1、復(fù)變答案習(xí)題復(fù)變答案習(xí)題2習(xí)題二1.求映射下圓周的像.解設(shè)則因?yàn)樗运运约?，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）；（2）3xayb.ab為實(shí)數(shù)解設(shè)所以1記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即2記，則映成了w平面上扇形域，即3記，則將直線xa映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將yb映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.1解令則.于是.2解設(shè)zxyi，則

2、有顯然當(dāng)取不同的值時fz的極限不同所以極限不存在.（3）；解.（4）.解因?yàn)樗?4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性1解因?yàn)槿袅顈kx則因?yàn)楫?dāng)k取不同值時，fz的取值不同，所以fz在z0處極限不存在.從而fz在z0處不連續(xù)，除z0外連續(xù).2解因?yàn)樗运詅z在整個z平面連續(xù).5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)并求其導(dǎo)數(shù).1n為正整數(shù)；解因?yàn)閚為正整數(shù)，所以fz在整個z平面上可導(dǎo)..2.解因?yàn)閒z為有理函數(shù)，所以fz在處不可導(dǎo).從而fz除外可導(dǎo).3.解fz除外

3、處處可導(dǎo)，且.4.解因?yàn)?所以fz除z0外處處可導(dǎo)，且.6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.1解在全平面上可微.所以要使得，只有當(dāng)z0時從而fz在z0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.2.解在全平面上可微.只有當(dāng)z0時即00處有.所以fz在z0處可導(dǎo)，在全平面處處解析.10.設(shè)求證1fz在z0處連續(xù)2fz在z0處滿足柯西黎曼方程3f′0不存在證明.1∵而∵∴∴同理∴∴fz在z0處連續(xù)2考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，ziy，有當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時

4、，zx，有它們分別為∴∴滿足CR條件3當(dāng)z沿yx趨向于零時，有∴不存在即fz在z0處不可導(dǎo)11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若fz在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析證明設(shè)fzuxyivxy，因?yàn)閒z在區(qū)域D內(nèi)解析所以uxyvxy在D內(nèi)可微且滿足CR方程，即，得故φxyψxy在D1內(nèi)可微且滿足CR條件從而在D1內(nèi)解析13.計(jì)算下列各值1e2ie2?eie2?cos1isin123414.設(shè)z沿通過原點(diǎn)的放射線趨于∞

5、點(diǎn)，試討論fzzez的極限解令zreiθ，對于θ，z→∞時，r→∞故所以15.計(jì)算下列各值123lneiln1iargeiln1ii416.試討論函數(shù)fz|z|lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性解顯然gz|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)設(shè)zxiy，在復(fù)平面內(nèi)可微故gz|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)從而fx|z|lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)fz在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)17.計(jì)算下列各值12318.計(jì)算下列各值12345619.求