1、第二章第1講,1,§1 微分算子及其特性,定義,則：,對于算子方程：,其含義是：,第二章第1講,2,微分算子的主要特性,微分算子不是代數(shù)方程，而是算子記法的微積分方程。式中算子與變量不是相乘，而是一種變換。Ｐ多項式的算子可以像代數(shù)量那樣進行乘法運算，也可以像代數(shù)式那樣進行因式分解的運算。算子方程兩邊的公共因子一般不允許消去。,但在某種情況下公共因子可以消去，如：,但,第二章第1講,3,微分算子的主要特性,轉移算子：,H(

2、p)把激勵和響應聯(lián)系起來，故它可以完整地描述系統(tǒng)。即：,系統(tǒng)的自然頻率(特征根)：,的根為系統(tǒng)的自然頻率或特征根。,算子阻抗：,引入了算子阻抗后，網(wǎng)絡的微分方程可以通過電路分析課程的分析方法列出。如網(wǎng)孔法、節(jié)點法、疊加定理、戴維南定理等。,第二章第1講,4,例 1,列出電路的微分方程，變量為 i2。,解：網(wǎng)孔方程為：,,故，微分方程為：,第二章第1講,5,例 2,求如圖所示電路的轉移算子：,解：用節(jié)點方程可求得：,,,第二

3、章第1講,6,§2 微分方程的經(jīng)典解法,全響應＝齊次解(自由響應)＋特解(強迫響應)齊次解：寫出特征方程，求出特征根（自然頻率或固有頻率）。根據(jù)特征根的特點，齊次解有不同的形式。一般形式（無重根）：特解：根據(jù)輸入信號的形式有對應特解的形式，用待定系數(shù)法確定。在輸入信號為直流和正弦信號時，特解就是穩(wěn)態(tài)解。用初始值確定積分常數(shù)。一般情況下，n 階方程有n 個常數(shù)，可用個 n 初始值確定。,為特征根,第二章第1講,7,例

4、 1,描述某線性非時變系統(tǒng)的方程為,試求：當 時的全解。,解：(1)求齊次解，特征根為：,(2)求特解：設特解為：,比較系數(shù)可得：,,全解的通解為：,將初始條件代入上式，得：,,,故，全解為：,第二章第1講,8,全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應,零輸入響應的求法與齊次解一樣,零狀態(tài)響應的求法與求非齊次方程一樣,第二章第1講,9,例 2,描述某線性非時變系統(tǒng)的方程為,試求：當

5、 時的零輸入響應和零狀態(tài)響應。,解：(1)零輸入響應，特征根為：,(2)零狀態(tài)響應：特解求法同例1，,將初始條件代入上式，得：,,,代入初始值，得,解得,第二章第1講,10,齊次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程： D(p)=0,零輸入響應的一般形式,設系統(tǒng)為,零輸入 e(t)=0 時，即 D(p)r(t)=0,若無重根：,若有K階重根，即：,第二章第1講,11,例 3,已知系統(tǒng)的轉移

6、算子 ，初始條件為,, 試求系統(tǒng)的零輸入響應 rzi(t)。并畫出草圖。,解：令 得：,解得：,故：,第二章第1講,12,例 4,已知系統(tǒng)的轉移算子 ，初始條件為,, 試求系統(tǒng)的零輸入響應 rzi(t)。并畫出草圖。,解：令

7、 得：,解得：,第二章第1講,13,關于初始狀態(tài)的討論,0－ 狀態(tài)和 0＋ 狀態(tài)0－ 狀態(tài)稱為零輸入時的初始狀態(tài)。即初始值是由系統(tǒng)的儲能產(chǎn)生的；0＋ 狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。即初始值不僅有系統(tǒng)的儲能，還受激勵的影響。各種響應用初始值確定積分常數(shù)的區(qū)別在經(jīng)典法求全響應的積分常數(shù)時，用的是 0＋ 狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零輸入響應時，用的是 0－ 狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應時，用的是 0＋ 狀態(tài)初始值，

8、這時的零狀態(tài)是指 0－ 狀態(tài)為零。,第二章第1講,14,關于初始狀態(tài)的討論,從 0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)的躍變當系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的初始值從0－ 狀態(tài)到 0＋ 狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項是否包含?(t)及其各階導數(shù)。如果包含有?(t)及其各階導數(shù)，說明相應的0－狀態(tài)到0＋狀態(tài)發(fā)生了跳變。0＋ 狀態(tài)的確定已知 0－ 狀態(tài)求 0＋ 狀態(tài)的值，可用沖激函數(shù)匹配法。見有關參考資料。求 0＋ 狀態(tài)的值還可以