影。,空間點(diǎn) 點(diǎn)的X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)均不為零，其三個(gè)投影都不在投影軸上。投影面上的點(diǎn) 點(diǎn)的某一個(gè)坐標(biāo)為零，其一個(gè)投影與投影面重合，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。投影軸上的點(diǎn) 點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為零，其兩個(gè)投影與所在投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn) 點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。,各種位置點(diǎn)的投影,兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)

11、的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大小）來確定的。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。 根據(jù)一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于另一點(diǎn)上下、左右、前后坐標(biāo)差，可以確定該點(diǎn)的空間位置并作出其三面投影。,若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)在三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等。從投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見。判斷重影

12、點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。,重影點(diǎn)及可見性判別,3.2 直線的投影,3.2.1 直線投影的性質(zhì)和畫法,,,,空間兩點(diǎn)確定一條直線，只要將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。,直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,1. 直線投影的性質(zhì),直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn) 積　聚　性,直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB,

13、直線傾斜于投影面投影比空間線段短 ab=ABcosα,2. 直線投影的畫法,3.2.2 各種位置的直線,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于Ｖ面）,側(cè)平線（平行于Ｗ面）,水平線（平行于Ｈ面）,正垂線（垂直于Ｖ面）,側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）,鉛垂線（垂直于Ｈ面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,,,1、 一般位置直線,投影特性：,三個(gè)投影都與投影面傾斜且都縮短。即: 都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的真實(shí)大小。,一般

14、位置直線,與H面的夾角:α 與V面的夾角:β 與W面的夾角:γ,0°＜α、β、γ＜90°,2、投影面的平行線,水平線,正平線,側(cè)平線,,①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小。,②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且長(zhǎng) 度縮短。,水平線,側(cè)平線,正平線,投 影 特 性：,實(shí)長(zhǎng),實(shí)長(zhǎng),實(shí)長(zhǎng),3. 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,反映線段實(shí)長(zhǎng)。且

15、垂直于相應(yīng)的投影軸。,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,② 另外兩個(gè)投影，,① 在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:,3.2.3 一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角,,?,|zA-zB|,,1、 幾何分析,在平面ABba中，過A點(diǎn)作AC∥ab，得△ABC為一直角三角形。,求線段AB的實(shí)長(zhǎng)和H面的傾角α，可歸結(jié)為求直角三角形ABC的實(shí)形問題。,2、 作圖方法,,求AB直線的實(shí)長(zhǎng)和H面的傾角α。,方法一：,,方法二：,

16、?,,求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角? 角,|YA-YB|,求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角? 角,例題 已知 線段的實(shí)長(zhǎng)AB，其投影a’b’和b,求水平投影ab。,,,有兩解,3.2.4 直線上的點(diǎn),1. 直線上點(diǎn)的投影,直線上的點(diǎn)，其各投影面上的投影必在該直線的同面投影上；反之，如果點(diǎn)的各投影面的投影在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必在直線上。,◆若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間

17、相同的比例。即：,2. 點(diǎn)分割線段成定比,AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?,,,,,,,,,,,,,,,A,,B,C,V,H,b,c,c?,b?,a?,,,a,定比定理,直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：,從屬性 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面 投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷 已知點(diǎn)是否在直線上。,定比性 屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之

18、比。即 A C: C B = a c : c b= a?c? : c?b? = a?c? : c? b?,點(diǎn)C不在直線AB上,例：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,點(diǎn)C在直線AB上,已知直線上點(diǎn)的一個(gè)投影，怎樣求其余投影,,d,,,d’,例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。,,,,,,,,,,,a?,b?,因k?不在a? b?上， 故點(diǎn)K不在AB上。,應(yīng)用定比定理,,,,,,a,b,k,a?,b?,k?,,例題3 已知

19、點(diǎn)C 在線段AB上，求點(diǎn)C 的正面投影。,,,,,例： 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影， 使BC 的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度L。,,,,,AB,zA-zB,c?,,ab,3.2.5 兩直線的相對(duì)位置,平行,相交,交叉,垂直相交,空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。,1. 平行兩直線,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。,由于空間兩平行直線對(duì)于同一投影面的傾角相同，故兩直線的

20、長(zhǎng)度之比等于其同面投影長(zhǎng)度之比, 即AB:CD=ab：cd=a’b’:c’d’=a”b”:c”d”,,,,,,,,,,a,b,c,d,c?,a?,b?,d?,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB//CD,①,,,,,,,,,b?,,,,,,,,d?,c?,a?,c,,,,,,,,b,a,d,d?,b?,a?,c?,對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線

21、不一定平行。,求出側(cè)面投影后可知：,AB與CD不平行。,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,②,,求出側(cè)面投影,2. 相交兩直線,投影特性：,若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),,,例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,分析：CD首先是水平線 所以正面投影平 行X 軸.其次要 與AB相交，要符 合相交兩

22、直線的 投影特性。,一般情況下，只要兩直線的兩組同面投影相交；且兩投影交點(diǎn)的連線垂直投影軸，就可以判斷這兩條直線在空間相交。但是，當(dāng)兩直線之一是投影面的平行線時(shí)，則需要對(duì)投影作進(jìn)一步的分析以確定兩直線是否相交。,1?(2?),3(4 ),3. 交叉兩直線,投影特性：,★ 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,★ “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,●,●,Ⅰ、Ⅱ是Ｖ

23、面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。,,為什么？,兩直線相交嗎？,,例題 判斷兩直線的相對(duì)位置,,1?d?,1?c?,結(jié)論：,交叉兩直線,判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性,判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。,例題 判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性,3.2.6 垂直兩直線的投影,若相交兩直線互相垂直，且其中一條直線為投影面的平行線，則兩直線在該投影面的投影必定相互垂直。此

24、投影特性稱為直角投影定理。,設(shè) 直角邊BC//H面,BC⊥AB因 BC⊥AB, 同時(shí)BC⊥Bb所以 BC⊥ABba平面,直線在H面上的投影互相垂直,即 ∠abc為直角,因此 bc⊥ab,故 bc ⊥ABba平面,又因 BC∥bc,證明：,1. 垂直兩直線的投影特性,,反之如果相交兩直線的任意一組同面投影互相垂直，且其中一條直線為該投影面的平行線，

25、則此兩直線在空中一定互相垂直。,垂直交叉？,,,,,,,,a,b,c,a?,b?,c?,,●,●,例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。,2. 作圖,,,,,e,e,e',e',c',c',例 已知直線AB的兩面投影和C點(diǎn)的水平投影,試過C點(diǎn)作直線CE與AB垂直相交,求直線CE的兩面投影。,分析：過一點(diǎn)作一直線與已知 直線垂直，可做無數(shù)條， 但在投影中反映直角的只

26、 有兩條。一條是水平線， 一條是正平線。,例題 過點(diǎn)E 作線段EF,分別與直線AB、CD 垂直。,,分析：,AB為正平線，所以e’f’必垂直a’b’；CD為水平線，所以ef必垂直Cd。,,,,,例：已知AB、CD 兩直線的H面和V面投影， 求AB、CD 兩直線的公垂線。,分析：直線AB是一條鉛垂線，垂 直AB的線一定是一條水平 線；水平線要與AB相交，

27、 水平投影應(yīng)過a（b），還 要與CD垂直，所以水平投 影必垂直cd。,3.2.7 直線的跡點(diǎn),跡點(diǎn)及投影性質(zhì):直線與投影面的交點(diǎn)稱為直線的跡點(diǎn)。 跡點(diǎn)是直線與投影面的共有點(diǎn)。,,小 結(jié),★點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性?！稂c(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性?！锒ū榷ɡ?。★直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。,重點(diǎn)掌握：,一、各種位置直線的投影特性

28、,⒈ 一般位置直線,三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。,⒉ 投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。,⒊ 投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。,,二、直線上的點(diǎn),⒈ 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。,⒉ 點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影 成定比——定比定理。,三、兩直線的相對(duì)位置,⒈ 平行,⒉ 相交,⒊ 交叉（異面）,

29、同名投影互相平行。,同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。,四、相互垂直的兩直線的投影特性,⒈ 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。,⒉ 兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)， 在該投影面上的投影反映直角。,⒊ 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投影都不

30、 反映直角。,直角定理,3.3 平面的投影,,,3.3.1 平面的表示法,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),,,直線及線外一點(diǎn),,,,兩平行直線,,兩相交直線,,平面圖形,1. 平面的投影,用幾何元素表示平面的形式有以下幾種：,2. 平面的跡線表示法,Px,,,投 影 特 性,★ 平面平行投影面-----投影就把實(shí)形現(xiàn),★ 平面垂直投影面-----投影積聚成直線,★ 平面傾斜投影面-----投影類似原平面,實(shí)形性,類似

31、性,積聚性,平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,3.3.2 各種位置平面的投影及特性,,,,平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面,平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面,與三個(gè)投影面都傾斜,,投影面傾斜面,,一般位置平面,1. 投影面垂直面,鉛垂面,正垂面,側(cè)垂面,鉛垂面,投影特性：1、 abc積聚為一條與X、Y軸傾斜的直線 2 、 abc

32、與OX、 OY的夾角反映?、?角的真實(shí)大小 3 、 a?b?c?、 a?b?c?為?ABC的類似形,正垂面,投影特性：1、 a?b?c? 積聚為一條直線 2、 a?b?c?與OX、 OZ的夾角反映α、? 角的真實(shí)大小 3、 abc、a?b?c?? ABC的類似形,側(cè)垂面,投影特性：1、 a?b?c?積聚為一條直線

33、 2 、 a?b?c?與OZ、 OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小 3 、 abc、 a?b?c?為? ABC的類似形,,,,,,,,a,b,c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,1、 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,2、另外兩個(gè)投影面上

34、的投影有類似性。,為什么？,2. 投影面平行面,水平面,正平面,側(cè)平面,正平面,投影特性： 1 、 ? a?b?c?反映? ABC實(shí)形 2、abc 、 a?b?c? 具有積聚性 3、abc平行于X軸， a?b?c? 平行于Z軸,,水平面,投影特性： 1 、 ? abc反映? ABC實(shí)形 2、 a?b?c?、

35、a?b?c? 具有積聚性 3、 a?b?c? 平行于X軸， a?b?c? 平行于YW軸,,投影特性： 1 、 ? a?b?c? 反映? ABC實(shí)形 2 、 abc 、 a?b?c? 具有積聚性 3、 abc 平行于YH軸， a?b?c? 平行于Z軸,側(cè)平面,,積聚性,積聚性,實(shí)形性,水平面,投影特性：,1、在它所平行的投影面上的

36、投影反映實(shí)形。,2、另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。,投影面垂直面和平行面的跡線表示,3. 投影面的傾斜面（一般位置平面）,一般位置平面,投影特性 1 、 abc 、 a?b?c? 、 a?b?c? 均為? ABC的類似形 2 、 不反映?、?、? 的真實(shí)角度,,,,1. 平面上的點(diǎn)和直線,3.3.3 平面上的點(diǎn)和直線,1）平面上取直線,,,,,,,

37、,,a,b,c,b?,c?,a?,,,d?,,n?,,m?,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無數(shù)解。,⒉ 平面上取點(diǎn),定理：點(diǎn)在平面內(nèi)的任 一直線上，則該 點(diǎn)一定在該平面 內(nèi)。,,,先在平面內(nèi)作一條直線作為輔助線，然后再在該直線上取點(diǎn)。,面上取點(diǎn)的方法：,首先面上取線,例1：已知K

38、點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,,,,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,例題2 已知? ABC 給定一平面，試判斷點(diǎn)D是 否屬于該平面。,d?,,,,,d,,,,,,,,a?,b?,c?,a,b,c,,,,,e,e?,結(jié)論：D點(diǎn)不在ABC平面內(nèi),分析：判斷一點(diǎn)是否在平 面上，首先在平面 上取直線，再看點(diǎn) 是否屬于直線。,,,,,k?,,,,b

39、,,,,例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例2、已知平面ABCD內(nèi)有一△RST，根據(jù) 其V面投影，作出其H面投影。,分析：根據(jù)平面上取點(diǎn)、線的方法，求作平面上的 三角形H 面投影。,3. 平面上的投影面平行線,一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10

40、mm。,,n?,m?,n,m,,,,,唯一解！,分析：該直線即符合水平線的投影特性，又要符合平面 上直線的投影特性,特性；水平線的正面投影平行X軸，且反映Z坐標(biāo)。,例題 已知? ABC 給定一平面，試過點(diǎn)C 作屬于該平面的正平線，過點(diǎn)A 作屬于該平面的水平線。,,,,m?,,,,n?,n,m,例：在平面ABC上取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下 15mm、在點(diǎn)A之后20mm處。,分析：在平面內(nèi)A 點(diǎn)之下15mm

41、的點(diǎn)組成一條水平線， 同理在平面內(nèi)A 點(diǎn)之后 20mm的點(diǎn)組成一條正平 線，兩線之交點(diǎn)即為所 求。,小 結(jié),重點(diǎn)內(nèi)容,二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,要 點(diǎn),一、各種位置平面的投影特性,⒈ 一般位置平面,⒉ 投影面垂直面,⒊ 投影面平行面,三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。,在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 ——積聚性。

42、另外兩個(gè)投影類似。,在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 ——實(shí)形性。另外兩個(gè)投影積聚為直線。,二、平面上的點(diǎn)與直線,3. 平面上的投影面平行線,即符合直線在平面上的幾何條件,又符合投影面平行線的投影特性。,3.4 直線、平面的相對(duì)位置,相對(duì)位置有平行、相交和垂直。,3. 4. 1 直線與平面、平面與平面平行,1. 直線與平面平行,,,,,,,,,,,,,,,,●,●,a?,c?,b?,m?,a,b,c,m,例［3-11］：過

43、已知點(diǎn)M 作一直線MN 平行于平 面ABC。,有無數(shù)解,,分析：過M 作一直線平行于平面內(nèi)一直線即可，在投 影上運(yùn)用平行兩直線的投影特性作圖。,,,,正平線,例2：過M 點(diǎn)作直線MN 平行于V 面和平面ABC。,,c?,,,,,,,,,,,●,●,b?,a?,m?,a,b,c,m,唯一解,,,,n?,分析：MN 應(yīng)是正平線，所以只要平行 平面ABC內(nèi)的一條正平線

44、即可。,d’,d,例［3-12］ 試判斷已知直線AB 是否平行于平面△CDE 。,,結(jié)論：直線AB 不平行于平面CDE,分析：在平面內(nèi)是否可作出一直線平行于直線AB。,2. 平面與平面平行,定理：若一平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,推論：若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,,例題1 試判斷兩平面是否平行,,,,,結(jié)論：兩平面平行,分析：根據(jù)定理看是

45、否能在一平面內(nèi)找到相交兩直線對(duì)應(yīng)的 平行于另一平面內(nèi)的相交兩直線,例題2 已知定平面由平行兩直線AB 和CD 給定。 試過點(diǎn)K 作一平面平行于已知平面 。,,,,,,,,d?,d,c?,a?,a,c,,,b?,b,分析：可先在已知平面上任作兩相交直線，然后過K點(diǎn)作與兩 相交直線對(duì)應(yīng)平行的直線即可,,K‘,,,有唯一解,3. 4. 2 直線與平面、平面與平面相交,直

46、線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,要討論的問題：,● 求直線與平面的交點(diǎn)，求平面與平面的交線。,● 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。,平面與平面相交，其交線是兩平面的共有線。,1. 特殊位置直線或平面相交,當(dāng)直線和平面相交，直線或平面其中之一垂直某一投影面時(shí)，它在該投影面中的投影具有積聚性，因此所求交點(diǎn)在該投影面的投影可直接得出，其他投影可方便求出。,,k,m(n),,,b,,,,●,,,,,,,,,,,,m?,

47、n?,c?,b?,a?,a,c,,,例［3-14］ 求鉛垂線MN 與平面△ABC 的交點(diǎn)K 。,空間及投影分析,直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。,① 求交點(diǎn),② 判別可見性,點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k? 2?為不可見。,1?(2?),,●,作圖,用面上取點(diǎn)法,用重影點(diǎn)來判別,a,b,c,m,n,c?,n?,b?,a?,m?,,,,例2：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判

48、別可見性。,空間及投影分析:,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。,① 求交點(diǎn),② 判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k?n?為可見。,,還可通過重影點(diǎn)判別可見性。,1?(2?),作 圖,,●,2. 特殊位置平面和一般位置平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。,要討論的問題：,① 求兩平面的交線,方法：,確定

49、兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。,② 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。,可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。,a,b,c,d,e,f,c?,f?,d?,b?,e?,a?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m?(n?),,空間及投影分析,平面ABC 與DEF 都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，正面投影可直接求得，水平投影可根據(jù)投影規(guī)律求得。,① 求交線,② 判別可見性,作

50、圖,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,●,例：求兩平面的交線MN并判別可見性。,⑴,b?,c?,f?,h?,a?,e?,a,b,c,e,f,h,,,,,1(2),空間及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。交線m?n?也一定積聚在平面的有積聚性的投影上，即m’n’在e’f’h’上。,① 求交線,② 判別可見性,點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。,作

51、圖,●,例 求傾斜面△ABC 與水 平面EFH 的交線MN 。,3. 一般位置直線和一般位置平面相交,求交點(diǎn)的方法：輔助平面法,輔助平面法的幾何分析：,直線AB 與平面△EFG 相交，交點(diǎn)為K。過直線AB 任作一輔助平面P，（為作圖方便一般作投影面的垂直面），輔助平面P 與平面△EFG 相交于MN， MN 必定與直線AB 相交，交點(diǎn)即為直線AB 與平面△EFG 的交點(diǎn)K 。,1）過已知直線作輔助平面；,2）作出輔助平面與已知平面

52、的交線；,3）求出該交線與已知直線的交點(diǎn)， 即為已知直線與已知平面的交點(diǎn)；,4）判斷投影圖中的可見性。,作圖,分析：直線和平面都是一般位置，用輔助平面法求交點(diǎn)。先 包含AB 直線作輔助平面P，然后求出P 與△EFG 的 交線MN ，再求出MN 與AB的交點(diǎn)即為K。,,,,例4 求直線AB與平面△EFG的交點(diǎn)K。,,4. 兩一般位置平面相交,方法：用輔助平面法求得兩平面的

53、任意兩個(gè)共有點(diǎn)，即可確 定交線的位置。,兩平面相交會(huì)出現(xiàn)兩種情況：①一個(gè)平面全部穿過另一個(gè)平面，稱為全交；②兩個(gè)平面的一條邊互相穿過，成為互交。這兩種相交的情況的實(shí)質(zhì)是相同的，只是相交部分的范圍不同，因此求解方法是相同的。求解兩任意平面的交線通常采用輔助平面法。,分析：選取平面△DEF的兩條邊DE和EF ，分別求出它們與 平面△ABC的交點(diǎn)，兩交點(diǎn)連接后即為所求交線。,作圖：1）過直線

54、DE作輔助正垂面P， 求出DE與平面△ABC的交 點(diǎn)M（m、m’）。,2）過直線EF作輔助正垂面Q， 求出EF與平面△ABC的交 點(diǎn)N（n、n’）。,3）連接m’ n’、 m n，即為兩 平面的交線MN的投影。,4）利用重影性判別V、H 面投 影中的可見性,例5 求平面△ABC 與平面△DEF 的交線。,,,,,,,,,3.4.3 直線與平面、平面與平面垂直,若

55、一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則此直線垂直于這個(gè)平面；反之，若直線垂直平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。,投影特性：若一直線垂直于平面，則直線的水平投影必垂直于該平面內(nèi) 水平線的水平投影；該直線的正面投影必垂直于該平面內(nèi)正 平線的正面投影。反之，若一直線的水平投影和正面投影分 別垂直于平面內(nèi)水平線的水平投影和正平線的正面投影，則

56、 該直線一定垂直于該平面。,1. 直線與平面垂直,分析：點(diǎn)到平面的距離即由點(diǎn)向平面作垂線，垂線的實(shí)長(zhǎng)即是。,作圖：,1）在平面△EFG內(nèi)作正平 線GⅡ，水平線EⅠ；,2）由點(diǎn)D作平面△EFG的 垂線，即自d引直線垂 直于e1，自d’引直線垂 直于g’2’；,3）用求直線與平面交點(diǎn)的 方法求出垂足K（k、k’）；,4）用直角三角形法求出 DK的實(shí)長(zhǎng)即是點(diǎn)D到

57、 平面的距離。,例3-19 求點(diǎn)D到平面△EFG的距離。,,,,,2. 兩平面垂直,,若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一切平面都垂直于該平面。反之，若兩平面互相垂直，必定能在一個(gè)平面內(nèi)作出與另一個(gè)平面垂直的直線。,,分析：過E 點(diǎn)作一直線垂直于平 面ABCD，則包含該直線的 平面都垂直于平面ABCD。,作圖：,1）過E點(diǎn)作一直線EF垂直于 平面ABCD，EF必定為 正平

58、線，即e’f’⊥a’b’c’d’， ef∥OX軸；,2）過E點(diǎn)任作一直線EG。由 EF、EG兩相交直線所決 定的平面一定垂直于平面 ABCD。,,例2、已知正垂面ABCD 及E 點(diǎn)，過E點(diǎn)作 一平面垂直于平面ABCD。,例（習(xí)題P18）,已知△ABC與△DEF互相垂直，作出△DEF的正面投影。,分析：兩平面垂直，從一個(gè) 平面上一點(diǎn)向第二個(gè)

59、 平面作垂線，此線包 含在第一平面內(nèi)。,作圖：1）先在平面ABC內(nèi)作 水平線及正平線；,2）通過F點(diǎn)作ABC的 垂線；,3）找到垂線上的交點(diǎn) Ⅰ，求出正面投影。,小 結(jié),重點(diǎn)掌握,1）若直線平行于平面內(nèi)的任一直線，則直線與平 面平行。,2、相交問題,,1、平行問題,2）兩平面內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，則兩平

60、面 平行。,1）直線與平面相交，交點(diǎn)是共有點(diǎn)。,2）平面與平面相交，交線是共有線。,3、垂直問題,1）若直線垂直于平面內(nèi)任意兩條相交直線，則直 線垂直于平面,2）若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一 切平面都垂直于該平面。,平行,1、作直線與平面平行，只要使直線平行平面內(nèi)的 一條直線，在投影上運(yùn)用兩平行直線的投影特 性作圖即可。,2、作平面與平面平行，只要使一平

61、面內(nèi)兩相交直 線對(duì)應(yīng)地平行另一平面內(nèi)兩相交直線，在投影 上運(yùn)用兩平行直線的投影特性作圖即可。,相交,⒈ 求直線與平面的交點(diǎn)的方法,⑴ 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。,⑵ 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性，采取平面上取點(diǎn)的方法求解。,⒉ 求兩平面的交線的方法,⑴ 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置，有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根

62、據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影。,⑵ 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共 有點(diǎn)，求出交線。,⑶ 一般位置直線與一般位置平面求交點(diǎn)用輔助平面法求解,⑶ 兩個(gè)一般位置平面相交，用輔助平面法分別求得一個(gè)平 面的兩條邊與另一個(gè)平面的兩個(gè)交點(diǎn)，連接起來即得交線,垂直,一、直線與平面垂直，則直線的H面投影必垂直于該平面內(nèi) 水平線的H 面投影；該直線的V面投影必垂直于該平面 內(nèi)的正平