1、1矩陣相似的性質與應用的研究1引言矩陣相似的理論是數(shù)學分析的重要概念之一，同時也是教學中的難點之一，特別是矩陣相似與可對角化矩陣問題，在各個版本的數(shù)學類圖書中，往往將這兩個問題緊湊的聯(lián)系在一起。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一部分的問題可以轉化為與一個對角化矩陣相似問題進而使問題研究簡化，而另一些矩陣不能與一個對角矩陣相似，那么這類問題就只能用定義或者若而當標準型來解決。由于矩陣相似的應用范圍相當廣泛。本文主要是從矩陣

2、相似定義以及各種性質的理論基礎上直接引入矩陣在微分方程、自動控制理論基礎等領域應用的實例并由此進行研究，也使這部分內容能夠相互融合起來，更有利于學習者的掌握和應用。2矩陣相似的定義與基本性質2.12.1矩陣相似的定義矩陣相似的定義令nmCS??為非奇異矩陣，考察矩陣nmCA??的線性變換ASSB1??令線性變換的特征值為?，對應的特征向量為y，即ByBy??將式ASSB1??代入上式，即有yASyS???1或)()(SySyA??令Sy

3、x?或xSy1??，則式)()(SySyA??可以寫作xAx??比較yBy??和xAx??兩式可知，矩陣A和ASSB1??具有相同的特征值，并且矩陣B的特征向量y是矩陣的特征向量x的線性變換，即xSy1??。由于A3呢？我們逐步解決這個問題。首先設想矩陣能相似與一個對角矩陣，即設A(1)??????????????????????nAPP????211因而有(2)?????????????????????nPAP????21若把寫成分塊